1.SCHEMAT STATYCZNY Z OBCIĄŻENIEM RZECZYWISTYM

2.OBLICZENIA SIŁ BIERNYCH OD OBCIĄŻENIA RZECZYWISTEGO

$$\left\{ \begin{matrix} \Sigma M_{D} = 0 \\ \Sigma M_{C}^{L} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 9H_{A} + 9V_{B} - 6 \times 5 - 1,8 \times 9 \times 4,5 = 0 \\ 3H_{A} + 4V_{B} - 1,8 \times 3 \times 1,5 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 9H_{A} + 9V_{B} - 30 - 72,9 = 0 \\ 3H_{A} + 4V_{B} - 8,1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 9H_{A} + 9V_{B} - 102,9 = 0 \\ 4V_{B} = 8,1 - 3H_{A} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 9H_{A} + 9V_{B} = 102,9 \\ V_{B} = 2,025 - 0,75H_{A} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 9H_{A} + 9(2,025 - 0,75H_{A}) = 102,9 \\ V_{B} = 2,025 - 0,75H_{A} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 9H_{A} + 18,225 - 6,75H_{A} = 102,9 \\ V_{B} = 2,025 - 0,75H_{A} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 2,25H_{A} = 84,675 \\ V_{B} = 2,025 - 0,75H_{A} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} H_{A} = 37,63333333 \\ V_{B} = 2,025 - 0,75 \times 37,63333333 \\ \end{matrix} \right.\ $$

H_A=37, 633kN V_B= − 26, 200kN

ΣX = 0

37, 63333333 − H_D − 1, 8 × 9 = 0

H_D=21, 433kN

ΣY = 0

−26, 200 + V_D − 6 = 0

V_D=32, 200kN

3.OBLICZENIE SIŁ W PRZEGUBIE „C”

ΣX = 0

37, 63333333 − H_C − 1, 8 × 3 = 0

H_C=32, 233kN

ΣY = 0

−26, 200 + V_C − 6 = 0

V_C=32, 200kN

ΣX = 0

−21, 43333333 + H_C − 1, 8 × 6 = 0

H_C=32, 233kN

ΣY = 0

32, 200 + V_C − 6 = 0

V_C= − 26, 200kN

4.OBLICZENIA SIŁ WEWNĘTRZNYCH OD OBCIĄŻENIA RZECZYWISTEGO

PRĘT B-E

0 ≤ x ≤ 4

ΣX = 0     T = OkN

ΣY = 0     N − 26, 200 = 0     N = 26, 200kN

ΣM = 0     M = OkNm

PRĘT A-E

0 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ 3

$$\tan \propto = \frac{3}{3} = 1\ \ \ \ \ \propto = 45$$

sin ∝ =0, 707106781

cos ∝ =0, 707106781

ΣX = 0

37, 63333333 × sin ∝ −1, 8 × y × cos ∝ +N = 0

N = −37, 63333333 × sin ∝ +1, 8 × y × cos∝

N₍₀₎= − 26, 611kN

N₍₃₎= − 22, 085kN

ΣY = 0

37, 63333333 × cos ∝ −1, 8 × y × sin ∝ −T = 0

T = 37, 63333333 × cos ∝ −1, 8 × y × sin∝

T₍₀₎=26, 611kN

T₍₃₎=22, 085kN

ΣM = 0

37, 63333333 × y − 0, 9y² − M = 0

M = 37, 63333333 × y − 0, 9y²

M₍₀₎=0kNm

M₍₃₎=104, 800kNm

PRĘT C-E

0 ≤ x ≤ 4

ΣX = 0

−N − 32, 233 = 0

N = −32, 233kN

ΣY = 0

T − 6 + 32, 200 = 0

T₍₀₎= − 26, 200kN

ΣM = 0

M + 6x − 32, 200x = 0

M = −6x + 32, 200x

M₍₀₎=0kNm

M₍₄₎=104, 800kNm

PRĘT C-F

0 ≤ x ≤ 5

ΣX = 0

N + 32, 233 = 0

N = −32, 233kN

ΣY = 0

−T − 6 − 26, 200 = 0

T = −32, 200kN

ΣM = 0

−M − 6x − 26, 200x = 0

M = −6x − 26, 200x

M₍₀₎=0kNm

M₍₅₎= − 161, 000kNm

PRĘT D-F

0 ≤ x ≤ 6

ΣX = 0

T − 1, 8x − 21, 43333333 = 0

T = 1, 8x + 21, 43333333

T₍₀₎= − 21, 433kN

T₍₆₎=32, 233kN

ΣY = 0

N + 32, 200 = 0

N = −32, 200kN

ΣM = 0

21, 43333333x + 0, 9x² + M = 0

M = −21, 43333333x − 0, 9x²

M₍₀₎=0kNm

M₍₆₎= − 161, 000kNm

5.WYKRESY SIŁ WEWNĘTRZNYCH OD OBCIĄŻENIA RZECZYWISTEGO.

