1. Kąt (płaski) – w geometrii każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku, zwanym wierzchołkiem, wraz z tymi półprostymi, nazwanymi ramionami

Prędkość kątowa – wielkość opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu). Jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Jednostka prędkości kątowej w układzie SI to jeden radian przez sekundę.

Przyspieszenie kątowe występuje w ruchu obrotowym - jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej

Zależność prędkości od czasu w ruchu jednostajnie zmiennym po okręgu wyrażają wzory:

Ruch jednostajny :

α=αo+ωt,

Ruch niejednostajny :

α = α + ω +εt²/2

Oraz ω = ω + εt

1. Moment bezwładności – bryłę sztywną można traktować jako ciągły zbiór punktów materialnych o różnych odległościach od osi obrotu. Moment bezwładności punktu materialnego jest definiowany jako iloczyn masy i kwadratu odległości od osi obrotu. Momenty bezwładności brył sztywnych , tak I₀ jak i I_s wyraża się jako całkę oznaczoną:

I = ∫_mr²dm

Gdzie r jest odległością elementu masy dm od osi obrotu.

Moment pędu – iloczyn wektorowy promienia wodzącego „r” oraz pędu „p”

$$\overrightarrow{J} = \overrightarrow{r}\text{\ x\ }\overrightarrow{p}$$

Moment siły – (moment obrotowy) siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy promienia wodzącego „r” o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły F, oraz siły F

$$\overrightarrow{N} = \overrightarrow{r}\text{\ x\ }\overrightarrow{F}$$

II zasada dynamiki Newtona w ruchu obrotowym

Dla punktu materialnego:

$$\overrightarrow{J} = \ \overrightarrow{r}\text{\ x\ }\overrightarrow{p} = \ \overrightarrow{r}\text{\ x\ m}\overrightarrow{v}$$

$$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{\omega}\text{\ x\ }\overrightarrow{r}$$

$$\overrightarrow{J} = \overrightarrow{\text{r\ }}\text{x\ m}\left( \overrightarrow{\omega}\text{\ x\ }\overrightarrow{r} \right) = \ m\overrightarrow{r}\text{\ x\ }\left( \overrightarrow{\omega}\text{\ x\ }\overrightarrow{r} \right) = \ m\left\lbrack \overrightarrow{\omega}\left( \overrightarrow{r}*\ \overrightarrow{r} \right) - \ \overrightarrow{r}\left( \overrightarrow{r}*\ \overrightarrow{\omega} \right) \right\rbrack = mr^{2}\overrightarrow{\omega} = I\overrightarrow{\omega}$$

1. Definicja momentu bezwładności. Wyprowadzenie momentu bezwładności

dla jednorodnego pręta

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową.

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar I=ML^2 . Zwykle mierzy się go w kg·m².

I = kml² gdzie:

k – bezwymiarowy współczynnik

m- masa

l – długość pręta

$$I_{0} = \frac{2km}{2}\left( \frac{l}{2} \right)^{2}$$

$$I = m\left( \frac{l}{2} \right)^{2} + I_{0} = \frac{ml^{2}}{4} + \frac{\text{km}l^{2}}{4}$$

$$\text{km}l^{2} = \frac{ml^{2}\left( 1 + k \right)}{4}$$

1. Twierdzenie Steinera pozwala obliczyć moment bezwładności względem dowolnej osi, nie przechodzącej przez środek masy bryły, zgodnie z którym: moment bezwładności I bryły względem dowolnej osi jest równy sumie bezwładności I względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły i kwadratu odległości a obu osi, czyli:

I = I₀+ma²

W przypadku gdy oś przechodzi przez środek masy bryły do wyznaczenia momentu bezwładności posłuży nam metoda zawieszenia trójnitkowego.

1. Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny - drgania opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną). Jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań

równanie ruchu ma postać :

$\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{x}}{\mathbf{d}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{- k}}{\mathbf{m}}\mathbf{x}$ rozwiązaniem tego równania jest

x(t) = Asin(ω₀t) + Bcos(ω₀t)

Gdzie $\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Okres drgań T, związany bezpośrednio z częstością (ω₀ = 2π / T ) wynosi

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_{0}}{\text{mga}}}$$

Pomiar okresu wahadła T, odległości a i masy m umożliwia wyznaczenie dla badanego ciała momentu bezwładności I₀

Okresem T ruchu harmonicznego jest czas trwania jednego pełnego drgnięcia albo cyklu (to jest najkrótszy czas, po upływie którego ruch zaczyna się powtarzać. Częstotliwość (częstość) f to liczba drgań (albo cyklów) na jednostkę czasu. Częstotliwość jest odwrotnością okresu, czyli f=1/T

1. Ruch wahadła matematycznego

Wahadło matematyczne składa się z masy m zawieszonej na nitce, sznurku . Okres drgań takiego wahadła nie zależy od masy m i od początkowego wychylenia. Zależy on od długości wahadła. Aby dane wahadło można było nazwać wahadłem matematycznym muszą być spełnione następujące warunki:

-wychylenie wahadła α musi być małe (zakłada się, że sin(α) ≈ α)

-rozmiar ciała zawieszonego na nici musi być niewielki

-masa nici (sznurka) musi być mała

-nić nie może być rozciągliwa

Jeżeli ograniczyć ruch wahadła do małych kątów wychylenia (kilka stopni), to sinus kąta można

zastąpić samym kątem w mierze łukowej, czyli sin θ ≈ θ. Przy tym założeniu równanie przyjmuje postać:

$$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} + \omega^{2}\theta\left( t \right) = 0$$

Gdzie $\omega_{0}^{2} = \frac{\text{mga}}{I_{0}}$ jest to równanie oscylatora harmonicznego, którego rozwiązanie

θ = θm cos (ω0t + α).

przedstawia ruch harmoniczny. Amplituda θm i faza α zależą od warunków początkowych.

Okres drgań T, związany bezpośrednio z częstością (ω0 = 2π/T) wynosi

$$T = 2\Pi\sqrt{\frac{I_{0}}{\text{mga}}}$$

1. Ruch wahadła fizycznego

Wahadło fizyczne – dowolna bryła sztywna mogąca obracać się do okoła osi NIE przechodzącej przez środek ciężkości tej bryły.

Wahadło odchylone od pionu o kąt θ a następnie puszczone swobodnie będzie wykonywać drgania zwane ruchem wahadłowym. W ruchu tym mamy do czynienia z obrotem bryły sztywnej wokół osi O, opisuje go zatem druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.

Dla wahadła fizycznego moment siły powstaje pod wpływem siły ciężkości. Dla wychylenia θ jest równy M=mga sinθ, gdzie a oznacza odległość środka masy S od osi obrotu O. Zatem równanie ruchu wahadła można zapisać jako:

$$I_{0}\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} = - mga\ sin\theta$$

Okres drgań T, związany bezpośrednio z częstością (ω₀ = 2π / T ) wynosi

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_{0}}{\text{mga}}}$