Nr ćwiczenia: 105	Data: 17.10.2011r.	Imię i nazwisko: Szarata Adam	Wydział: WBMiZ	Semestr: I	Grupa: MCH1 nr lab. 4
Prowadzący: dr inż. P. Głowacki	Przygotowanie:	Wykonanie:	Ocena:

Temat: Wyznaczanie współczynnika rozszerzalności liniowej ciał stałych.

1.Podstawy teoretyczne:

Zmianie temperatury ciała towarzyszy na ogół zmiana jego wymiarów liniowych,
a więc i zmiana objętości. Elementarny przyrost temperatury dT ciała, którego długość całkowita wynosi l, powoduje przyrost długości dl określony wzorem:

(105.1)

Współczynnik α nazywamy współczynnikiem rozszerzalności liniowej. Jego wartość liczbowa jest równa względnemu przyrostowi długości spowodowanemu zmianą temperatury o 1^o i zależy od rodzaju ciała a także od temperatury. W związku z zależnością współczynnika α od temperatury długości ciała jest on na ogół nieliniową funkcją temperatury. W zakresie niewielkich zmian temperatury w przybliżeniu można przyjąć, że współczynnik α jest stały, a długość wzrasta wprost proporcjonalnie do temperatury. W tej sytuacji odpowiednikiem powyższego wzoru jest wzór:

(105.2)

Przyczyny zjawiska rozszerzalności cieplnej należy szukać w strukturze mikroskopowej ciał. Ciała stałe zbudowane są z atomów (jonów) rozłożonych regularnie w przestrzeni i tworzących sieć krystaliczną. Atomy są wzajemnie ze sobą powiązane siłami pochodzenia elektrycznego, co uniemożliwia im trwałą zmianę położenia. Dostarczona do kryształu energia cieplna wywołuje drgania atomów wokół położeń równowagi. Amplituda tych drgań rośnie wraz z temperaturą. Częstotliwość drgań cieplnych atomów sięga 10¹³ Hz. W tej sytuacji pojęcie odległości międzyatomowej ma sens tylko jako odległość między środkami drgań sąsiednich atomów.

Energia potencjalna dwóch oddziałujących ze sobą atomów jako funkcja odległości między atomami wyrażona jest krzywą przedstawioną na poniższym rysunku. Gdyby energia kinetyczna atomów była równa zeru, znajdowały by się one w odległości r_o od siebie, dla której to odległości energia potencjalna posiada minimum. W rzeczywistości atomy wykonują drgania wokół położeń równowagi, tzn. mają określoną energię kinetyczną, która wzrasta ze wzrostem temperatury. W temperaturze T₁ odległość między atomami zmienia się od wartości a₁ do wartości b₁

Wskutek asymetrii krzywej potencjalnej średnie położenie drgającej cząsteczki nie będzie się pokrywać z wartością r_o, lecz przesunie się w prawo osiągając wartość r₁.

Przy podwyższeniu temperatury do T₂ atom przejdzie na wyższy poziom energetyczny E_k2 - jego ruch drgający będzie się odbywał między punktami a₂ i b₂, a średnie położenie osiągnie wartość r₂ .

Z powyższego opisu wynika, że wraz ze wzrostem temperatury rośnie nie tylko amplituda drgań atomów, lecz także ich średnia wzajemna odległość, co makroskopowo objawia się jako rozszerzalność cieplna.

W celu obliczenia współczynnika rozszerzalności cieplnej z danych pomiarowych przekształcimy równania (105.2) do postaci:

(105.3)

Równanie (105.3) oznacza, że wydłużenie jest liniową funkcją temperatury i że współczynnik nachylenia linii a wynosi:

(105.4)

Wartość a obliczamy stosując regresję liniową do par danych .

2. Wyniki pomiarów:

Badane ciało w postaci pręta umieszczamy w płaszczu wodnym połączonym z termostatem. Jeden koniec pręta jest umocowany w uchwycie, drugi natomiast przesuwa się w miarę podgrzewania. Wydłużenie pręta mierzymy czujnikiem mikrometrycznym, a temperaturę pręta mierzymy termometrem elektronicznym.

Dokładność mikromierzy: 0,01mm

Dokładność lunety do pomiaru długości: 0,5mm

Temperatury i długości początkowe prętów:
Mosiądz
t [K]
T0 294,06

Długości prętów w odpowiednich temperaturach:
Lp.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.

