Wstęp

Zagadnienie optymalnego składu mieszanki ma na celu ustalenie. jakie ilość podstawowych surowców należy zakupić (zmieszać ) aby otrzymać produkt o pożądanym składzie chemicznym przy możliwe najniższych kosztach zakupu surowców.¹

Zagadnienie to będzie opisywać sytuację decyzyjną w której będziemy musieli dokonać wyboru najtańszej mieszanki produktów spożywczych zwanych dietą spełniających odpowiednie normy odnośnie spożycia składników odżywczych w pewnym ustalonym okresie (w naszym wypadku 1 dzień). W praktyce model ten nie do końca nadaje się do układania planu żywieniowego dla ludzi ze względu na pominięcie walorów smakowych, kwestii różnorodności spożywanych posiłków czy też monotonie ułożonej diety (spożywanie 5x dziennie tego samego posiłku).

Wyboru diety można dokonać spośród n różnych dostępnych produktów. W określonym okresie trzeba zapewnić co najmniej m poszczególnych składników odżywczych (białko, węglowodany, tłuszcze w naszym wypadku kalorie nie są brane pod uwagę ponieważ przyjmujemy że 1g białka ± 4kcla, 1g węglowodanów ± 4kcla, 1g tłuszczy ± 9 kcal) zawartych w poszczególnych produktach. Zakładamy że ceny produktów są stałe, nie zależnie od wielkości zakupu, zakładamy również że możemy kupować nie standardowe ilości produktów np. 50g musztardy.

Dane są:

- a _ij i=1,…,m, j = 1,…,n - zawartość i-tego składnika odżywczego na jednostkę j-tego produktu (np. ilość g białka na 100g piersi z kurczaka, g węglowodanów na ilość ryżu, g tłuszczu na ilość musztardy itp.)

- b_i, i = 1,…,m - minimalne wymagane spożycie i - tego składnika odżywczego w rozważanym okresie (liczone w naszym wypadku w gramach)

- c_j - cena j-ego produktu żywnościowego;

W konkretnych sytuacjach decyzyjnych mogą być także wymagania np. aby dieta nie była zbyt monotonna, tzn. podane mogą być:

d_j - minimalna ilośc j-ego produktu. jaka powinna być spożyta

g_j - maksymalna ilość j-ego produktu, jaką organizm może otrzymać.

Należy określić takie wielkości zakupu poszczególnych produktów żywnościowych, które zapewnią organizmowi niezbędne składniki odżywcze i spełnią ewentualnie pewne dodatkowe ograniczenia, a równocześnie kosz zakupu będzie możliwie najniższy. Zmiennymi decyzyjnymi są zatem ilości produktów jakie należy zakupić: x_j - wielkość zakupu j-ego produktu żywnościowego (j =1,2,3...,n) a problem diety sprowadza się do rozwiązania następującego zadania.

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n ≥ b₁,

............................................

a_r1x₁ + a_r2x₂ +... + a_rnx_n ≥ b_r,

d_j ≤ x_j ≤ g_j dla niektórych j

x₁, x₂,...,x_n ≥ 0

c₁x₁ + c₂x₂ +...+ c_nx_n -> min²

Na początek chciał bym przedstawić poszczególne składniki odżywcze znajdujące się w każdym z produktów spożywczych które spożywamy tj:

- białko

- węglowodany

- tłuszcze

Białko jest podstawowym budulcem organizmu (również mięśni) w wyniku trawienia białek rozkładane są one na poszczególne aminokwasy, które są niezbędne do budowy tkane i syntezy własnego białka organizmu. Zapotrzebowanie na białko jest zależne od trybu życia. Przedstawia sie to mniej więcej w taki sposób:

Aktywność	Ilość białka na kg masy ciała
Tryb siedzący, sporadyczne ćwiczenia	0,8g na 1 kilogram wagi ciała
Aktywni sportowcy	1,2 - 1,4g na 1 kilogram wagi ciała
Bardzo aktywni kulturyści	1,7 - 2g na 1 kilogram wagi ciała

