1. Sposoby modelowania: – in „vivo”; mod fiz; mod anal- mod zjawisk za pomocą równań matem dla zmian w czasie odbyw się w spos ciągły; cyfr – mod zjawisk za pomocą narzędzi, które dokonują obliczeń cyfr (komputer)2. Pojęcia modelowania i symulacji: mod:konstruowanie modeli ukł rzeczywistych; posz/tworz zbioru elem operacji opis zach mod procesu. SYM: sym działania ukł rzecz na maszynie cyfr; wyznaczanie traj we-wy krok po kroku na pods mod scal za pomocą sys komp; sztuczne odtw właść jakiegoś zjawiska rzeczywistego; 3. Model, reakcja, struktura: MOD: Zbiór elem operacji (zrozumiałych dla środowiska sym, będącego proc oblicz zdolnym do wygener pożądanej reakcji) opisujących zachowanie się mod procesu. REAKCJA: odpowiedź na pytanie „co układ robi?”STRUK: odpowiedź na pytanie „jakim sposobem układ to robi?”: złożoność, sekwencyjność.4. Poziomy wierności modeli: Mod jest wierny dla danego eksp, jeżeli można utworzyć pary we-wy, ktore są zgodne ze wszystkimi parami we-wy ukł modelowanego. Zasadność mod jest związana z układem eksp i kryt, wg którego mierzona jest zgodność par we-wy. POZ WIERNOŚCI: Replikatywny: prawidł powt odp przy takich samych pobudzeniach; Predykcyjny: powtarzalna zgodność mod z rzeczyw ukł dla innych war niż te, które braliśmy pod uwagę podczas projektów; Strukturalny: odtw reakcji i spos działania ukł rzeczyw 5. Aspekty zasadności sym: metody sym; dobór języka modelow; ch-r środowiska komp;dokładność reprezentacji maszynowej liczb i działań; prędkość obliczeń 6. Zastosowania i zalety M&S: Zastos M&S: sprawdz hipotez, badania parametr mod; optym działania modeli| Zalety komp sym i mod: powtarzal, niedestrukcyj7. Zalety językow M&S: uprasz pr M&S; szybka interpr danych; statyczne i graficz opracow.8. Błędy w systemach M&S: Rozrożniamy błędy: w mod matem; w realizacji komp (mechanizm i strateg) 9. Składniki opisu nieformalnego: elementy; zmienne opis (param i stany elem); inter elem (reguły wzaj oddział); przyjęte założ 10. Wady opisu nieformalnego: niekompletny; nielogicz;niejednoznacz 11. Sposob opracowania wynikow M&S: nieform opis mod i zał (w j natur); form opis (matem i jednozn); prog sym; prezentacja eksper i wynikow ich analizy; ocena (zakr zastos mod; zasadności modelu,*kosztow przebiegow sym; odniesienie do innych mod12. Kategorie mod: ciągłe/dyskr w czasie; ciągłe/dyskr w wart chwilowej zmiennych; determinist/stochas; autonom/nieautonom; stacj/ niestacjon; dynami/niedynam; liniowe/nieliniowe

13. Zasady opisu formalnego: a) skrót środek opisu: materia/zespoł wielkości, zbiory wymuszeń, pobudzeń stanow wewn reakcji wyjść; materia/zespoł odwzorowań, funkcje okreś reakcję na pobudz; podst czasu (ciągła, dyskretna) b) formalizmy / konwencje opisu odpowiedn do klas mod; mod dyskretne w czasie; dyskr zdarzenia; rownania rożniczk14. Ogniwa procesu M i redukcji:Pojęcia/etapy(ogniwa) ukł i mod: ukł rzeczyw; ukł eksp; mod podst; mod scal (min złożoność)15. Pojęcie układu rzeczywistego: Z całego syst rzeczyw, na podst dostępn pomiarow i obser, wyodrębn segment, ktory uważamy za dostat jego reprezentację: nazywamy go ukł rzecz. Ukł rzecz to ukł, który jest fragm rzecz. Jego działanie często nie jest w pełni opisane. 16. Rodzaje układow rzeczywistych: naturalny np. biolog, ekolog, mechan; sztuczn: urządzenie elektron, komputer; hybryd: transportowy, cyfrowe sterowanie ob. 17. Trajektoria wektorowa: Zbior przebiegow wszystk zmiennych. Rozróżniamy trajek wej, wyj, które razem tworzą parę trajektorii wejscie-wyjście. 18. Reakcja przejścia (wej – wyj): Zbiór wszystkich trajek możliwych do otrzym eksperym