6.SCHEMAT STATYCZNY OBCIĄŻONY WIRTUALNĄ SIŁĄ SKUPIONĄ $\overset{\overline{}}{\mathbf{P}}$

$$\left\{ \begin{matrix} \Sigma M_{D} = 0 \\ \Sigma M_{C}^{L} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 9{\overset{\overline{}}{H}}_{A} + 9{\overset{\overline{}}{V}}_{B} + 2 \times \overset{\overline{}}{1} = 0 \\ 3{\overset{\overline{}}{H}}_{A} + 4{\overset{\overline{}}{V}}_{B} - 4 \times \overset{\overline{}}{1} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\overset{\overline{}}{H}}_{A} = - {\overset{\overline{}}{V}}_{B} - \frac{2}{9} \times \overset{\overline{}}{1} \\ {\overset{\overline{}}{V}}_{B} = - \frac{3}{4}{\overset{\overline{}}{H}}_{A} + \overset{\overline{}}{1} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\overset{\overline{}}{H}}_{A} = - {\overset{\overline{}}{V}}_{B} - \frac{2}{9} \times \overset{\overline{}}{1} \\ {\overset{\overline{}}{V}}_{B} = \frac{3}{4}{\overset{\overline{}}{V}}_{B} + \frac{1}{6} \times \overset{\overline{}}{1} + \overset{\overline{}}{1} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\overset{\overline{}}{H}}_{A} = - {\overset{\overline{}}{V}}_{B} - \frac{2}{9} \times \overset{\overline{}}{1} \\ \frac{1}{4}{\overset{\overline{}}{V}}_{B} = \frac{7}{6} \times \overset{\overline{}}{1} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\overset{\overline{}}{H}}_{A} = - {\overset{\overline{}}{V}}_{B} - \frac{2}{9} \times \overset{\overline{}}{1} \\ {\overset{\overline{}}{V}}_{B} = \frac{14}{3} \times \overset{\overline{}}{1} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} {\overset{\overline{}}{\mathbf{H}}}_{\mathbf{A}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{44}}{\mathbf{9}}\mathbf{\times}\overset{\overline{}}{\mathbf{1}} \\ {\overset{\overline{}}{\mathbf{V}}}_{\mathbf{B}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{3}}\mathbf{\times}\overset{\overline{}}{\mathbf{1}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

ΣX = 0

${\overset{\overline{}}{H}}_{A} - {\overset{\overline{}}{H}}_{D} + \overset{\overline{}}{1} = 0$

$${\overset{\overline{}}{H}}_{D} = - \frac{44}{9} \times \overset{\overline{}}{1} + \overset{\overline{}}{1} = 0$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{H}}}_{\mathbf{D}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{35}}{\mathbf{9}}\mathbf{\times}\overset{\overline{}}{\mathbf{1}}$$

ΣY = 0

${\overset{\overline{}}{V}}_{B} + {\overset{\overline{}}{V}}_{D} = 0$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{V}}}_{\mathbf{D}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{3}}\mathbf{\times}\overset{\overline{}}{\mathbf{1}}$$

7.OBLICZENIE SIŁ W PRZGUBIE „C”

ΣX = 0

$$- 44 - {\overset{\overline{}}{H}}_{C} + 9 = 0$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{H}}}_{\mathbf{C}}\mathbf{= - 35}$$

ΣY = 0

$$14 + {\overset{\overline{}}{V}}_{C} = 0$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{V}}}_{\mathbf{C}}\mathbf{= - 14}$$

ΣX = 0

$$35 + {\overset{\overline{}}{H}}_{C} = 0$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{H}}}_{\mathbf{C}}\mathbf{= - 35}$$

ΣY = 0

$${\overset{\overline{}}{V}}_{C} - 14 = 0$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{V}}}_{\mathbf{C}}\mathbf{= 14}$$