Przyjmowanie większych ilości niż 2g białka na 1kg masy ciała mija się z celem, ponieważ na pewno nie wpłynie to na większy przyrost masy, może natomiast nadmiernie obciążyć nasze nerki i wątrobę. Jeżeli przekroczymy 2g/kg masy ciała możemy czuć tak zwaną gorycz w ustach należy wtedy nie zwłocznie zmniejszyć ilość przyjmowanego białka. Białko podczas trawienia zużywa najwięcej energii. Nie każde spożywane białko ma taką samą wartość biologiczną. Spowodowane jest to tym że różne rodzaje białek są w różnym stopniu wchłaniane. Wartość biologiczna białek jest uzależniona od bilansu aminokwasów. Im bardziej bilans ten jest zgodny z własnym bilansem organizmu, tym lepsze jest wchłanianie. Aminokwasy są podstawowymi składnikami białek, organizm ludzki może zsyntezować 13 z 21 białek. Pozostałe 8 musi być dostarczone z zewnątrz.

Poniżej przedstawiono listę aminokwasów występujących w organizmie ludzkim:

Aminokwas	Funkcja w organizmie
Izoleucyna	regulacja poziomu cukru, wytwarzanie energii i budowanie hemoglobiny metabolizowana oraz przetwarzana w tkankę mięśniową brak wywołuje objawy podobne do hipoglikemii lub niskiego poziomu cukru we krwi.
Leucyna	konieczny aminokwas, występuje w białku pochodzenia zwierzęcego oraz roślinnego reguluje poziom cukru we krwi
Lizyna	wchodzi w skład białek, szczególnie mięśni oraz występuje w kościach, ważna dla prawidłowego rozwoju dzieci ułatwia wchłanianie wapnia, zwiększa koncentrację umysłową współuczestniczy w produkcji hormonów, enzymów, przeciwciał, wchodzi w skład kolagenu brak wywołuje zmęczenie, anemię, rozdrażnienie i wypadanie włosów
Metionina	odtruwa wątrobę oraz odbudowuje hepatocyty i nefrocyty wspomaga leczenie reumatyzmu oraz toksemii (pojawienie się toksyn w ciąży) działa korzystnie na układ trawienny, wzmacnianie mięśni, włosów oraz kości
Fenyloalanina	wspomaga leczenie depresji, zaników pamięci i otyłości uczestniczy w biosyntezie kolagenu (podstawowe białko włókniste) zmniejsza ból pochodzenia migrenowego, zapaleniu stawów oraz menstruacyjnego jest szkodliwa dla kobiet ciężarnych i chorych na nadciśnienie
Tryptofan	zapobiega nadpobudliwości u dzieci, stresowi, chroni serce reguluje przemianę materii, wpływa na sekrecję hormonów wspomagających syntezę witaminy B6 oraz niacyny jest przekształcany w serotoninę oraz melatoninę, a także neuroprzekaźniki (uczestniczą w przekazie impulsów nerwowych) brak serotoniny oraz melatoniny wywołuje depresję, bezsenność, a także inne zaburzenia o podłożu umysłowym
Treonina	występuje w sercu, mięśniach oraz centralnym układzie nerwowym współ uczestniczy w syntezie kolagenu oraz elastyny, a także reguluje gospodarkę wątrobową i reguluje równowagę białkową
Walina	działa pobudzająco reguluje metabolizm mięśni, odbudowuje tkanki i reguluje równowagę azotową walinę powinno się podawać wraz z leucyną lub izoleucyną
Alanina	źródło energii oraz regulator poziomu cukru we krwi uczestniczy w szlakach metabolicznych glukozy
Aspargina	uczestniczy w procesach metabolicznych układu nerwowego wpływa na stan umysłowy, zdenerwowanie bądź spokój
Kwas asparginowy	chroni organizm przed samo atakiem immunologlobin uczestniczy w przemianie węglowodanów na energię w mięśniach
Cytrulina	wspomaga układ immunologiczny współuczestniczy w produkcji energii organizmu detoksykacja wątroby z pochodnych amoniaku
Cysteina	wspomaga porost włosów chroni przed toksycznym działaniem alkoholu oraz papierosów
Glutamina	stymuluje pamięć, koncentrację oraz prawidłowe działanie aktywności umysłowej
Kwas glutaminowy	uczestniczy w metabolizmie układu immunnologicznego oraz w wytwarzaniu energii i funkcjonowaniu mózgu
Glicyna	przeciwdziała zwyrodnieniom mięśni, ponieważ dostarcza keratyninę uczestniczy w syntezie erytrocytów, dostarczaniu aminokwasów, w biosyntezie glukozy oraz keratyny (odpowiedzialnych za produkcję energii)
Histydyna	uczestniczy w syntezie erytrocytów i leukocytów, składnik tkanek organizmu
Prolina	główny składnik tkanek
Seryna	poprawia pamięć, działanie systemu nerwowego współuczestniczy w produkcji energii na poziomie komórkowym
Tyrozyna	pomaga w bezsenności, depresji, niepokoju i alergii wspomaga działanie tarczycy oraz przysadki brak powoduje nadczynność tarczycy (objawy: zmęczenie, wyczerpanie) wpływa na poziom norepinefryny (brak powoduje depresję)
Karnityna	regulacja wagi oraz przemiany tłuszczowej przeciwdziała chorobom serca w jej syntezie niezbędna jest lizyna, witaminy B1 i B6 oraz żelazo
GABAowskas gamma-aminomasłowy	reguluje napięcie nerwowe poprzez hamowanie ich przed wyładowaniem zapobiega niepokojowi i nadpobudliwości
Tauryna	pełni ważna rolę dla mięśni oraz w schorzeniach serca wspomaga trawienie tłuszczów (składnik żółci), przeciwdziała hipoglikemii oraz nadciśnieniu wywołuje pobudzenie nerwowe i epilepsję