19. Układ eksperymentu: Opisuje ogranicz zbior warunkow, w których ukł rzeczywis będzie obserwowany.20. Układ eksperymentu, a reakcja przejścia: mod jest wierny dla danego eksp, jeżeli można utw pary we-wy, które są zgodne (wobrębie pewnego kryterium) ze wszystk parami we-wy układu. Zasadność mod jest związana z układem eksperymentu i kryterium, według którego mierzona jest zgodność par we-wy. 21. Mod podstaw a reakcja przejścia: Pozwala uzyskać wszystkie trajektorie we-wy (całą reakcję) układu rzeczywistego, tzn. jest zasadny dla „wszystkich” dopuszczalnych ukł eksperym. 22. Do czego odnosi się zasadność / wierność mod (scalonego): mod scal: uproszcz model podst zasadny dla układu eksper. 23. Podstawowe operacje redukcji: scalanie komponentow; upraszczanie interakcji; 24. Elementy modelu podst i podlegaj redukcji: elementy; zmienne opisowe; reguły interakcji; schemat oddziaływań. 25. Upraszczanie: pomijanie; uogoln zakresow; zastępow zmiennych opisowych przez zmienne losowe; grupow elem i zm. opisowych; upraszcz reguł interakcji i sch-t oddziaływań. 26. Ograniczenia symulacji: Ogran zasobów komput: czas symulacji (czasem symulacja może trwać kilka dni a nawet lat); pamięć (operacyjna) (problemy z ulokowaniem danych w przestrzeni pam. Komputera); oprogramowanie systemowe (należy dostosować się do możliwości systemu operacyjnego oraz j programowania – biblioteki, kompilatory, translatory, obsługa komend, gospodarkapamięcią). Ograniczenia czynnika ludzkiego: czas i wysiłek współmierny do efektów; ch-r oprogramow (łatwość w obsłudze, usuwaniu, itp.) 27. Dobrze opis model ukł autonomicz: Mod jest dobrze opisany jeżeli speł są warunki: |X| = n;   |Z| = m;   Z =  [Z₁,…,Z_n||Z_n + 1,…,Z_m]^T =  [X₁,…,X_n||V₁,…,V_g]^T = [ ]; dla każdego t⁺ > t    (t) → [(t⁺), (t⁺)] Inicjalizacja (t) = […] Wzmocnienie: t > t⁺ . 28. Zbior zmiennych stanu: X = {X∈Z,|X|=min:X(t)→Z(t⁺)}Zmienne stanu X (wektor) jest to min podzbiór zbioru zmiennych opisowych taki, że jego znajom wystarcza do określ wszystk pozost zmiennych Z w nast. chwili czasu. 29. Podstawowa reguła/struktura interakcji: τ =  {t₀t₁…t_s} t_i ≤ t_s,  i = 0…s;    τ - momenty obliczeniowe (czasy modelowe, dla których można wytw zbiory wart zmiennych opis mod Z)  M :   z(t_i + 1) = R^t_i{x(t_i)} lub M :   x(t_i + 1) = R_x^t_i{x(t_i)} i v(t_i + 1) = R_v^t_i{x(t_i)}Sym przejścia mod: t_i→ t_i + 1.

30. Prototypowa procedura symulacji: Założenia: model dyskretny, niezmienny w czasie; wartości początkowe dla t = t₀; x(t₀)=x₀; momenty obliczeniowe: τ = {t₀, t₁, …, t_s}; głębokość wglądu: h (związane z dokładnością i czasem symulacji, zakładamy stałe). Kroki: 1. Inicjalizacja zegara: tt₀; 2. Inicjal zmiennych stanu: (t); 3. Zastosowanie reguły iteracji: (t) = R_v^h{ (t)} oraz (t) = R_x^h{ (t)}. 4. Przesunięcie zegara: tt + h; krok 5. Sprawdz warunków końca: Koniect > t₀ + s * h;Krok 6. Jeśli nie koniec to do kroku 3. 33. Model normalny jako automat autonomiczny: ⟨x,y,R,P⟩ sekwencja, bo kolejność ma znaczenie w maszynie sekwencyjnej (automacie)  x = {x_i},  y = {y_i};    R : x → x, P : x → y; x – to zbiór wektorów (np. zbiór pkt w sali wykładowej).34. Sekwencja stanów wejść i wyjść: Przedział obserwacji: [t,t⁺];    [t=t₀,…,t⁺=t₀+s*h=t_s], sekwencja sił obliczeniowych dzięki powyższemu zapisowi możemy utworzyć ciąg: { (t₀),  , …,  (t_s)=}(sekwencja stanów); sekwencja stanów generowana jest za pomocą funkcji przejścia stanów: =R(;i = 1, 2, …, s; sekwencja wyjść: { ₀,  …,}, Funkcja wyj ₁=P(x_i).