8.OBLICZENIE MOMENTÓW ZGINAJĄCYCH OD OBCIĄŻENIA WIRTUALNEGO

MOMENTY W WĘŹLE „E”

$$\overset{\overline{}}{M} = - \frac{44}{3} \times \overset{\overline{}}{1}$$

$$\overset{\overline{}}{M} = - \frac{12}{3} \times \overset{\overline{}}{1}$$

$$\overset{\overline{}}{M} = - \frac{56}{3} \times \overset{\overline{}}{1}$$

MOMENTY W WĘŹLE „F”

$$\overset{\overline{}}{M} = \frac{70}{3} \times \overset{\overline{}}{1}$$

$$\overset{\overline{}}{M} = \frac{70}{3} \times \overset{\overline{}}{1}$$

9.WYKRES MOMENTÓW ZGINAJĄCYCH OD OBCIĄŻENIA WIRTUALNEGO

10.PRZYJĘCIE PRZEKROJU POPRZECZNEGO PRĘTA DLA CAŁEJ RAMY

Przyjęto dwuteownik równoległościenny IPE 400 wg PN-91/H-93419 o następujących danych:

h=40cm

A=84,5cm²

I_X=23130cm⁴ = 0,00023130m⁴

I_Y=1320cm⁴

W_X=1160cm³

W_X=146cm³

E = 205000MPa = 205000000kN/m²

$$\sigma_{\text{dop}} = 150MPa = 15,0\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}}$$

M_max = 161kNm = 16100kNcm

$$\frac{M_{\max}}{\sigma_{\text{dop}}} = \frac{16100}{15} = 1073,333\text{cm}^{3} < W_{x} = 1160\text{cm}^{3}$$

$$\sigma_{x} = \frac{M_{\max}}{W_{x}} = \frac{16100}{1160} = 13,879\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}} = 138,79MPa < \sigma_{\text{dop}} = 150MPa$$

11.OBLICZENIE PRZEMIESZCZENIA POZIOMEGO PUNKTU „K”

PRĘT A-E

$$\delta = \frac{1}{\text{EI}} \times \frac{1}{3}\left\lbrack \left( - \frac{1}{2} \times 104,800 \times 4,242641 \times \frac{2}{3} \times 44 \right) - \left( \frac{2}{3} \times 4,242641 \times \frac{1,8 \times 3^{2}}{8} \times \frac{1}{2} \times 44 \right) \right\rbrack = \frac{1}{\text{EI}} \times \frac{1}{3}\left\lbrack - 6521,22206 - 126,0064377 \right\rbrack = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}\mathbf{\times}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{\times}\left( \mathbf{- 6395,215622} \right)$$

$$\left\lbrack \left( kNm \times m \times m \right) - \left( m \times \frac{\text{kN}}{m} \times m^{2} \times m \right) \right\rbrack = \left\lbrack \text{kN}m^{3} \right\rbrack$$

PRĘT B-E

δ = 0 [kNm³]

PRĘT C-E

$$\delta = \frac{1}{\text{EI}} \times \frac{1}{3} \times \left( - \frac{1}{2} \times 104,800 \times 4 \times \frac{2}{3} \times 56 \right) = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}\mathbf{\times}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{\times}\left( \mathbf{- 7825,066667} \right)$$

[kNm×m×m] = [kNm³]

PRĘT C-F

$$\delta = \frac{1}{\text{EI}} \times \frac{1}{3} \times \left( - \frac{1}{2} \times 161,000 \times 5 \times \frac{2}{3} \times 70 \right) = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}\mathbf{\times}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{\times}\left( \mathbf{- 18783,33333} \right)$$

[kNm×m×m] = [kNm³]

PRĘT D-F

$$\delta = \frac{1}{\text{EI}} \times \frac{1}{3} \times \left\lbrack \left( - \frac{1}{2} \times 161,000 \times 6 \times \frac{2}{3} \times 70 \right) + \left( \frac{2}{3} \times 6 \times \frac{1,8 \times 6^{2}}{8} \times \frac{1}{2} \times 70 \right) \right\rbrack = \frac{1}{\text{EI}} \times \frac{1}{3} \times \left\lbrack - 22540 + 1134 \right\rbrack = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}\mathbf{\times}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{\times}\left( \mathbf{- 21406} \right)$$

$$\left\lbrack \left( kNm \times m \times m \right) - \left( m \times \frac{\text{kN}}{m} \times m^{2} \times m \right) \right\rbrack = \left\lbrack \text{kN}m^{3} \right\rbrack$$

$$\delta = \frac{1}{\text{EI}} \times \frac{1}{3} \times \left\lbrack - 6395,215622 - 7825,066667 - 18783,33333 - 21406 \right\rbrack = \frac{1}{\text{EI}} \times \frac{- 41619,18438}{3} = \frac{- 13873,06146}{205000000 \times 0,00023130} = - 0,292578774 \approx \mathbf{- 0,293}$$

$$\left\lbrack \frac{\text{kN}m^{3}}{\frac{\text{kN}}{m^{2}} \times m^{4}} \right\rbrack = \left\lbrack m \right\rbrack$$

Punkt „K” doznał przemieszczenia poziomego 0,293m.