źródło: http://www.bryk.pl/teksty/liceum/chemia/biochemia/15483-charakterystyka_aminokwas%C3%B3w.html

Węglowodany jedna z podstawowych grup żywnościowych. Łatwo przyswajalna biorąca bezpośredni udział w metabolizmie komórkowym. Z węglowodanów organizm najchętniej czerpie energię właśnie z powodu łatwej przyswajalności. Bez odpowiedniej ilość węglowodanów dostarczonych naszemu organizmowi jakikolwiek wysiłek był by nie możliwy. Brak odpowiedniej ilość dostarczonych węglowodanów może objawiać sie ospałością i niechęcią do jakiegokolwiek wysiłku. Bez odpowiedniej ilość niema też mowy o przyroście masy mięśniowej . Węglowodany dzielimy na trzy grupy:

- oczyszczone

- proste

- złożone

Proste są przyswajane w krótkim czasie po spożyciu i szybko się wchłaniają dając szybki krótkotrwały zastrzyk energii. W przypadku węglowodanów złożonych zjawisko jest odwrotne, są one wchłaniane powoli i dostarczają energii w dłuższym okresie czasu. Podstawową zasadą rozwoju masy mięśniowej jest dodatni bilans energetyczny. Powoduje on zmiany hormonalne pobudzając wzrost mięśni ( anabolizm). Węglowodany sprzyjają wzrostowi wydzielania insuliny, to właśnie jej zawdzięczmy zwiększone wchłanianie aminokwasów przez mięśnie i zdecydowany wzrost syntezy białek. Należy jednak zwracać uwagę na ilość spożywanych węglowodanów nadmierne ich spożycie może prowadzić do otyłości. Dla tego też przy układaniu diety należy zwrócić uwagę na indywidualne warunki ćwiczącego. Osoby ze skłonnością do otyłości powinny zmniejszyć dawkę przyjmowanych węglowodanów i zwiększyć dawkę białek. W ciągu dnia najwięcej węglowodanów powinno się spożywać rano, im bliżej końca dnia tym spożycie powinno być mniejsze.

