Ściskanie i rozciąganie.

Przykład 1
Pręt stalowy o średnicy d = 5 mm i długości l = 2 m jest rozciągany siłą
P = 1600 N. Obliczyć naprężenia oraz wydłużenie całkowite i względne pręta. Moduł Younga dla stali wynosi E = 2,1 · 10⁵ MPa.

R o z w i ą z a n i e.
Naprężenia normalne w poprzecznym przekroju pręta wynoszą

                 


a wydłużenie całkowite (z prawa Hooke'a)

                 


Przykład 2
Obliczyć wydłużenie wywołane ciężarem własnym pręta pryzmatycznego o długości l, wykonanego z materiału o ciężarze właściwym γ i module Younga E.

                         


R o z w i ą z a n i e .
Wytnijmy z pręta odcinek o długości dx oddalony o x od górnego końca pręta. Odcinek ten jest rozciągany siłą równą ciężarowi pręta o długości l - x, a więc Q = S(l - x)γ.

Wydłużenie odcinka dx wynosi (z prawa Hooke'a)

                 


Całkowite wydłużenie pręta jest równe

                 


Wydłużenie to jest równe wydłużeniu wywołanemu siłą równą ciężarowi pręta, przyłożoną w środku ciężkości pręta.

Przykład 3
Doskonale sztywna belka AC = 3l = 5 m jest zamocowana jednym końcem A na stałej podporze przegubowej i cięgnie BD. Cięgno tworzy z osią belki kąt  = 30º. Obciążenie belki stanowi pionowa siła
P = 20 kN, przyłożona w punkcie C. Obliczyć przekrój poprzeczny cięgna, jeżeli naprężenie dopuszczalne na rozciąganie wynosi
k_r = 100 MPa.




R o z w i ą z a n i e.
Belka jest obciążona siłą P i reakcjami R_A i N. Niewiadomą reakcję N w cięgnie wyznacza się z równania momentów względem punktu A

                 

Stąd
                 


Naprężenia normalne w cięgnie nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych na rozciąganie

                 


Zatem wartość przekroju poprzecznego cięgna wynosi

                 


Przykład 4
Pręt ACE o dwóch różnych średnicach, utwierdzony w punkcie A, jest obciążony w przekrojach B i D siłami 5P = 500 kN i P = 100 kN. Przekrój poprzeczny części pręta AC = 2l = 1 m jest równy
2A = 4 · 10^-3 m², a części CE = 2l = 1 m wynosi A = 2 · 10^-3 m². Pręt jest wykonany ze stali, dla której współczynnik sprężystości wzdłużnej wynosi E = 2,1 · 10⁵ MPa i granica plastyczności R_e = 220 MPa. Obliczyć współczynnik bezpieczeństwa n odniesiony do granicy plastyczności.




R o z w i ą z  a n  i e.
Reakcja w miejscu utwierdzenia pręta jest równa

                


Badając równowagę myślowo odciętych części pręta, otrzymuje się

                


Biorąc pod uwagę wartości tych sił obliczono naprężenia normalne

                


Współczynnik bezpieczeństwa, z jakim pracuje pręt, oblicz się ze wzoru

                

Ścinanie.

Przykład 1
Dwa płaskowniki połączone nitami o średnicy d = 20 mm rozciągane są siłą F = 100 kN. Grubość blach g = 10 mm, dopuszczalne naprężenie na ścinanie k_t = 100 MPa, a na rozciąganie k_r = 160 MPa. Określ liczbę i nitów potrzebnych do tego połączenia oraz sprawdź płaskownik o szerokości b = 160 mm na rozciąganie.




R o z w i ą z a n i e.
Łączne pole przekroju poprzecznego wszystkich nitów wynosi

                 


Pole przekroju ścinanego jednego nitu wynosi

                 


Wobec tego liczba nitów potrzebna ze względu na ścinanie

                 


Po wstawieniu danych otrzymamy

                 


Przyjmujemy i = 4 nity.

