data 18.04.2013

SPRAWOZDANIE Z LABORATORIUM

METOD NUMERYCZNYCH

Ćwiczenie nr 2

Temat: Numeryczne zagadnienie algebry liniowej

Wydział: EEiA

rok akademicki: 2012/2013 semestr: IV

Grupa: 4C5

Dzień: czwartek godz. 14¹⁵-16⁰⁰

Kubiak Łukasz 171367

Leśnik Przemysław 171374

1. Eliminacja Gaussa

1. Z wyborem elementu głównego

function [L, U] = wybor(A)

b=size(A);

b=b(1);

U=A;

L=eye(b); %macierz jednostkowa

for a=1:(b-1)

C=0;

for j=1:(b-a+1)

C(j)=abs(U(j-1+a,a));

end

for j=a:b

if max(C)==abs(U(j,a))

index=j;

end

end

if max(C)~=0

D=U(a,:);

U(a,:)=U(index,:);

U(index,:)=D;

for k=-a+1:-1

D=L(a,-k);

L(a,-k)=L(index,-k);

L(index,-k)=D;

end

for i=a:(b-1)

L(i+1,a)=U(i+1,a)/U(a,a);

U(i+1,:)=U(i+1,:)-U(i+1,a)/U(a,a)*U(a,:);

end

end

end

1. Bez wyboru elementu głównego

function [ x,L,A] = gauss(A )

[n,x]=size(A)

L=eye(n);

if(n==x)

for i=1:n-1 %kolumny macierzy

for z=i+1:n %wiersze

if (A(z,i)==A(i,i))&(A(z,i)==0)&(A(i,i)==0); %jak elementy zerowe na przekątnej i pod nią to petal nic nie robi

else

o=A(z,i)/A(i,i);%element na przekątnej jest mnożony przez współczynnik

L(z,i)=o;

for y=i:n

A(z,y)=A(z,y)-o*A(i,y); %odejmowanie wierszy

end

end

end

end

end

L

A

X=L*A;

end

Pomiar czasu

function [ILOCZYN, TRACE, DET, ROZKLAD_LU, ROZKLAD_QR] = time( N )

A=randn(N)

B=randn(N) %generowanie macierzy kwadratowych

tic

%MNOŻENIE

for n=1:100 %1000 krotne mnożenie macierzy

C=A*B;

end

toc;

p=toc;

x=p/1000; %czas mnożenia z realizacją pętli

tic;

for i=1:1000

end

toc;

u=toc;

z=u/1000; %czas realizacji pustej pętli

ILOCZYN=x-z %wynik czasu mnożenia macierzy o zadanych wymiarach

%TRACE

tic;

for j=1:1000

trace(A);

end

toc;

v=toc;

TRACE=v/1000-z %czas wyznaczania śladu macierzy

%WYZNACZNIK

tic;

for h=1:1000

det(A);

end

toc;

k=toc;

DET=k/1000-z %czas wyznaczania wyznacznika macierzy

%LU

tic;

for h1=1:1000

[L,U]=lu(A);

end

toc;

h2=toc;

ROZKLAD_LU=h2/1000-z %czas rozkladu LU

%QR

tic;

for p1=1:1000

qr(A);

end

toc;

p2=toc;

ROZKLAD_QR=p2/1000-z %czas rozkładu QR

end

Wielkość macierzy	Iloczyn	Ślad (TRACE)	Wyznacznik (DET)	Rozkład LU	Rozkład QR
4	1.9500e-007	4.2053e-006	3.0826e-006	3.6019e-006	4.2053e-006
8	5.9671e-005	2.8790e-006	3.2353e-006	3.6154e-006	4.7337e-006
16	6.8105e-007	4.1503e-006	1.0097e-005	6.4701e-006	6.6820e-006
32	2.0165e-006	4.3482e-006	2.1750e-005	1.2618e-005	2.0772e-005
64	6.8778e-006	2.4968e-006	5.8704e-005	5.6932e-005	9.0525e-005

Wykres przedstawia zależność czasu obliczeń od wielkości macierzy.

Wnioski

W przypadku gdy na przekątnej któreś ze współczynników są równe zeru należy stosować metodę z częściowym wyborem elementu głównego. Metoda ta jest dokładniejsza niż eliminacja bez wyboru. Gdy współczynniki nie są zerowe, ale bliskie zeru, również lepiej jest zastosować eliminację z częściowym wyborem.