4. Minimalizacja błędów kumulacji

SUMOWANIE OD NAJMNIEJSZEJ WARTOŚCI BEZWZGLĘDNEJ

Przykład Szereg $\mathbf{S}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 0}}^{\mathbf{\infty}}\mathbf{x}^{\mathbf{- i}}$ $\mathbf{S}\left( \mathbf{7} \right)\mathbf{= 1 +}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{7}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}\mathbf{9}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{343}}\mathbf{+ \ldots}\mathbf{= 1}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$

Dane wejściowe z dokładnością 6 cyfr znaczących

1	0	0	0	0	0
0	1	4	2	8	5	7
0	0	2	0	4	0	8	2
0	0	0	2	9	1	5	4	5
0	0	0	0	4	1	6	4	9	3
0	0	0	0	0	5	9	4	9	9	0
0	0	0	0	0	0	8	4	9	9	8	6

Sumowanie „od największej liczby”

1	0	0	0	0	0
0	1	4	2	8	6
1	1	4	2	8	6
0	0	2	0	4	1
1	1	6	3	2	7
0	0	0	2	9	2
1	1	6	6	1	9
0	0	0	0	4	2
1	1	6	6	6	1
0	0	0	0	0	6
1	1	6	6	6	7
0	0	0	0	0	1
1	1	6	6	6	8

Sumowanie „od najmniejszej liczby”

0	0	0	0	0	0	8	4	9	9	8	6
0	0	0	0	0	5	9	4	9	9	0
0	0	0	0	0	6	7	9	9	8	9
0	0	0	0	4	1	6	4	9	3
0	0	0	0	4	8	4	4	9	2
0	0	0	2	9	1	5	4	5
0	0	0	3	3	9	9	9	4
0	0	2	0	4	0	8	2
0	0	2	3	8	0	8	1
0	1	4	2	8	5	7
0	1	6	6	6	5	5
1	0	0	0	0	0
1	1	6	6	6	6

Kolor żółty sumy cząstkowe, kolor czerwony zaokrąglenia.

Szeregi „sumowanie od końca” tablice wyrazów lub stos

całki Całkowanie numeryczne = kwadraura= sumowanie

Algorytm Gilla-Mallera

u:=0 p:=0

for i=1,n

v:=A[i]

s:=u+v

p:=u-s+v+p

u:=s

end i

wynik:=s+p

Analiza algorytmu Gilla-Mallera

Nawias [ ] kwadratowy oznacza zaokrąglenie

i	u	p	v	s
0	0	0
1	A1	[0- A1+ A1+0]	A1	A1
2	[A1+A2]	[A1-[ A1+ A2]+ A2]+[]	A2	[A1+ A2]
3	[[A1+ A2]+ A3]	[A1+A2-[[A1+ A2]+ A3]+ A3]+[]	A3	[[A1+ A2]+ A3]

Zmienna p

• w arytmetyce dokładnej ma wartość zero dla każdego i

• w arytmetyce przybliżonej ma wartość skumulowanego błędu zaokrągleń.