Tłuszcze - grupa pokarmowa o najwyższej kaloryczności mająca za zadanie:

- dostarczenie energii

- jest nośnikiem substancji rozpuszczalnych w tłuszczach (m.in. niektóre witaminy)

- pobudza wchłanianie witaminy D

- wspomaga magazynowanie wapnia w kościach i zębach

- są niezbędne przy przekształcaniu karotenu w witaminę A

Wszystkie tłuszcze zbudowane są z tych samych kwasów tłuszczowych które dzielimy na:

- nasycone

- nienasycone

Z punktu widzenia diety ważne są kwasy tłuszczowe nienasycone występujące przede wszystkim w rybach i w olejach roślinnych. Powinny one stanowić 2/3 wszystkich spożywanych tłuszczy.

Część badawcza

Przy pomocy kalkulator kalorii zamieszczonego na jednej ze stron wyliczyliśmy zapotrzebowanie mężczyzny o masie 86kg wzroście 185cm oraz wieku 24lat przy uzupełnieniu założonego celu tj. w naszym wypadku uzyskanie masy mięśniowej/utrat tłuszczu zapotrzebowanie na poszczególne grupy żywnościowe.

Step1: Płeć : Male (Mężczyzna) / Famel (Kobieta)

Step 2: Waga

Step 3: Wzrost

Step 4: Wiek

Step 5: Poziom aktywności fizycznej (w tym wypadku 3/5h umiarkowanego wysiłku tygodniowo)

Step 6: Założony cel ( gain muscle - nabranie mięśni, lose fat - utrat nadmiaru wagi)

Step 7: Ilość posiłków na dzień

Step 8: (automatycznie) stosunek poszczególnych grup żywnościowych do siebie protein(białka) 20%, carbs (węglowodany) 60%, fat (tłuszcze) 20% .

Tabela:

Number Meals (Liczba posiłków) 5

Calories per Meal ( Liczba kalorii na posiłek) 621

Liczba poszczególnych grup żywnościowych na posiłek:

Protein (Białka): 31g/posiłek; 155g/dzień

Carbohydrates (Węglowodany) : 93g/posiłek; 465g/dzień

Fat (Tłuszcze) : 13g/posiłek; 65g/dzień.

źródło: http://scoobysworkshop.com/calorie-calculator/

P1

Na potrzeby ułożenia diety sporządzić najtańszy jadłospis z co najwyżej 9 produktów. Przy sporządzaniu jadłospisu należy zwrócić uwagę na dzienne zapotrzebowanie na poszczególne grupy żywnościowe (białka/węglowodany/tłuszcze). Dane liczbowe do zadania znajdują się w tabeli poniżej.

	Pierś z kurczak	Makrela	Stek z tuńczyka	Ryż	Brokuły	Fasolka szparagowa	Kalafior	Musztarda	Ketchup		Minimalna wymagana ilość składników
	0,00	0,00	0,00	4,60	0,00	0,00	0,00	16,03	0,00	łączny koszt
	Cena produktów PLN/100g	0,00
	1,69	1,69	4,95	0,85	1,10	0,75	0,90	0,30	0,55	Spożyta ilość składnika
Składniki odżywcze:	Jednostkowa zawartość składników odżywczych
białko [g/100g]	21,50	21,00	28,00	6,50	2,82	2,50	2,40	7,80	1,33	0,00	155,00
węglowodany [g/100g]	0,00	0,00	0,00	78,00	4,04	3,80	5,00	6,60	22,16	0,00	465,00
tłuszcze [g/100g]	1,30	16,00	1,30	0,60	0,37	0,20	0,10	13,10	0,35	0,00	65,00