3. Przebieg ćwiczenia:

-Zmierzyć długość początkową prętów

-Odczytać temperaturę początkową

-Ogrzewać badane pręty, stopniowo zmieniając nastawy ultra termostatu co 3-5˚C

-Po ustaleniu się danej temperatury mierzyć jej wartość i przyrost długości każdego pręta

-Gdy temperatura osiągnie ok. 70˚C, kontynuować pomiary stygnięcia

-Wykonać wykres zależności wydłużenia od temperatury

-Obliczyć współczynnik nachylenia wykresu i jego błąd, stosując regresję liniową

-Obliczyć wartość współczynnika rozszerzalności z równania:

-Obliczyć błąd, najłatwiej metodą różniczki logarytmicznej

-Przedstawić końcową postać wyników i błędów po zaokrągleniu

4. Obliczenia:

4.1 Wykres zależności wydłużenia od temperatury:

4.2 Wartości współczynnika nachylenia wykresu oraz jego błędu, stosując regresję liniową (obliczenia dokonane za pomocą programu Excel 2007):

$$\lbrack\frac{m}{K}\rbrack$$	Mosiądz- podgrzewanie	Mosiądz- stygnięcie	Miedź- podgrzewanie	Miedź- stygnięcie	Stal- podgrzewanie	Stal- stygnięcie
Nachylenie wykresu	1,50749*10^−5 ≈ 1, 51*10^−5	1,54441*10^−5 ≈ 1, 54*10^−5	1,43698*10^−5 ≈ 1, 44 * 10^−5	1,50808*10^−5 ≈ 1, 51 * 10^−5	9,33338*10^−6 ≈ 9, 3*10^−6	9,93384*10^−6 ≈ 9, 9*10^−6
Średnia:	$$\frac{(1,51 + 1,54){*10}^{- 5}}{2} = 1,53{*10}^{- 5}$$	$$\frac{(1,44 + 1,51){*10}^{- 5}}{2} = 1,48{*10}^{- 5}$$	$$\frac{(9,3 + 9,9){*10}^{- 6}}{2} = 9,6{*10}^{- 6}$$
Błąd nachylenia wykresu	6,45332*10^−6 ≈ 0, 65*10^−5	5,60281*10^−6 ≈ 0, 57*10^−5	7,33771*10^−6 ≈ 0, 74*10^−5	1,6613*10^−6 ≈ 0, 17 * 10^−5	4,13397*10^−6 ≈ 4, 2*10^−6	6,95231*10^−6 ≈ 7, 0 * 10^−6
Średnia:	$$\frac{(0,65 + 0,57){*10}^{- 5}}{2} = 0,61{*10}^{- 5}$$	$$\frac{(0,74 + 0,17){*10}^{- 5}}{2}$$ =0, 46 * 10^−5	$$\frac{(4,2 + 7,0){*10}^{- 6}}{2}$$ =5, 6 * 10^−6

4.3 Obliczenie wartości współczynnika rozszerzalności:

a = α_srl₀

Przekształcając:

$\alpha_{\text{sr}} = \frac{a}{l_{0}}$

Współczynnik rozszerzalności mosiądzu:
Dane:
asr=$\frac{1,5{*10}^{- 5} + 1,5{*10}^{- 5}}{2} = 1,5{*10}^{- 5}$
l0 = 0, 77m
$$\alpha = \frac{a_{\text{sr}}}{l_{0}} = \frac{1,5{*10}^{- 5}}{0,77} = 1,94805*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$

Współczynnik rozszerzalności miedzi:
Dane:
asr=$\frac{1,4{*10}^{- 5} + 1,5{*10}^{- 5}}{2} = 1,45{*10}^{- 5}$
l0 = 0, 77045m
$$\alpha = \frac{a_{\text{sr}}}{l_{0}} = \frac{1,45{*10}^{- 5}}{0,77045} = 1,88201*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$

Współczynnik rozszerzalności stali:
Dane:
asr=$\frac{9,3{*10}^{- 6} + 9,9{*10}^{- 6}}{2} = 9,6{*10}^{- 6}$
l0 = 0, 7722m
$$\alpha = \frac{a_{\text{sr}}}{l_{0}} = \frac{9,6{*10}^{- 6}}{0,7722} = 1,243201*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$

4.4 Obliczenie błędu współczynnika rozszerzalności liniowej za pomocą różniczki logarytmicznej:

$\alpha = \frac{a_{\text{sr}}}{l_{o}} = a_{\text{sr}}*l_{0}^{- 1}$

z = c * x₁^m

Zatem:

$z = \left( \left| m*\frac{x_{1}}{x_{1}} \right| \right)*z$

$\alpha_{\text{sr}} = \left( \left| \frac{\alpha}{\alpha} \right| + \left| \frac{l_{o}}{l_{0}} \right| \right)*\alpha_{\text{sr}}$

l₀ = |l_0min−l_omax|

α = |α−α_sr|

Obliczenie błędu współczynnika rozszerzalności liniowej mosiądzu za pomocą różniczki logarytmicznej
l0 = 0, 77m
l0min = 0, 77 − 0, 05 * 10^−3 = 0, 76995 [m]
l0max = 0, 77 + 0, 05 * 10^−3 = 0, 77005 [m]
l0 = |l0min−lomax| = 0, 0001 [m]
αsr =$1,53{*10}^{- 5}\ \ \lbrack\frac{1}{K}\rbrack$
$$\alpha = 0,61{*10}^{- 5}\lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$
$$\alpha_{\text{sr}} = \left( \left| \frac{\alpha}{\alpha} \right| + \left| \frac{l_{o}}{l_{0}} \right| \right)*\alpha_{\text{sr}} = \left( \left| \frac{0,61{*10}^{- 5}}{1,53*10^{- 5}} \right| + \left| \frac{0,0001}{0,77} \right| \right)*1,53{*10}^{- 5} = \ 5,98234*10^{- 6} \approx 0,60*10^{- 5}\lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$

