1.Narysuj filtr adaptacyjny i podaj algorytm filtracji LMS

Schemat filtra adaptacyjnego

Filtr adaptacyjny jest to filtr, przeważnie typu FIR, w którego współczynniki h[n] są przestrajane w trakcie filtracji w taki sposób, aby sygnał wyjściowy filtra y[n] był dopasowany do sygnału pożądanego(desired) d[n] (nazywany również sygnałem odniesienia), tzn. błąd zdefiniowany jako e[n]=d[n]-y[n] i był jak najmniejszy). Przykładem filtrów adaptacyjnych są filtry RLS i LMS. Algorytm filtru LSM:I.Inicjalizacja:1)Wybór długości filtra M,2)początkowe współczynniki filtra można ustawić na zero ho=0 3)wybór wartości µ II.Obliczenia dla N=1,2..,1)en=dn-(xn^T*h_n − 1),2)hn=hn-1+µ*xn*en

2.Narysuj schemat obliczeń LWT w wersji całkowitoliczbowej- każdy LWT może zostać zaimplementowany w postaci całkowitoliczbowej przez wprowadzenie operatorów zaokrąglenia: I.Analiza :1)Podział:cjc_j → c_j^(e),c_j⁽⁰⁾,2)Predykcja:d_j + 1=c_j⁽⁰⁾ − ⊥P{c_j^(e)}⊥,3)Uaktualnienie: e_j + 1 = e_j⁽⁰⁾+⊥U{dj+1}⊥,II.Synteza:1)odwrócenie uaktualnienia e_j⁽⁰⁾ = c_j + 1 −⊥U{dj}⊥, 2)Odwrócenie predykcji c_j⁽⁰⁾ =d_j + 1+⊥P{c_j^(e)}⊥,3)Łączenie: c_j^(e), c_j⁽⁰⁾→cj

3.Wyprowadź wzór na odpowiedź impulsową idealnego filtra dolnoprzepustowego

$h\left( n \right) = \frac{1}{2\pi}\int_{- \pi}^{\pi}{H_{n} \bullet (e^{\text{jw}}}) \bullet e^{- jwn}d = \frac{1}{2\pi}\int_{- wg}^{\text{wg}}{e^{- jwn} =}\frac{1}{2\pi}\frac{1}{- jn}e^{\text{jw}}\begin{matrix} \text{wg} \\ - wg \\ \end{matrix} = \frac{1}{2\pi}\frac{1}{- jn}\left( - j2 \right)\sin\left( wg \bullet n \right) = \frac{\text{sinwgn}}{\pi} = h\left( n \right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{w_{g}dla\ n = 0}{\pi} \\ \frac{sin(w_{g} \bullet n)}{\text{πn}}n \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ $, CH-tyki filtrów:

a)dolnoprzepustowy b)górnoprzepustowy

4. Narysować ch-częst idealnego filtru górnoprzepustowego.Wypr. wzór na h(n) i częstość gr.wg

$$h\left( n \right) = \frac{1}{2\pi}\int_{- \pi}^{\pi}{H_{n} \bullet (e^{\text{jw}}}) \bullet e^{- jwn}d = \frac{1}{2\pi}\int_{- \pi}^{\pi}{1 \bullet}e^{- jwn}dw - \frac{1}{2\pi}\int_{- wg}^{\text{wg}}e^{- jwn}dw = h\left( n \right) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \frac{w_{g}\ }{\pi}dla\ n = 0 \\ - \frac{sin(w_{g} \bullet n)}{\text{πn}}n \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

5.Podaj twierdzenie o próbkowaniu sygnałów dolno i pasmowoprzepustowych

$X\left( e^{\text{jΩT}} \right) = \frac{1}{T} \bullet \sum_{k = - \infty}^{\infty}X_{c}(j\left( \mathrm{\Omega} - k\mathrm{\Omega}_{s} \right))$, X-widmo sygnały dyskr, Xc-widmo sygn. Ciągłego dyskr, T-okres próbkowania(w sek), Ω_s − czas probkowania, Ω-czas sygnału próbkowanego

6. Podaj algorytm liczenia splotu liniowego sygnałów dyskretnych: Algorytm liczenia splotu sygnałów dyskretnych o skończonej długości DFT jest nastepujący: 1)Określenie długości N1 i N2 sygnałów x1[n[ i x2[n], 2) Uzupełnienie zerami sygnały x1[n] i x2[n] do długośći N1+N2-1,3)Obliczenie DFT obu sygnałów, 4)Obliczyć odwrotne DFT iloczynu widm.

7.Obliczyć splot wektorów k=[1 2] i x=][1 2 -3 4].