Połączenie nitowe sprawdzamy na docisk powierzchniowy

                 

gdzie k_d  - dopuszczalny nacisk powierzchniowy przyjmowany jako
(2 ÷ 2,5)k_r

Stąd mamy 

                 


Przyjmując w naszym przypadku k_d  = 2k_r = 320 MPa

                 


a więc i = 2 nity

Jest to najmniejsza liczba nitów potrzebna ze względu na docisk.
Do połączenia należy przyjąć większą z otrzymanych liczb, czyli 4.

Przykład 2
Dobrać wymiary elementu przedstawionego na rys., jeżeli siła
P = 80 kN, a naprężenia dopuszczalne wynoszą k_t = 120 MPa,
k_r = 80 MPa, k_d  = 200 MPa.




R o z w i ą z a n i e.
Przekrój 1 - 1 pręta pracuje na rozciąganie

                 

więc
                 


Przyjmujemy średnicę d = 30 mm. Jeżeli siła P będzie zbyt duża, to element ulegnie zniszczeniu polegającemu na tym, że pręt przedstawiony na rys. b przesunie się w prawo, a przekrój 2 - 2 zostanie ścięty. Ponieważ pole powierzchni ścinanej jest równe
S₂ = dh, więc naprężenia styczne wynoszą

                 

skąd
                 


W miejscach docisku poszczególnych elementów konstrukcji nie mogą powstawać odkształcenia trwałe; naprężenia docisku nie mogą przekraczać wartości naprężeń dopuszczalnych na docisk.
Powierzchnia S₃ (rys. c) jest dociskana do ściany siłą P. Pole powierzchni wynosi

                 


Naprężenia docisku

                 

stąd
                 


Przykład 3
Pręt stalowy o średnicy d = 60 mm  połączono spoiną z płytą. Wyznaczyć wymaganą grubość a spoiny, jeżeli dla pręta k_r = 160 MPa, zaś dla spoiny k_t = 120 MPa.

                                  


R o z w i ą z a n i e.
W połączeniach tego typu przyjmuje się, że skoro pręt może przenosić siłę rozciągającą

                 


to również i spoina powinna bezpiecznie przenosić taką właśnie siłę (układ o równej wytrzymałości), zatem

                 

Momenty bezwładności.

Przykład 1
Wyprowadź wzór na moment bezwładności półkola względem osi centralnej.




R o z w i ą z a n i e.
Moment bezwładności półkola względem osi z jest równy połowie momentu bezwładności całego koła

                 


Stosując wzór Steinera, mamy

                 


Przykład 2
Obliczyć moment bezwładności danego przekroju względem osi centralnej.




R o z w i ą z a n i e.
Położenie środka ciężkości przekroju jest określone współrzędną

                   


Moment bezwładności przekroju jest równy sumie momentów bezwładności względem osi z_c trzech figur składowych.
Dla półkola I₁ = 0,11r⁴, a względem osi z_c (stosując wzór Steinera)

                  


Dla prostokąta I₂ = 2r · r³/12 i względem osi z_c  

                  


a dla trójkąta I₃ = 2r · r³/36, zatem 

                 


Ostatecznie otrzymamy

                 


Przykład 3
Obliczyć odśrodkowy moment bezwładności ćwiartki koła względem układu osi yz.




R o z w i ą z a n i e.
Elementarne pole wynosi

                


a współrzędna jego środka ciężkości

                 


Moment odśrodkowy wynosi

                  


Przykład 4
Wyznacz moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta o masie m i długości l względem osi Ox i osi centralnej Cx_c.

                       


R o z w i ą z a n i e.
Wycinamy myślowo w odległości y od osi Ox element długości dy.
Masa elementu o długości dy wynosi

                 

Pomijając wymiary poprzeczne pręta (z = 0) otrzymujemy

                 


Moment bezwładności względem osi centralnej Cx_c.

                 


Przykład 5
Wyznaczyć momenty bezwładności płaskiej kołowej płytki o masie m i promieniu r względem osi Ox, Oy i Oz.

                      


R o z w i ą z a n i e.
Moment bezwładności względem osi Oz jest biegunowym momentem bezwładności. W odległości ρ od środka tarczy wycinamy pierścień o grubości dρ, zatem

                 

Masa wyciętego pierścienia wynosi

                 

Stąd
                 


Mamy także

                 

Stąd
                 


Możemy również napisać

                 

Zatem
                 

Zginanie.