Obliczenie błędu współczynnika rozszerzalności liniowej miedzi za pomocą różniczki logarytmicznej
l0 = 0, 77045m
l0min = 0, 77045 − 0, 05 * 10^−3 = 0, 7704[m]
l0max = 0, 77045 + 0, 05 * 10^−3 = 0, 7705 [m]
l0 = |l0min−lomax| = 0, 0001 [m]
α sr=$1,48{*10}^{- 5}\ \ \lbrack\frac{1}{K}\rbrack$
α=0,46$\lbrack\frac{1}{K}\rbrack$
$$\alpha_{\text{sr}} = \left( \left| \frac{\alpha}{\alpha} \right| + \left| \frac{l_{o}}{l_{0}} \right| \right)*\alpha_{\text{sr}} = \left( \left| \frac{0,46{*10}^{- 5}}{1,48*10^{- 5}} \right| + \left| \frac{0,0001}{0,77045} \right| \right)*1,48{*10}^{- 5} = 4,50863\ *10^{- 6} \approx 0,46*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$

Obliczenie błędu współczynnika rozszerzalności liniowej stal za pomocą różniczki logarytmicznej
l0 = 0, 7722m
l0min = 0, 7722 − 0, 05 * 10^−3 = 0, 7717 [m]
l0max = 0, 7722 + 0, 05 * 10^−3 = 0, 7727 [m]
l0 = |l0min−lomax| = 0, 0001 [m]
α sr=$9,6{*10}^{- 6}\ \ \lbrack\frac{1}{K}\rbrack$
$$\alpha = 5,6{*10}^{- 6}\lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$
$$\alpha_{\text{sr}} = \left( \left| \frac{\alpha}{\alpha} \right| + \left| \frac{l_{o}}{l_{0}} \right| \right)*\alpha_{\text{sr}} = \left( \left| \frac{5,6{*10}^{- 6}}{9,6*10^{- 6}} \right| + \left| \frac{0,0001}{0,7722} \right| \right)*9,6{*10}^{- 6} = 5,60124\ *10^{- 6} \approx 0,57\ *10^{- 5}\lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$

5. Końcowa wartość współczynnika rozszerzalności liniowej dla poszczególnych metali z uwzględnieniem błędu:

-mosiądz: $\alpha = \left( 1,94805*10^{- 5}\ _{-}^{+}{2,6\ *10^{- 9}} \right)\frac{1}{m} = (1,94805\ \ _{-}^{+}{0,00026)*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}}\rbrack$

-miedź: $\alpha = \left( 1,88201*10^{- 5}\ _{-}^{+}{2*10^{- 9}} \right)\frac{1}{m} = (1,8820\ \ _{-}^{+}{0,0002)*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}}\rbrack$

-stal: $\alpha = \left( 1,24320*10^{- 5}\ _{-}^{+}{1*10^{- 9}} \right)\frac{1}{m} = (1,2432\ \ _{-}^{+}{0,0001)*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}}\rbrack$

6. Wnioski:

Metal	Tablicowa wartość współczynnika rozszerzalności liniowej	Obliczona wartość współczynnika rozszerzalności liniowej
Mosiądz	$$1,8*10^{- 5\ }\lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$	$$(1,53\ \ _{-}^{+}{0,60)*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}}\rbrack$$
Miedź	$$1,6*10^{- 5\ }\lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$	$$(1,48\ \ _{-}^{+}{0,46)*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}}\rbrack$$
Stal	$$1,2*10^{- 5\ }\lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$	$$(0,96\ \ _{-}^{+}{0,57)*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}}\rbrack$$
Metal	Tablicowa wartość współczynnika rozszerzalności liniowej	Obliczona wartość współczynnika rozszerzalności liniowej
Mosiądz	$$1,8*10^{- 5\ }\lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$	$$(1,94805\ \ _{-}^{+}{0,00026)*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}}\rbrack$$
Miedź	$$1,6*10^{- 5\ }\lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$	$$(1,8820\ \ _{-}^{+}{0,0002)*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}}\rbrack$$
Stal	$$1,2*10^{- 5\ }\lbrack\frac{1}{K}\rbrack$$	$$(1,2432\ \ _{-}^{+}{0,0001)*10^{- 5}\ \lbrack\frac{1}{K}}\rbrack$$

Jak można wywnioskować z powyższej tabeli obliczone wartości współczynnika rozszerzalności liniowej różnią się nieznacznie od wartości tablicowych. Różnice te prawdopodobnie wynikają z niedokładności przyrządów pomiarowych oraz przyjmowania przybliżeń dla wartości tablicowych. Większość wykresów ma kształt zbliżony do linii prostej, co oznacza, że pomiary zostały wykonane prawidłowo.

Przy wyznaczaniu współczynnika nachylenia wykresu oraz jego błędu korzystaliśmy z formuł dostępnych w programie Excel 2007, odpowiednio =NACHYLENIE(y,x) oraz =REGBŁSTD(y,x).