Model matematyczny zadania:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 -ilość produktów spożywczych (odpowiednio piersi z kurczaka, makreli, steku z tuńczyka, ryżu, brokuł, fasolki szparagowej, kalafiora, musztardy, ketchupu)

Funkcja celu:

1,69 * x1 + 1,69 * x2 + 4,95 * x3 + 0,85 * x4 + 1,10 * x5 + 0,75 * x6 + 0,90 * x7 + 0,30 * x8 +0,55 * x9- > min (koszt zakupionych produktów powinien być min)

przy ograniczeniach:

21,50 x1 + 21 x2 + 28 x3 + 6,50 x4 + 2,82 x5 + 2,50 x6 + 2,40 x7 + 7,80 x8 + 1,33 x9 ≥ 155 (minimum 155g białka dziennie)

78 x4 + 4,04 x5 + 3,80 x6 + 5 x7 + 6,60 x8 + 22,16 x9 ≥ 465 (minimum 465g węglowodanów dziennie)

1,30 x1 + 16,00 x2 + 1,30 x3 + 0,60 x4 + 0,37 x5 + 0,20 x6 + 0,10 x7 + 13,10 x8 + 0,35 x9 ≥65 (minimum 65g tłuszczy dziennie)

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ 0; x5 ≥ 0; x6 ≥ 0; x7 ≥ 0; x8 ≥ 0; x9 ≥ 0 - ilości produktów spożywczych nie mogą być ujemne

Do rozwiązania tego problemu zostanie wykorzystany Microsoft Excel z dodatkiem Solver. Na początku musimy zdecydować które komórki będą pełnić funkcje zmiennych decyzyjnych. (x1, x2,...,x9)

Ustawienia programu SOLVER:

Komórka celu: K3 (łączny koszt)

Równa: Min (automatycznie ustawione jest Maks)

Komórki zmienne (nasze X) B2:J2

Warunki ograniczające:

$B$2:$J$2 >= 0 - ilości produktów spożywanych nie mogą być mniejsze od zera

$K$6:$K$8 >= $L$6:$L$8 - ilość spożywanych białek, węgli, tłuszczy nie miej niż 155g, 465g, 65g.

Wyniki i interpretacja:

	Pierś z kurczak	Makrela	Stek z tuńczyka	Ryż	Brokuły	Fasolka szparagowa	Kalafior	Musztarda	Ketchup		Minimalna wymagana ilość składników
	0,00	0,00	0,00	4,60	0,00	0,00	0,00	16,03	0,00	łączny koszt
	Cena produktów PLN/100g	8,72
	1,69	1,69	4,95	0,85	1,10	0,75	0,90	0,30	0,55	Spożyta ilość składnika
Składniki odżywcze:	Jednostkowa zawartość składników odżywczych
białko [g/100g]	21,50	21,00	28,00	6,50	2,82	2,50	2,40	7,80	1,33	155,00	155,00
węglowodany [g/100g]	0,00	0,00	0,00	78,00	4,04	3,80	5,00	6,60	22,16	465,00	465,00
tłuszcze [g/100g]	1,30	16,00	1,30	0,60	0,37	0,20	0,10	13,10	0,35	212,81	65,00

Z powyższej tabeli możemy wywnioskować że należy zakupić 460g ryżu, 1603g musztardy przy założeniu że musimy spożyć minimum 155g białka, 465g węglowodanów, 65g tłuszczy na dzień przy takim zakupie łączny koszt powinien być najniższy (tj. 8,72zł) Przy takim zakupie spożyjemy 155g białka, 465g węglowodanów, 212,81g tłuszczy.

P2

Przykład drugi ma na celu rozwiązanie tego samego problemu tylko tym razem dodane zostaje ograniczenie co do maksymalnej ilość spożywanych poszczególnych grup żywnościowych.

