Kierunek: Informatyka
rok akademicki: 2009/2010
Semestr: 1
Grupa: 4

Nr ćwiczenia: 1

Bartosz Ogrodowicz

Drgania atomów w krysztale:

W krysztale atomy znajdują się w bliskich odległościach od siebie, więc wzajemnie na siebie
oddziałują. Najsilniejszych oddziaływań doznają elektrony najbardziej oddalone od jądra
atomowego, decydujące o własnościach chemicznych atomu, nazywane elektronami walencyjnymi.
Wskutek tych oddziaływań, każdy dyskretny poziom energetyczny izolowanego atomu rozszczepia
się w dozwolone pasmo energetyczne składające się z tylu blisko siebie leżących poziomów, ile jest
atomów w krysztale. Szerokość pasm dozwolonych utworzonych z wyższych poziomów
energetycznych jest większa niż pasm utworzonych z poziomów niższych. Dozwolone pasma
energetyczne są oddzielone od siebie. pasmami wzbronionymi, tj. przedziałami energii, których
elektron, zgodnie z teorią kwantową, w idealnym krysztale nie może posiadać. Liczba elektronów w
danym układzie kwantowym, mogących mieć jednocześnie tę samą wartość energii, jest
ograniczona tak zwanym. zakazem Pauliego. Najbardziej stabilnym stanem każdego układu jest
stan o najniższej dopuszczalnej dla tego układu energii. Nazywany on jest stanem podstawowym
tego układu. Stan podstawowy w krysztale realizowany jest w taki sposób, że elektrony obsadzają
całkowicie wszystkie kolejne poziomy energetyczne, począwszy od najniższego, aż do wyczerpania
wszystkich elektronów w tym krysztale. Dlatego pasma leżące poniżej pasma zwanego
walencyjnym (utworzonego z poziomu zajmowanego w izolowanym atomie przez elektrony
walencyjne) są całkowicie zapełnione. Pasma leżące powyżej pasma walencyjnego są w
temperaturze zera bezwzględnego puste Ilustruje to Rys.3, na którym pokazano tylko pasma o
najwyższych energiach. Niższe pasma są węższe i całkowicie zapełnione.

Regresja liniowa

Regresja liniowa – w statystyce, metoda estymowania wartości oczekiwanej zmiennej y przy
znanych wartościach innej zmiennej lub zmiennych x. Szukana zmienna y jest tradycyjnie
nazywana zmienną objaśnianą, lub zależną. Inne zmienne x nazywa się zmiennymi objaśniającymi
lub niezależnymi. Zarówno zmienne objaśniane, jak i objaśniające, mogą być wielkościami
skalarnymi lub wektorami.

Regresja w ogólności to problem estymacji warunkowej wartości oczekiwanej. Regresja liniowa
jest nazywana liniową, gdyż zakładanym modelem zależności między zmiennymi zależnymi, a
niezależnymi, jest funkcja liniowa.

Prosta regresji

Dla jednej zmiennej objaśniającej zagadnienie polega na poprowadzeniu prostej

jak najlepiej dopasowanej do zbioru n punktów doświadczalnych

. Celem dopasowania jest przede wszystkim uzyskanie ocen

wartości parametrów a i b opisujących prostą, oraz ich niepewności u(a) i u(b).

W ogólnym przypadku zadanie prowadzi do estymacji współczynników modelu statystycznego:

gdzie:

•

y to zmienna objaśniana

•

x

i

to zmienne objaśniające

•

a

i

to współczynniki modelu

•

to błąd o wartości oczekiwanej zero

Najczęściej wykorzystuje się do tego celu klasyczną metodę najmniejszych kwadratów i jej
pochodne. Metoda ta jest najstarsza i najłatwiejsza do zastosowania, choć posiada wady (np.
niewielką odporność na elementy odstające), które udało się usunąć w innych, mniej
rozpropagowanych metodach. Są to np. odporne metody statystyczne (ang. robust methods), do
których należy m.in. regresja medianowa

Współczynnik rozszerzalności objętościowej

W przypadku płynów częściej stosuje się współczynnik charakteryzujący względną zmianę
objętości, czyli współczynnik rozszerzalności objętościowej. Współczynnik ten określa wzór

gdzie

V – objętość płynu,
ΔV – zmiana objętości wynikająca ze zmiany temperatury.