Korzystam z metody „tył na przód”, wektor k zapisuje 1 2 a wektor x pod nim od 4 -3 2 1

y(0)=1, y(1)=4,y(2)=1,y(3)=-2,y(4)=8, splot y(n)=[1 4 1 -2 8]

8.Oblicz DFT wektora x=[1 2 -3 4]

x=[1 2 -3 4], N=4

x(0)=4

x(1)=1+${2e}^{( - j\frac{\pi}{2} \bullet 1 \bullet 1)} - 3e^{\left( - j\frac{\pi}{2} \bullet 1 \bullet 2 \right)} + 4e^{( - j\frac{\pi}{2} \bullet 1 \bullet 3)}$=1+${2e}^{- j\frac{\pi}{2} \bullet}$-3e^{( − jπ)}+4$e^{- j\frac{3\pi}{2} \bullet}$=4+2j

x(2)=1+2$e^{( - j\frac{\pi}{2} \bullet 2 \bullet 1)} - 3e^{\left( - j\frac{\pi}{2} \bullet 2 \bullet 2 \right)} + 4e^{( - j\frac{\pi}{2} \bullet 2 \bullet 3)}$=-8

x(3)=1+2$e^{( - j\frac{\pi}{2} \bullet 3 \bullet 1)} - 3e^{\left( - j\frac{\pi}{2} \bullet 3 \bullet 2 \right)} + 4e^{( - j\frac{\pi}{2} \bullet 3 \bullet 3)}$=4-2j

x[n]=[4, 4+2j,-8,4-2j]

9.Obliczyć 5 pierwszych wyrazów odpowiedzi impulsowej układu dyskretnego o transmitancji H(z)=(z+2)/(z^2+4z+2).

(z+1):(z^2+4z+2)=(1/z)-(2/z^2)+(6/z^3)-(20/z^4)+(68/z^5)-z dzielenia wielomianu (z:z^2)itp.

H(inp)=[1 -2 6 -20 68]

10. Podaj bieguny transmitancji analogowego prototypu filtru Butterwortha rzędu N=3

k=0..2N-1; N=3

k=0..5

$D_{o} = \mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{6} \bullet 2}$=$\mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{3} \bullet}$

$D_{1} = \mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{6} \bullet 4}$=$\mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{2\pi}{3} \bullet}$

$D_{2} = \mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{6} \bullet 6}$=$\mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{1} \bullet}$

$D_{3} = \mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{6} \bullet 8}$=$\mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{4\pi}{3} \bullet}$

$D_{4} = \mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{6} \bullet 10}$=$\mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{5\pi}{3} \bullet}$

$D_{5} = \mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{6} \bullet 12}$=$\mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{2\pi}{1} \bullet}$

11.Oblicz wzmocnienie składowej stałej układu dyskretnego oraz układu analogowego transmitancji H(z)=(z+2)/(z^2+4z+2)

a)układ dyskretny H(z)=(z+2)/(z^2+4z+2); z=e^jw, w=0

H(z=1)=(1+2)/(1+4+2)=3/7

b)uklad analogowy

H(s)=(s+2)/(s^2+4s+2); s=jw, w=0

H(s)=(2)/(2)=1

12.Oblicz splot liniowy wektorów h=[1,2] i x=[1 -2 3 4]

y(0)=1,y(1)=0,y(2)=-1,y(3)=10,y(4)=8, conv(h,x)=[1 0 -1 10 8]

13.Oblicz DFT wektora x=[1 -2 3 4]

N=4

x(0)=1+(-2)+3+4=6

x(1)=-2+6j

x(2)=2

x(3)=-2-6j

x(n)=[4, -2+6j, 2, -2-6j]

14.Oblicz entropię Shannona komunikatu x=[1 2 1 2]

H(pi…pn)=H(s)=$- \sum_{i = 1}^{n}{p_{i}\log_{2}(p_{i})}$

H(s)=0+(-2)+0+(-2)=-4

15.Podaj bieguny transmitancji analogowego prototypu filtra Butterwortha rzędu N=2

k=0…2N-1

k=0…3

$D_{o} = \mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{6} \bullet 2}$=$\mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{3} \bullet}$

$D_{1} = \mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{6} \bullet 4}$=$\mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{2\pi}{3} \bullet}$

$D_{2} = \mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{6} \bullet 6}$=$\mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{1} \bullet}$

$D_{3} = \mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{\pi}{6} \bullet 8}$=$\mathrm{\Omega}_{c}e^{j\frac{4\pi}{3} \bullet}$

16.

17.

18. 18.Podać transmitacje określona rówananiem różnicowym:

y(n)=a*y(n-1)+x(n)

$\sum_{}^{}{y\left( n \right)*z^{- n} = a\sum_{}^{}{y(n - 1)}}*z^{- n} +$x(n)* z⁻ⁿ

y(z)=a*$z^{- 1}*\sum_{}^{}{y\left( n \right)}*z^{- n} + x\left( z \right)$

y(z)=a*z⁻¹*y(z)+x(z)

y(z)=(1-a*z^-1)=x(z)

H(z)=$\frac{y(z)}{x(z)} = \frac{1 + 2*z\hat{} - 1}{1 + 3z\hat{} - 3}$

19.

20.

21.układ dyskretny arma