Model matematyczny zadania:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 -ilość produktów spożywczych (odpowiednio piersi z kurczaka, makreli, steku z tuńczyka, ryżu, brokuł, fasolki szparagowej, kalafiora, musztardy, ketchupu)

Funkcja celu:

1,69 * x1 + 1,69 * x2 + 4,95 * x3 + 0,85 * x4 + 1,10 * x5 + 0,75 * x6 + 0,90 * x7 + 0,30 * x8 +0,55 * x9-> min (koszt zakupionych produktów powinien być min)

przy ograniczeniach:

21,50 x1 + 21 x2 + 28 x3 + 6,50 x4 + 2,82 x5 + 2,50 x6 + 2,40 x7 + 7,80 x8 + 1,33 x9 ≥ 155g (minimum 155g białka)

21,50 x1 + 21 x2 + 28 x3 + 6,50 x4 + 2,82 x5 + 2,50 x6 + 2,40 x7 + 7,80 x8 + 1,33 x9 ≤ 186g (nie więcej niż 186g białka)

78 x4 + 4,04 x5 + 3,80 x6 + 5 x7 + 6,60 x8 + 22,16 x9 ≥ 465g (minimum 465g węglowodanów)

78 x4 + 4,04 x5 + 3,80 x6 + 5 x7 + 6,60 x8 + 22,16 x9 ≤ 558g (nie więcej niż 558g węglowodanów)

1,30 x1 + 16,00 x2 + 1,30 x3 + 0,60 x4 + 0,37 x5 + 0,20 x6 + 0,10 x7 + 13,10 x8 + 0,35 x9 ≥65g (minimum 65g tłuszczy)

1,30 x1 + 16,00 x2 + 1,30 x3 + 0,60 x4 + 0,37 x5 + 0,20 x6 + 0,10 x7 + 13,10 x8 + 0,35 x9 ≤ 78g (nie więcej niż 78g tłuszczy)

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ 0; x5 ≥ 0; x6 ≥ 0; x7 ≥ 0; x8 ≥ 0; x9 ≥ 0 - ilości produktów spożywczych nie mogą być ujemne

Podobnie jak w przykładzie powyżej naszymi zmiennymi dalej będą komórki od B2:J2, dodatkowo tabela została uzupełniona o dodatkową kolumnę "Maksymalna ilość składników"

	Pierś z kurczak	Makrela	Stek z tuńczyka	Ryż	Brokuły	Fasolka szparagowa	Kalafior	Musztarda	Ketchup		Minimalna wymagana ilość składników	Maksymalna ilość składników
	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	łączny koszt
	Cena produktów PLN/100g	0,00
	1,69	1,69	4,95	0,85	1,10	0,75	0,90	0,30	0,55	Spożyta ilość składnika
Składniki odżywcze:	Jednostkowa zawartość składników odżywczych
białko [g/100g]	21,50	21,00	28,00	6,50	2,82	2,50	2,40	7,80	1,33	0,00	155,00	186,00
węglowodany [g/100g]	0,00	0,00	0,00	78,00	4,04	3,80	5,00	6,60	22,16	0,00	465,00	558,00
tłuszcze [g/100g]	1,30	16,00	1,30	0,60	0,37	0,20	0,10	13,10	0,35	0,00	65,00	78,00

Maksymalna ilość składników = minimalna wymagana ilość składników + (20%*minimlana wymagana ilość składników)

Ustawienie programu SOLVER:

Komórka celu: K3 (łączny koszt)

Równa: Min (automatycznie ustawione jest Maks)

Komórki zmienne (nasze X) $B$2:$J$2

Warunki ograniczające:

$B$2:$J$2 >= 0 - ilości produktów spożywanych nie mogą być mniejsze od zera

$K$6:$K$8 <= $M$6:$M$8 - ilość spożywanych białek, węgli, tłuszczy nie więcej niż 186g, 558g, 78g.

$K$6:$K$8 >= $L$6:$L$8 - ilość spożywanych białek, węgli, tłuszczy nie miej niż 155g, 465g, 65g.

