AKADEMIA MORSKA W GDYNI
KPT
ĆWICZENIA WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
ZADANIE ZALICZAJĄCE
MARCIN WASYLUK
MECH. GRUPA L7
ZADANIE.
DANE: q = 0, 05 [kN], F = 0, 05 [mN], L = 0, 8[m], EI = 0, 6[MNm2]
Belkę należy uwolnić od więzów:
W punkcie A należy podporę zastąpić reakcją Ra
W punkcie B uwiedzenie zastępujemy reakcją Rb i momentem utwierdzenia Mu
ZAPISUJEMY RÓWNANIA RÓWNOWAGI:
$$\sum_{}^{}M_{A} = 0:R_{A} + R_{B} - F - \frac{1}{2}qL = 0$$
$$\sum_{}^{}M_{B} = 0:\ F\frac{1}{2}L + \frac{1}{2}\text{qL}\frac{3}{4}L - R_{A}L - M_{U} = 0$$
Zadanie jest jednokrotnie statycznie nie wyznaczalne ponieważ są znane 3 równania równowagi i cztery niewiadome. Dodatkowe równania uzyskamy wykorzystując równania linii ugięcia.
Stosując metodę Clebscha, obciążenie ciągłe jeżeli jest to konieczne, należy przedłużyć do końca belki, dokładając na przedłużonym odcinku obciążenie ciągłe o przeciwnym zwrocie.
Warunki brzegowe:
dla x = 0 ↔ y = 0
dla x = l ↔ y = 0
$dla\ x = l\ \leftrightarrow \frac{\text{dy}}{\text{dx}} = 0$
Siły tnące:
Przedział 1: 0 ≤ x ≥ 0.5L
T(x) = −qx + RA|1
Przedział 2: 0 ≤ x ≥ L
$$q\left( x - \frac{1}{2}l \right) - \left. \ F \right|_{2}$$
Całkowite równanie sił tnących:
$$T\left( x \right) = - qx + \left. \ R_{A} \right|_{1} + q\left( x - \frac{1}{2}l \right) - \left. \ F \right|_{2}$$
Momenty gnące:
Przedział 1: 0 ≤ x ≥ 0.5L
Równanie momentu gnącego dla 1 przedziału ma postać:
$$\text{Mg}\left( x \right) = - \frac{1}{2}qx^{2} + \left. \ R_{A}x \right|_{1}$$
Przedział 2: 0 ≤ x ≥ L
Równanie momentu gnącego dla 2 przedziału ma postać:
$$\frac{1}{2}q\left( x - \frac{1}{2}\text{ql} \right)^{2} - F\left. \ \left( x - \frac{1}{2}L \right) \right|_{2}$$
Całkowite równanie momentu gnącego:
$$\text{Mg}\left( x \right) = - \frac{1}{2}qx^{2} + \left. \ R_{A}x \right|_{1} + \frac{1}{2}q\left( x - \frac{1}{2}\text{ql} \right)^{2} - F\left. \ \left( x - \frac{1}{2}L \right) \right|_{2}$$
Równanie różniczkowe osi ugiętej
$\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{1}{2}qx^{2} - \left. \ R_{A}x \right|_{1} - \frac{1}{2}q\left( x - \frac{1}{2}l \right)^{2} + F\left. \ \left( x - \frac{1}{2}l \right) \right|_{2}$
$\text{EI}\frac{dy}{\text{dx}} = C + \frac{1}{6}qx^{3} - \left. \ {\frac{1}{2}R}_{A}x^{2} \right|_{1} - \frac{1}{6}q\left( x - \frac{1}{2}l \right)^{3} + \frac{1}{2}F\left. \ \left( x - \frac{1}{2}l \right)^{2} \right|_{2}$
$EIy = D + Cx + \frac{1}{24}qx^{4} - \left. \ {\frac{1}{6}R}_{A}x^{3} \right|_{1} - \frac{1}{24}q\left( x - \frac{1}{2}l \right)^{4} + \frac{1}{6}F\left. \ \left( x - \frac{1}{2}l \right)^{3} \right|_{2}$
Obliczenie niewiadomych:
Warunek brzegowy 1 równanie 3 dla x = 0 ↔ y = 0
$$EI*0 = D + C*0 + \frac{1}{24}q0^{4} - \left. \ {\frac{1}{6}R}_{A}0^{3} \right|_{1}$$
D = 0
Warunek brzegowy nr 3 równanie nr 3 $dla\ x = l\ \leftrightarrow \frac{\text{dy}}{\text{dx}} = 0$
$$EI*0 = C + \frac{1}{6}ql^{3} - \left. \ {\frac{1}{2}R}_{A}l^{2} \right|_{1} - \frac{1}{6}q\left( l - \frac{1}{2}l \right)^{3} + \frac{1}{2}F\left. \ \left( l - \frac{1}{2}l \right)^{2} \right|_{2}$$
$$0 = C + \frac{1}{6}ql^{3} - \left. \ {\frac{1}{2}R}_{A}l^{2} \right|_{1} - \frac{1}{6}q\left( l - \frac{1}{2}l \right)^{3} + \frac{1}{2}F\left. \ \left( l - \frac{1}{2}l \right)^{2} \right|_{2}$$
$$\mathbf{C =}\frac{\mathbf{24}\mathbf{R}_{\mathbf{A}}\mathbf{l}^{\mathbf{2}}\mathbf{- F}\mathbf{l}^{\mathbf{2}}\mathbf{- 7}\mathbf{q}\mathbf{l}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{48}}$$
Podstawiając i wykorzystując war 2 i wykorzystując równania równowagi możemy wyliczyć wszystkie niewiadome.
