Sprawozdanie z ćwiczenia nr 11.

Nr. Ćwiczenia	Data	Imię i nazwisko	Wydział	Semestr	Grupa
11	20.11.12		Budownictwo	I
Temat: Rozszerzalność liniowa ciał stałych.	Przygotowanie	Wykonanie	Ocena ostateczna

Zmianie temperatury ciała towarzyszy na ogół zmiana jego wymiarów liniowych, a więc i zmiana objętości. Elementarny przyrost temperatury dt którego długość całkowita wynosi l , powoduje przyrost długości dl określony wzorem

. (105.1)

Przyczyny zjawiska rozszerzalności cieplnej należy szukać w strukturze mikroskopowej ciał. Ciała stałe np. zbudowane są z atomów (jonów) rozłożonych regularnie w przestrzeni i tworzących sieć krystaliczną. Atomy są wzajemnie ze sobą powiązane siłami pochodzenia elektrycznego, co uniemożliwia im trwałą zmianę położenia. Dostarczona do kryształu energia cieplna wywołuje drgania atomów wokół położeń równowagi. Amplituda tych drgań rośnie wraz z temperaturą. Częstotliwość drgań cieplnych atomów sięga 10¹³ Hz.

W tej sytuacji pojęcie odległości międzyatomowej ma sens tylko jako odległość między środkami drgań sąsiednich atomów.

Energia potencjalna dwóch oddziałujących ze sobą atomów jako funkcja odległości między atomami wyrażona jest krzywą przedstawioną na rys. 25.1. Gdyby energia kinetyczna atomów była równa zeru, znajdowały by się one w odległości r_o od siebie, dla której to odległości energia potencjalna posiada minimum. W rzeczywistości atomy wykonują drgania wokół położeń równowagi, tzn. mają określoną energię kinetyczną, która wzrasta ze wzrostem temperatury. W temperaturze T₁ odległość między atomami zmienia się od wartości a₁ do wartości b₁ .

Wskutek asymetrii krzywej potencjalnej średnie położenie drgającej cząsteczki nie będzie się pokrywać z wartością r_o , lecz przesunie się w prawo osiągając wartość r₁ .

Przy podwyższeniu temperatury do T₂ atom przejdzie na wyższy poziom energetyczny E_k2 - jego ruch drgający będzie się odbywał między punktami a₂ i b₂ , a średnie położenie osiągnie wartość r₂ .

Z powyższego opisu wynika, że wraz ze wzrostem temperatury rośnie nie tylko amplituda drgań atomów, lecz także ich średnia wzajemna odległość, co makroskopowo objawia się jako rozszerzalność cieplna.

Liniowy współczynnik rozszerzalności liniowej jest określony wzorem:

Δl – wydłużenie pręta od temperatury t do t₁,

l – długość w temperaturze t,

TABELA POMIARÓW:

Długość początkowa l₀= 600 [mm]

Temperatura początkowa t= 20 [ºC]

Lp.	Przyrost Δt	Temperatura końcowa t	Wskazania	Przyrost Δl	Wartość λ $\frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}\mathbf{\ *K}}$	Wartość λśr $\frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}\mathbf{\ *K}}$
			n1	n2	n3
1	0 ºC	20ºC	600 mm	600 mm	600 mm	0 mm
2	5 ºC	25ºC	600,02mm	600,02mm	600,02mm	0,02mm
3	5 ºC	30ºC	600,07mm	600,07mm	600,07mm	0,07mm
4	5 ºC	35ºC	600,12mm	600,12mm	600,12mm	0,12mm
5	ºC	40ºC	600,17mm	600,17mm	600,17mm	0,17mm
6	ºC	45ºC	600,21mm	600,21mm	600,21mm	0,21mm
7	5 ºC	50ºC	600,36mm	600,36mm	600,36mm	O,36mm
Rodzaj materiału	13,3*10^-5 $\frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}\mathbf{\ *K}}$ - Bizmut

Obliczenia:

Wartości współczynnika rozszerzalności liniowej obliczamy ze wzoru:

$$\mathbf{\lambda =}\frac{\mathbf{\Delta}\mathbf{l}}{\mathbf{l(}\mathbf{t}_{\mathbf{1}}\mathbf{- t)}}$$

$$\mathbf{\lambda}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,02}}{\mathbf{600(25 - 20)}}\mathbf{\approx 0,67 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\lambda}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,07}}{\mathbf{600(30 - 20)}}\mathbf{\approx 1,17 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\lambda}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,12}}{\mathbf{600(35 - 20)}}\mathbf{\approx 1,33 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\lambda}_{\mathbf{5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,17}}{\mathbf{600(40 - 20)}}\mathbf{\approx 1,42 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\lambda}_{\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,21}}{\mathbf{600(45 - 20)}}\mathbf{\approx 1,4 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\lambda}_{\mathbf{7}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,36}}{\mathbf{600(50 - 20)}}\mathbf{\approx 2 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\lambda}_{\mathbf{sr}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{5}}\mathbf{+}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{6}}\mathbf{+}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{7}}}{\mathbf{6}}\mathbf{= =}\frac{\mathbf{(0,67 + 1,17 + 1,33 + 1,42 + 1,4 + 2) \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}}{\mathbf{6}}\mathbf{= = 1,33}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