Przykład 1
Lina stalowa złożona z drucików o średnicach d = 0,8 mm jest nawijana na bęben o średnicy D = 40 cm. Obliczyć, jakie naprężenia wywołane zginaniem powstają w drutach, jeżeli moduł Younga E = 2,2 · 10⁵ MPa.

R o z w i ą z a  n i e.
Stosując następujący wzór otrzymujemy odpowiedź

                 


Przykład 2
Wykonać wykresy sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.

R o z w i ą z a n i e.
Warunki równowagi sił działających na belkę są następujące

                 

Stąd
                 


Obliczenia są podane w tabelce i na tej podstawie sporządzono wykresy.



Przykład 3
Wykonać wykresy sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.

R o z w i ą z a n i e.
Warunki równowagi sił działających na belkę są następujące

                 

Stąd
                 


Obliczenia są podane w tabelce i na tej podstawie sporządzono wykresy.




Przykład 4
Wykonać wykresy sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.

R o z w i ą z a n i e.
Aby wyznaczyć reakcje podporowe, rozłączamy w myśli belkę w przegubie B. Otrzymujemy dwa samodzielne układy.
Warunki równowagi sił działających na belkę są następujące
dla układu pierwszego

                  

dla drugiego
                  
                  

Stąd
                  


Obliczenia są podane w tabelce i na tej podstawie sporządzono wykresy.







Przykład 5
Belka o długości l = 2 m oparta końcami na dwóch podporach i obciążona w sposób ciągły (q = 10 kN/m) ma przekrój prostokątny o wysokości dwukrotnie większej od szerokości (h = 2b). Obliczyć konieczną szerokość i wysokość belki, jeżeli naprężenia dopuszczalne na zginanie wynoszą k_g = 150 MPa.

R o z w i ą z a n i e.
Maksymalny moment gnący dla belki wynosi

                  

Moment bezwładności przekroju poprzecznego 

                  

tak więc wskaźnik na zginanie przekroju poprzecznego wynosi

                  


Stosując wzór

                  

otrzymujemy

                  

Skręcanie.

Przykład 1
Silnik elektryczny o mocy P = 80 kW i obrotach n = 750 obr/min napędza dwie maszyny, z których jedna pobiera 70%, a druga 30% mocy silnika. Obliczyć minimalne średnice wałów napędzających obie maszyny, jeżeli naprężenia dopuszczalne wynoszą k_s = 80 MPa.

             

R o z w i ą z a n i e.
Moment skręcający w wale 1 wynosi

                 

a w wale 2

                 


Naprężenia w wale 1 wynoszą

                 

skąd
                 

analogicznie

                 


Przykład 2
Dla wału przedstawionego na rys. wykonać wykres momentów skręcających oraz obliczyć największe naprężenia i całkowity kąt skręcenia wału.




R o z w i ą z a n i e.
Moment reakcji ściany wynika z równania statyki 

                 

stąd
                 

Moment pracujący w przedziale 1 (0  x₁  l)

                 

w przedziale 2 (l  x₂  l)

                 

a w przedziale 3 (2l  x₃  l)

                 


Odcinki wału odpowiadające współrzędnym oraz wykres momentów skręcających pokazano na rysunku. 

Największy moment skręcający wynosi M_{s max} = M_s2 = 3M, a największe naprężenie styczne

                 

Całkowity kąt skręcenia jest sumą kątów skręcenia kolejnych odcinków wału
                 


Znak dodatni świadczy o tym, że lewy koniec pręta obróci się w kierunku zgodnym z momentem 2M.

Przykład 3
Zaprojektować stalową sprężynę śrubową, która pod działaniem siły
P = 500 N wydłuży się o l = 6 cm. Naprężenie dopuszczalne na skręcanie dla stali sprężynowej k_s = 400 MPa, G = 8,5 · 10⁴ MPa, a stosunek średnic D/d = 10.

R o z w i ą z a n i e.
Ze wzoru

                 

znajdujemy

                 


Ponieważ D = 10d, więc d = 5,67 mm  5,7 mm, a D = 57 mm.

Liczbę zwojów obliczymy ze wzoru

                 

stąd
                 

---