$$0 = \frac{24R_{A}l^{2} - Fl^{2} - 7ql^{3}}{48}L + \frac{1}{24}ql^{4} - \frac{1}{6}R_{A}l^{3} - \frac{1}{24}q\left( \frac{1}{2}l \right)^{4} + \frac{1}{6}F\left( \frac{1}{2}l \right)^{3}$$
$${0 = R}_{A} + R_{B} - F - \frac{1}{2}\text{qL}$$
$$0 = F\frac{1}{2}L + \frac{1}{2}\text{qL}\frac{3}{4}L - R_{A}L - M_{U}$$
$$\mathbf{R}_{\mathbf{A}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{40}\mathbf{F - 41}\mathbf{\text{ql}}}{\mathbf{128}}\mathbf{= 0,0284\lbrack MNm\rbrack}$$
$$\mathbf{R}_{\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{88}\mathbf{F - 23}\mathbf{\text{ql}}}{\mathbf{128}}\mathbf{= 0,0416}\left\lbrack \mathbf{\text{MNm}} \right\rbrack$$
$$\mathbf{M}_{\mathbf{u}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{24}\mathbf{Fl + 7}\mathbf{q}\mathbf{l}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{128}}\mathbf{= 0,0092\lbrack MNm\rbrack}$$
$$\mathbf{C =}\frac{\mathbf{24}\mathbf{F}\mathbf{l}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{11}\mathbf{\text{ql}}}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{768}}\mathbf{= 0,00137\lbrack MN}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}$$
Wykres sił tnących i momentów gnących.
Równanie sił tnących ma postać:
$$T\left( x \right) = - qx + \left. \ R_{A} \right|_{1} + q\left( x - \frac{1}{2}l \right) - \left. \ F \right|_{2}$$
Dlatego dla x = 0
T(0) = −q * 0 + RA|1
T(0)=RA=0, 0284[MN]
Dla x = 0,5l|1
$$T\left( 0,5l \right) = - q\frac{1}{2}l + \left. \ R_{A} \right|_{1}$$
$$\mathbf{T}\left( \mathbf{0,5}\mathbf{l} \right)\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{A}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ql = 0,084\lbrack MN\rbrack}$$
Dla x = 0,5l|2
$$T\left( 0,5l \right) = - q\frac{1}{2}l + \left. \ R_{A} \right|_{1} + q\left( \frac{1}{2}l - \frac{1}{2}l \right) - \left. \ F \right|_{2}$$
$$\mathbf{T}\left( \mathbf{0,5}\mathbf{l} \right)\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{A}}\mathbf{- q}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{l - F = - 0,0416\lbrack MN\rbrack}$$
Dla x = l
T(l)= − 0, 0416[MN]
$$\text{Mg}\left( x \right) = - \frac{1}{2}qx^{2} + \left. \ R_{A}x \right|_{1} + \frac{1}{2}q\left( x - \frac{1}{2}\text{ql} \right)^{2} - F\left. \ \left( x - \frac{1}{2}L \right) \right|_{2}$$
Dla x = 0
$$\text{Mg}\left( 0 \right) = - \frac{1}{2}q0^{2} + R_{A}0$$
Mg(0)=0
Dla x = 0, 5l
$$\mathbf{\text{Mg}}\left( \mathbf{0,5}\mathbf{l} \right)\mathbf{= -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}\mathbf{q}\mathbf{l}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{A}}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{l = 0,00736\lbrack MNm\rbrack}$$
Dla x = L
Mg(L)= − 0, 00925[MNm]
WYKRESY:
Wykres sił tnących i momentów gnących:
Do sprawdzenia obliczeń użyto programu Belka
Wyniki programu przedstawiają się następująco:
Wykresy z programu belka.