Wyniki i interpretacja:

	Pierś z kurczak	Makrela	Stek z tuńczyka	Ryż	Brokuły	Fasolka szparagowa	Kalafior	Musztarda	Ketchup		Minimalna wymagana ilość składników	Maksymalna ilość składników
	3,60	0,00	0,00	5,51	0,00	0,00	0,00	5,34	0,00	łączny koszt
	Cena produktów PLN/100g	12,38
	1,69	1,69	4,95	0,85	1,10	0,75	0,90	0,30	0,55	Spożyta ilość składnika
Składniki odżywcze:	Jednostkowa zawartość składników odżywczych
białko [g/100g]	21,50	21,00	28,00	6,50	2,82	2,50	2,40	7,80	1,33	155,00	155,00	186
węglowodany [g/100g]	0,00	0,00	0,00	78,00	4,04	3,80	5,00	6,60	22,16	465,00	465,00	558
tłuszcze [g/100g]	1,30	16,00	1,30	0,60	0,37	0,20	0,10	13,10	0,35	78,00	65,00	78

Z powyższej tabeli możemy wywnioskować że należy zakupić 360g piersi z kurczaka, 551g ryżu, 534g musztardy przy założeniu że musimy spożyć minimum 155g białka, 465g węglowodanów, 65g tłuszczy nie przekraczając 186g białka, 558g węglowodanów, 78g tłuszczy na dzień przy takim zakupie łączny koszt powinien być najniższy (tj. 12,38zł) Przy takim zakupie spożyjemy 155g białka, 465g węglowodanów, 78g tłuszczy.

P3

Przykład trzeci i zarazem ostatni (ten sam problem badawczy). W przykładzie tym dodane zostają dodatkowe ograniczenia odnośnie ilość spożycia poszczególnych produktów. Wygląd tabeli jest taki sam jak w przykładzie 2 tj:

	Pierś z kurczak	Makrela	Stek z tuńczyka	Ryż	Brokuły	Fasolka szparagowa	Kalafior	Musztarda	Ketchup		Minimalna wymagana ilość składników	Maksymalna ilość składników
	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	łączny koszt
	Cena produktów PLN/100g	0,00
	1,69	1,69	4,95	0,85	1,10	0,75	0,90	0,30	0,55	Spożyta ilość składnika
Składniki odżywcze:	Jednostkowa zawartość składników odżywczych
białko [g/100g]	21,50	21,00	28,00	6,50	2,82	2,50	2,40	7,80	1,33	0,00	155,00	186,00
węglowodany [g/100g]	0,00	0,00	0,00	78,00	4,04	3,80	5,00	6,60	22,16	0,00	465,00	558,00
tłuszcze [g/100g]	1,30	16,00	1,30	0,60	0,37	0,20	0,10	13,10	0,35	0,00	65,00	78,00

Model matematyczny zadania:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 -ilość produktów spożywczych (odpowiednio piersi z kurczaka, makreli, steku z tuńczyka, ryżu, brokuł, fasolki szparagowej, kalafiora, musztardy, ketchupu)

Funkcja celu:

1,69 * x1 + 1,69 * x2 + 4,95 * x3 + 0,85 * x4 + 1,10 * x5 + 0,75 * x6 + 0,90 * x7 + 0,30 * x8 +0,55 * x9

-> min (koszt zakupionych produktów powinien być min)

przy ograniczeniach:

21,50 x1 + 21 x2 + 28 x3 + 6,50 x4 + 2,82 x5 + 2,50 x6 + 2,40 x7 + 7,80 x8 + 1,33 x9 ≥ 155g (minimum 155g białka)

21,50 x1 + 21 x2 + 28 x3 + 6,50 x4 + 2,82 x5 + 2,50 x6 + 2,40 x7 + 7,80 x8 + 1,33 x9 ≤ 186g (nie więcej niż 186g białka)

78 x4 + 4,04 x5 + 3,80 x6 + 5 x7 + 6,60 x8 + 22,16 x9 ≥ 465g (minimum 465g węglowodanów)