Wartości współczynników rozszerzalności objętościowej dla wybranych cieczy [

W tabeli podane są wartości współczynników rozszerzalności objętościowej

Substancja

β

(10

-6

/K)

aceton

1487

alkohol metylowy

1259

alkohol etylowy

1101

anilina

855

benzen

1237

brom

1113

chloroform

1273

eter etylowy

505

gliceryna

1256

kwas solny (25%)

585

kwas węglowy (bezwodnik) 1071

pentan

1608

rtęć

181

toluen

1099

woda

210

Zależność między współczynnikami

Współczynnik rozszerzalności objętościowej substancji można wyznaczyć znając współczynnik
rozszerzalności liniowej tej substancji. Na przykład dla substancji izotropowej objętość
sześciennego ciała można zapisać

gdzie l jest długością krawędzi sześcianu. Wykorzystując wzór na przyrost długości, wzór ten
można wyrazić w postaci

gdzie V(t) jest objętością sześcianu po podniesieniu jego temperatury o t a V

0

jest początkową

objętością tego sześcianu. Ponieważ współczynnik α jest bardzo małą liczbą, jego wyższe potęgi są
jeszcze dużo mniejsze i można je pominąć. Wówczas zależność objętości od temperatury przybiera
postać

skąd wynika, że

Dla substancji anizotropowych związek ten jest trochę bardziej złożony, ponieważ zależy od
stopnia anizotropii.

Energia Potencjalna oddziaływania pomiędzy dwoma atomami:

Energia potencjalna oddziaływania pomiędzy dwoma atomami -jeden atom zbliży się do drugiego
na odległość przy której układ tych dwóch cząstek ma minimum energii potencjalnej (oczywiście
jeśli nic im nie będzie przeszkadzało) i obie cząstki połączą się wiązaniem jonowym. - taki układ
ma najmniejszą energię potencjalną.

Zależność energii potencjalnej oddziaływania atomów od odległości
E

1

- energia potencjalna związana z przyciąganiem,

E

2

- energia potencjalna wynikająca z odpychania,

E

3

- energia całkowita

Pomiary: Pręt I

Temperatura [C]

Wydłużenie [mm]

20

0,07 mm

25

0,1 mm

30

0,14 mm

35

0,21 mm

40

0,28 mm

45

0,35 mm

50

0,42 mm

55

0,48 mm

60

0,55 mm

65

0,61 mm

70

0,67 mm

75

0,73 mm

80

0,79 mm

Pręt II

Temperatura [C]

Wydłużenie [mm]

25

0,02 mm

30

0,07 mm

35

0,11 mm

40

0,17 mm

45

0,22 mm

50

0,27 mm

55

0,32 mm

60

0,36 mm

65

0,41 mm

70

0,46 mm

75

0,52 mm

80

0,58 mm

Współczynnik rozszerzalności liniowej:

Pręt I:

Temperatura

Współczynnik rozszerzalności liniowej [1/K]

25

3,33*10

-

6

1/K

30

4,66*10

-

5

1/K

35

7*10

-

5

1/K

40

9,33*10

-

5

1/K

45

1,33*10

-

4

1/K

50

1,4*10

-

4

1/K

55

1,6*10

-

4

1/K

60

1,83*10

-

4

1/K

65

2,033*10

-

4

1/K

70

2,233*10

-

4

1/K

75

2,333*10

-

4

1/K

80

2,633*10

-

4

1/K

Pręt II:

Temperatura

Współczynnik rozszerzalności liniowej [1/K]

30

2,333*10

-

5

1/K

35

3,666*10

-

5

1/K

40

5,666*10

-

5

1/K

45

7,333*10

-

5

1/K

50

9*10

-

5

1/K

55

1,0666*10

-

4

1/K

60

1,2*10

-

4

1/K

65

1,3666*10

-

4

1/K

70

1,5333*10

-

4

1/K

75

1,7333*10

-

4

1/K

80

1,9333*10

-

4

1/K

Wnioski:

Powodem różnicy pomiędzy wynikami doświadczalnymi, a tablicowymi można

wytłumaczyć przez:

• różnicę pomiędzy temperaturą wrzenia wody, a temperaturą pary wodnej, która
dochodziła do metalu spowodowaną ochłodzeniem pary w przewodzie
doprowadzającym

• niedokładne wychłodzenie rurki pomiędzy kolejnymi próbami

• niedokładność pomiaru długości próbek metali

• niedokładność czujnika mikrometrycznego i drgania zewnętrzne, które wpływały na
wartości wykonywanych przez niego pomiarów.