36. Trajektoria wejść dla momentów obliczeniow i=0,1,…,S Dla mod nieautonomicznego(bo tylko tam jest wejście): T_{u, [t, t⁺]}(t₀+i*h) = u_i dla 0 ≤ i ≤ s; 37. Opisowe zmienne nie wejściowe: Zmienne nie wejściowe: U = − = ={_j} – Z to zmienne wejściowe, zmienne nie wejściowe to zmienne opisowe określone przez model. 38. Dobrze opisany model stanu nieautonomicznego: Dla każdego t⁺ > t wartość (t) oraz trajekt wejść w przedziale [t, t⁺]: T_{u, [t, t⁺]}(t₀+i*h) = u_i dla 0 ≤ i ≤ s; Jednoznacznie określają =  :   = ω(t₀ + i * h)|_i = s 39. Zbiór zmiennych stanu nieautonom: zbiór stanu: X = {X ⊂ , |x| = min : (x(t),T_{u, [t, t⁺]} )→ (t⁺)}. 40. Zmienne stanu modelu dyskretnego i stacjonarnego: X = {X ⊂ , |x| = min : (x(t),u(t),u(t+h)) → Ω(t+h)} 42. Układ nieautonomiczny jako automat (maszyna sekwencyjna): <U,X,Y,R,P> - wartości zmiennych; u = {u_i} ⊂ ξ_u1 x ξ_u2 x…ξ_up;     x = {x_i} ⊂ ξ_u1 x ξ_u2 x…ξ_un;   y = {y_i} ⊂ ξ_u1 x ξ_u2 x…ξ_uq; ←prod kartez zakresów R : x × u = >x; P : x × u = >y. Czy to jest funkcja R czy P dowiemy się dopiero wtedy kiedy ktoś je nazwie gdyż nie możemy jej rozróżnić po opisie magnetycznym. 44. Reakcja stanu wej-wyjściowa:_RS = {(T_u, T_x)};_Rω/ω = {(T_u, T_y)},  gdzie T_u – trajektoria wejściowa, T_x – trajektoria stanów, (T_u, T_x)− para trajektorii wej-stanowych, (T_u, T_y) – para trajektorii wejściowo-wyjściowych. 45. Metody generacji liczb pseudolosowych: generacja liczb pseudol odbywa się za pomocą deterministycz reguł. Sekw determ: powtarzanie: przez zastosowanie tych samych zarodków: x_i  ∈ C_[0,p),  i = 1, …n; okresowe: |X| = r_pⁿ = pⁿ,  gdzie r_pⁿ – n zarodków z przedziału [0,p). 46. Zasada działania generatora addytywno-multiplikatywnego: Krok 1: niech s₀ ∈  C_[0,p) = {0,1,…p−1} −  wart. zm. stanu. Krok 2: ∀_{si,  i = 0, 1…}s_i + 1 = (a*s_i+b)mod p, gdzie: a, b ∈ C_[0,p); m mod p = n ⇔ m = kp + n; gdzie :  m, k ∈ C_[0,∞),  p ∈ C_[1,∞), n ∈ C_[0,p) Krok3: $r_{i} = \frac{s_{i}}{p}$ zwykle: p = 2^L,  L ∈ C_[1,∞);  s_i ∈ B_L = C_[0,p) = {0, 1, …, 2^L − 1};  m mod p = m and(p−1);   s_i- zarodki, i ∈ C_[0,∞) s₀- zarodek początkowy. 47. Generator losowy jako maszyna sekwencyjna:

M= <X,Y,R,P>; X = C_[0,p); Y = R_[0,1) = [0,1); R:C_[0,p) → C_[0,p); xR(x) = (ax+b)mod p; P:C_[0,p) →  R_[0,1);