Błędy pomiarowe:

Pomiar 1

$$\mathbf{n}_{\mathbf{sr}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{n}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{n}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{n}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{600 + 600 + 600}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 600\lbrack mm\rbrack}$$

ε₁=600 − 600 = 0 [mm]

ε₂=600 − 600 = 0[mm]

ε₃=600 − 600 = 0[mm]

$$\mathbf{\sigma =}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3 \bullet 2}}\left( \mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{= 0}}\mathbf{\lbrack mm\rbrack}$$

Pomiar 2

$$\mathbf{n}_{\mathbf{sr}\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{600,02 + 600,02 + 600,02}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 600,02}\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack$$

ε₁=600, 02 − 600, 02 = 0[mm]

ε₂=600, 02 − 600, 02 = 0[mm]

ε₃=600, 02 − 600, 02 = 0[mm]

$$\mathbf{\sigma =}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3 \bullet 2}}\left( \mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{= 0}}\mathbf{\lbrack mm\rbrack}$$

Pomiar 3

$$\mathbf{n}_{\mathbf{sr}\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{600,07 + 600,07 + 600,07}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 600,07}\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack$$

ε₁=600, 07 − 600, 07 = 0[mm]

ε₂=600, 07 − 600, 07 = 0[mm]

ε₃=600, 07 − 600, 07 = 0[mm]

$$\mathbf{\sigma =}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3 \bullet 2}}\left( \mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{= 0}}\mathbf{\lbrack mm\rbrack}$$

Pomiar 4

$$\mathbf{n}_{\mathbf{sr}\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{600,12 + 600,12 + 600,12}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 600,12}\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack$$

ε₁=600, 12 − 600, 12 = 0[mm]

ε₂=600, 12 − 600, 12 = 0[mm]

ε₃=600, 12 − 600, 12 = 0[mm]

$$\mathbf{\sigma =}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3 \bullet 2}}\left( \mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{= 0}}\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack$$

Pomiar 5

$$\mathbf{n}_{\mathbf{sr}\mathbf{5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{600,17 + 600,17 + 600,17}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 600,17}\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack$$

ε₁=600, 17 − 600, 17 = 0[mm]

ε₂=600, 17 − 600, 17 = 0[mm]

ε₃=600, 17 − 600, 17 = 0[mm]

$$\mathbf{\sigma =}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3 \bullet 2}}\left( \mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{= 0}}\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack$$

Pomiar 6

$$\mathbf{n}_{\mathbf{sr}\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{600,21 + 600,21 + 600,21}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 600,21}\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack$$

ε₁=600, 21 − 600, 21 = 0[mm]

ε₂=600, 21 − 600, 21 = 0[mm]

ε₃=600, 21 − 600, 21 = 0[mm]

$$\mathbf{\sigma =}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3 \bullet 2}}\left( \mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{= 0}}\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack$$

Pomiar 7

$$\mathbf{n}_{\mathbf{sr}\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{600,36 + 600,36 + 600,36}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 600,36}\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack$$

ε₁=600, 36 − 600, 36 = 0[mm]

ε₂=600, 36 − 600, 36 = 0[mm]

ε₃=600, 36 − 600, 36 = 0[mm]

$$\mathbf{\sigma =}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3 \bullet 2}}\left( \mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{= 0}}\mathbf{\lbrack mm\rbrack}$$

Błąd pomiarowy dla wartości λ_śr :

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 0,67 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{- 1,33 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{= - 0,66 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{3}}\mathbf{= 1,17 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{- 1,33 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{= - 0,16 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{m}}}{\mathbf{s}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{4}}\mathbf{= 1,33 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{- 1,33 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{= 0}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{5}}\mathbf{= 1,42 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{- 1,33 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{= 0,09 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{6}}\mathbf{= 1,4 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{- 1,33 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{= 0,07 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{7}}\mathbf{= 2 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{- 1,33 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{= 0,67 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

$$\mathbf{\sigma =}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6 \bullet 5}}\left\lbrack \left( \mathbf{- 0,66} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 0,16} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{0}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{0,09} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{0,07} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{0,67} \right)^{\mathbf{2}} \right\rbrack}\mathbf{=}$$

$$\mathbf{= 0,0237 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$$

Wnioski:

W doświadczeniu okazało się , że rurka zwiększa swoją długość pod wpływem temperatury. W przypadku jednakowych zmian temperatury rurka liniowo zwiększała swoją długość. Udowodniono tym samym, że istnieje współczynnik rozszerzalności liniowej, którą można wyznaczyć. W tym ćwiczeniu średnia rozszerzalność liniowa wyniosła 1,33*10^-5 $\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}}\mathbf{\bullet K} \right\rbrack$. Z wykresu można zauważyć, że rośnie ona liniowo.