Podstawowe człony liniowe układu regulacji automatycznej

1.      Człon inercyjny I – rzędu

Równanie różniczkowe członu inercyjnego I - rzędu ma postać:

                                                                                                                                                  

Stąd transmitancja operatorowa tego członu przedstawia się wzorem

gdzie k jest wzmocnieniem równym stosunkowi ustalonej wartości sygnału wyjściowego do ustalonej wartości sygnału wejściowego, T jest stałą czasową.

Odpowiedź jednostkowa

gdzie 1(t) jest funkcją skoku jednostkowego

Odpowiedź impulsowa

Transmitancja widmowa

Część rzeczywista transmitancji widmowej

Część urojona transmitancji widmowej

Moduł transmitancji widmowej

Kąt fazowy

Charakterystyka logarytmiczna amplitudowa

2.      Człon inercyjny II- rzędu

Równanie różniczkowe członu inercyjnego II- rzędu

gdzie k jest wzmocnieniem członu określonym jako stosunek ustalonej wartości sygnału wyjściowego do ustalonej wartości sygnału wejściowego, T₁, T₂ są stałymi czasowymi.

Transmitancja operatorowa

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

Transmitancja widmowa

Stąd

Charakterystyka logarytmiczna

3.      Człon oscylacyjny II- rzędu

Równanie różniczkowe członu oscylacyjnego II- rzędu

gdzie

T_o – okres drgań nie tłumionych,

ζ – współczynnik tłumienia,

k – wzmocnienie równe stosunkowi ustalonej wartości sygnału wyjściowego do ustalonej wartości sygnału wejściowego.

Transmitancja operatorowa

Odpowiedź skokowa

gdzie

_.

Odpowiedź skokowa ma charakter oscylacyjny, jeżeli spełniony jest warunek:

Odpowiedź impulsowa

Transmitancja widmowa członu oscylacyjnego

Stąd

Charakterystyka logarytmiczna

4.      Człon całkujący idealny

Równanie różniczkowe członu całkującego idealnego

gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia równym stosunkowi pochodnej sygnału wyjściowego w stanie ustalonym do sygnału wejściowego w stanie ustalonym.

Transmitancja operatorowa

Odpowiedź jednostkowa

Odpowiedź impulsowa

Transmitancja widmowa

5.      Człon całkujący z inercją

Równanie różniczkowe członu całkującego z inercją

gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia równym stosunkowi pochodnej sygnału wyjściowego w stanie ustalonym do sygnału wejściowego w stanie ustalonym, T jest stałą czasową części inercyjnej członu.

Transmitancja operatorowa

Odpowiedź jednostkowa

Odpowiedź impulsowa

Transmitancja widmowa

6.      Człon różniczkujący

Równanie różniczkowe członu różniczkującego idealnego

gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia równym stosunkowi sygnału wyjściowego do pochodnej sygnału wejściowego.

Transmitancja operatorowa

 

Odpowiedź jednostkowa

Odpowiedź impulsowa

Pochodna funkcji 

Transmitancja widmowa

7.      Człon różniczkujący z inercją

Równanie różniczkowe członu różniczkującego z inercją

gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia równym stosunkowi sygnału wyjściowego do pochodnej sygnału wejściowego.

Transmitancja operatorowa

 

Odpowiedź jednostkowa

Odpowiedź impulsowa

Transmitancja widmowa

8.      Człon opóźniający

Człon opisany równaniem

nazywamy członem opóźniającym.

Transmitancja członu opóźniającego

Odpowiedź jednostkowa

Odpowiedź impulsowa

Transmitancja widmowa

czyli

zatem

Charakterystyka logarytmiczna

9.      Człon opóźniający z inercją

ma transmitancję operatorową

Odpowiedzi jednostkową i impulsową można wyznaczyć w sposób przybliżony

za pomocą aproksymacji Padego.

Transmitancja widmowa

Charakterystyka logarytmiczna

Regulatory konwencjonalne o działaniu ciągłym

1.      Regulator proporcjonalny – P

Równanie regulatora proporcjonalnego ma postać:

Stąd transmitancja operatorowa przedstawia się wzorem

gdzie k_p jest stałym współczynnikiem proporcjonalności, wzmocnieniem regulatora.

Odpowiedź jednostkowa

gdzie 1(t) jest funkcją skoku jednostkowego

Odpowiedź impulsowa

Transmitancja widmowa

Część rzeczywista transmitancji widmowej

Część urojona transmitancji widmowej

Moduł transmitancji widmowej

Kąt fazowy

Charakterystyka logarytmiczna amplitudowa

2.      Regulator całkujący – I

Równanie różniczkowe regulatora całkującego

gdzie k_i, T_i są stałymi parametrami regulatora.

Transmitancja operatorowa

Odpowiedź jednostkowa

Transmitancja widmowa

3.      Regulator proporcjonalno-całkujący – PI

Równanie regulatora proporcjonalno-całkującego

gdzie k_p, T_i są stałymi parametrami regulatora.

Transmitancja operatorowa

Odpowiedź jednostkowa

Odpowiedź impulsowa

Transmitancja widmowa

4.      Regulator proporcjonalno-różniczkujący – PD

Równanie różniczkowe regulatora proporcjonalno-różniczkującego idealnego

gdzie k_p, T_d są stałymi parametrami regulatora.

Transmitancja operatorowa

 

Odpowiedź jednostkowa

Transmitancja widmowa

5.      Regulator proporcjonalno-różniczkujący z inercją – PD rzeczywisty

Równanie różniczkowe regulatora proporcjonalno-różniczkującego z inercją

gdzie k_p, T_d, T są stałymi parametrami regulatora.

Transmitancja operatorowa

 

Odpowiedź jednostkowa

Transmitancja widmowa

6.      Regulator proporcjonalno-całkująco-różniczkujący – PID

Równanie różniczkowe regulatora proporcjonalno-całkująco-różniczkującego idealnego

gdzie k_p, T_i, T_d są stałymi parametrami regulatora.

Transmitancja operatorowa

 

Odpowiedź jednostkowa

Transmitancja widmowa

7.      Regulator proporcjonalno-całkująco-różniczkujący – PID rzeczywisty

Równanie regulatora proporcjonalno-całkująco-różniczkującego z inercją

gdzie k_p, T_i, T_d, T są stałymi parametrami regulatora.

Transmitancja operatorowa

 

Odpowiedź jednostkowa

Transmitancja widmowa