$y P\left( x \right) = \frac{x}{p} \leftarrow (max\frac{p - 1}{1} < 1)$ 48. Zasada działania liniowego generatora wyższego rzędu: Krok1: s_i ∈  C_[0,p)dla i ∈  C_[−n,−1);

Krok2: $\forall_{s_{i},\ i = 0,1\ldots}s_{i} = (\sum_{j = 1}^{n}{a_{j}s_{i - j})mod\ p;\ }a_{j} \in C_{\left\lbrack 0,p \right)},\ j \in C_{\left\lbrack 1,n \right)}$; Krok3: : $r_{i} = \frac{s_{i}}{p}$. 49. Podstawowe testy losowości: równomiernego założenia prawdopodobieństwa; słabej korelacji pomiędzy liczbami. 50. Generator o rozpadzie gaussowskim: Rozkład normalny = gaussowski:

$p\left( x \right) = \frac{1}{\sigma_{x}\sqrt{2\pi}}\exp\left( - \frac{1}{2}\left( \frac{x - m_{x}}{\sigma_{x}} \right)^{2} \right),\ - \infty < x < \infty$. 51. Metoda Monte Carlo: jest grą losową, która może być wykorzystywana do rozwiązania określonych problemów. Rozwiąz jest otrzym w wyniku próbk, a nie w sposób analit lub za pomocą innych metod.p :  R_[A, B] → R_[0, C],

Krok1: losowanie x ∈ R_[A,B) Krok2: losow: y ∈ R_[0,C)Krok 3. Jeśli y > p(x) -> Krok1 (czyli odrzucony wynik), inaczej x : p(x); (do tego wykres gęstości prawdop). Niska efektywność tej metody: generow 2 liczb pseudolosow o rozkł równomier; powatrzanie prób.

52. Metoda dystrybuanty: p : R → R_[0, ∞),  dystrybuanta: F(x) = ∫_−x^xp(ξ)dξ absolutnie ciągła zmienna losowa, (wykres dystrybuanty);

Algorytm: Krok1. Losowanie Fx ∈ R_[0,1]; Krok2. Interpolacja: Niech A ≤ x_i ≤ x ≤ x_i + 1 ≤ B oraz F(x_i) ≤ F(x) ≤ F(x_i + 1) wowczas:

$x = x_{i} + (x_{i + 1} - x_{i})\frac{Fx - F(x_{i})}{F\left( x_{i + 1} \right) - F(x_{i})}$ 53. Główny postulat modelowania inżynierskiego. Model: nie może być zbyt prosty, gdyż wówczas wnioski nie będą słuszne dla układu rzeczywistego; nie może być tak złożony, by niepotrzebnie nie komplikować analizy

54. Podstawowe metody modelowania inżynierskiego. Są dwie podstawowe metody:1) analityczna / fizyczna: systematyczne zastosowanie PRAW FIZYKI do poszcze podukł ( elementy układu rzeczywistego / układu eksperymentu); analityczne połączenie zamodelowanych podukł. 2) syntetyczna / matematyczno-eksperymentalna: dobór matematyczny relacji wejściowo-wyjściowej; dopasowanie param tej relacji do danych eksperymentalnych (trajektorii wej – wyj) 55. Podstawowa cecha układów fizycznych:

Układy fizyczne (elektryczne, mechaniczne, hydrauliczne, termiczne) posiadają możliwości: przechowywania, rozpraszania, przekazywania,

przekształcania. 56. Metoda analitycznego modelowania. Modelowanie analityczne: 1. cel modelowania 2. rozdział układu rzeczywistego od środowiska 3. modelowanie fizyczne / właściwe do naśladowania reakcji 4. przydział zmiennych do istotnych cech układu rzeczywist

5. opis matematyczny elem 6. równania oddziaływań między elementami 7. przetworzenie równań w pożądany model 8. pożądany

9. weryfikacja modelu 57. Procedura modelowania analitycznego: Postaw cel modelowania; zdefiniuj układ rzeczywisty; zaproponuj strukturę modelu; wyspecyfikuj zmienne; opisz elementy matematycznie; opisz oddziaływanie między elementami; zintegruj równania modelu; opracuj pożądaną postać modelu; dokonaj weryfikacji modelu. 58. Typy zmiennych: są 2 typy zmienn: (J): przelotowe/tranzytowe; wzdłużne/kanałowe; przepływowe/natężeniowe (cecha: posiadają tę samą wart na obu końcach elem (wej-wyj), przykład: prąd, siła, moment wydaj pracy, natężenie przepływu ciepła; (V): punktowe/stacjonarne;poprzeczne/wlot-wylot; poziomowe/potencjałowe

(cecha: mają rożne wartości na obu końcach elementu (wej-wyj); przykład: napięcie, ciśnienie, prędkość, temperatura).

59. Definicja i przykłady zmiennych wzdłużnych. Zmienna wzdłużna posiada tą samą wartość na obu końcach elementu (wej-wyj). Zmienna ta musi spełniać zasady ciągłości/zachowania przepływu: węzłowe prawo Kirchhoffa ( I1 = I2 + I3 ); druga zasada dynamiki Newtona

zasada rownowagi sił D’Alemberta; zasada zachowania masy przepływającej (cieczy); zasada rownowagi cieplnej.

60. Definicja i przykłady zmiennych poprzecznych. Zmienna poprzeczna ma rożne wartości na obu końcach elementu (wej-wyj). Zmienna ta musi spełniać warunki kompatybilności/zgodności: obwodowe (napięciowe) prawo Kirchhoffa: warunki kompatybilności względnych prędkości ruchu; warunki kompatybilności spadków ciśnienia; warunki kompatybilności spadków potencjału; warunki kompatybilności spadków temperatury. 61. Reguły opisu oddziaływania między elementami. zasady ciągłości dla zmiennych J (zmienne wzdłużne/natężeniowe) warunki zgodności dla zmiennych V (zmienne poprzeczne/napięciowe) liniowe grafy (nawet dla elementow nieliniowych) 62. Metoda syntetycznego modelowania. a) dobor matematycznej relacji wejściowo – wyjściowej (wybieramy model)

b) dopasowanie parametrow tej relacji do danych eksperymentalnych (trajektorii we/wy); Podstawy modeli syntetycznych: prawa fizyki (WHITE/GRAY BOX); użyteczność (BLACK BOX). 63. Zalety modelowania syntetycznego (Black Box).Użyteczność: odtwarzanie reakcji U.RZ/U.E, łatwość w użytkowaniu, złożoność U.RZ (socjo-ekonom., biologiczne), wszystkie parametry wymagają określenia (identyfikacja parametrow przez dyskretną estymację) 64. Dyskretne modele syntetyczne: AR (auto regresive) ARX (auto regresive with exogenius input – z nieautonomicznym wejściem); MA (moving average) MAX (... with exogenius input); ARMA (auto regresive with moving average) ARMAX (... with exogenius input); ARIMA (auto regresive with integration moving average) ARIMAX (... with exogenius input)

72. Metody SR: Metoda ogolna strukturalizacji liniowych/nieliniowych rownań rożniczkowych zwyczajnych ze stałymi lub zmiennymi współczynnikami; Metoda kanonicznej strukturalizacji transmitancji operatorowych: metoda zagnieżdżonego całkowania; metoda zmiennej pomocniczej.73. Ogólna metoda SR Krok 1. Wyznaczyć najwyższą (n) pochodną z r.r. Krok 2. Narysować kaskadę (n) integratorow. Krok 3. Związać najwyższą pochodną z wejściem kaskady i pozostałe pochodne z wyjściami integratorow. Krok 4. Zrealizować SR Kroku 1. 74. SR metodą zagnieżdżonego całkowania: Krok 1. Zapisać operatorowe rownanie we/wy. Krok 2. Wyznaczyć najwyższą pochodną funkcji wyjścia. Krok 3. Uformować wielomian zmiennej s (pogrupować wg potęg). Krok 4. Wyznaczyć funkcję wyjścia (przez wielokrotne całkowanie). Krok 5. Uformować kaskadę (n) zagnieżdżonych integratorow. Krok 6. Zrealizow SR Kroku 4 75. Metoda zmiennej pomocniczej: Krok 1. Wprowadzenie zmiennej pomocniczej przez przemnożenie licznika i mianownika transmitancji operatorowej przez V(s). Krok 2. Porownanie uzyskanego wyrażenia wymiernego do ilorazu transformacji wyj. i wej. Krok 3. Zapisanie operatorowych rownań: (a) wejście – zmienna pomocnicza na podstawie porownania mianownikow (b) zmienna pomocnicza – wyjście na podstawie porownania licznikow Krok 4. Określenie struktury modelu (a) metodą ogolną. Krok 5. Określenie struktury modelu (b) metodą ogolną/bezpośrednią.