78 x4 + 4,04 x5 + 3,80 x6 + 5 x7 + 6,60 x8 + 22,16 x9 ≤ 558g (nie więcej niż 558g węglowodanów)

1,30 x1 + 16,00 x2 + 1,30 x3 + 0,60 x4 + 0,37 x5 + 0,20 x6 + 0,10 x7 + 13,10 x8 + 0,35 x9 ≥65g (minimum 65g tłuszczy)

1,30 x1 + 16,00 x2 + 1,30 x3 + 0,60 x4 + 0,37 x5 + 0,20 x6 + 0,10 x7 + 13,10 x8 + 0,35 x9 ≤ 78g (nie więcej niż 78g tłuszczy)

x1 ≥ 400g (nie mniej niż 400g piersi z kurczaka)

x4 ≥ 500g (nie mniej niż 500g ryżu)

x6 ≥ 200g (nie mniej niż 200g fasolki szparagowej)

200 g ≤ x8 ≤ 220g (nie mniej niż 200g musztardy ale nie więcej niż 220g)

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ 0; x5 ≥ 0; x6 ≥ 0; x7 ≥ 0; x8 ≥ 0; x9 ≥ 0 - ilości produktów spożywczych nie mogą być ujemne

Ustawienie programu SOLVER:

Komórka celu: K3 (łączny koszt)

Równa: Min (automatycznie ustawione jest Maks)

Komórki zmienne (nasze X) $B$2:$J$2

Warunki ograniczające:

$B$2 >= 4 - nie mniej niż 400g produktu x1 (piersi z kurczaka)

$B$2:$J$2 >= 0 - ilości produktów spożywanych nie mogą być mniejsze od zera

$E$2 >= 5 - nie mniej niż 500g produktu x4 (ryżu)

$G$2 >= 2 - nie mniej niż 200g produktu x6 (fasolki szparagowej)

$I$2 <= 2,2 - nie więcej niż 220g produktu x8 (musztardy)

$I$2 >= 2 nie mniej niż 200g produktu x8 (musztardy)

$K$6:$K$8 <= $M$6:$M$8 - ilość spożywanych białek, węgli, tłuszczy nie więcej niż 186g, 558g, 78g.

$K$6:$K$8 >= $L$6:$L$8 - ilość spożywanych białek, węgli, tłuszczy nie miej niż 155g, 465g, 65g.

Wyniki i interpretacja:

	Pierś z kurczak	Makrela	Stek z tuńczyka	Ryż	Brokuły	Fasolka szparagowa	Kalafior	Musztarda	Ketchup		Minimalna wymagana ilość składników	Maksymalna wymagana ilość składników
	4,00	1,70	0,00	5,68	0,00	2,00	0,00	2,20	0,00	łączny koszt
	Cena produktów PLN/100g	16,62
	1,69	1,69	4,95	0,85	1,10	0,75	0,90	0,30	0,55	Spożyta ilość składnika
Składniki odżywcze:	Jednostkowa zawartość składników odżywczych
białko [g/100g]	21,50	21,00	28,00	6,50	2,82	2,50	2,40	7,80	1,33	180,73	155	186
węglowodany [g/100g]	0,00	0,00	0,00	78,00	4,04	3,80	5,00	6,60	22,16	465,00	465	558
tłuszcze [g/100g]	1,30	16,00	1,30	0,60	0,37	0,20	0,10	13,10	0,35	65,00	65	78

Z powyższej tabeli możemy wywnioskować że należy zakupić 400g piersi z kurczaka, 568g ryżu, 200g fasoli szparagowej, 220g musztardy przy założeniach że musimy spożyć minimum 155g białka, 465g węglowodanów, 65g tłuszczy nie przekraczając 186g białka, 558g węglowodanów, 78g tłuszczy na dzień jak również że musimy spożyć minimum 400 g piersi z kurczaka, minimum 500g ryżu, minimum 200g fasolki szparagowej, nie mniej niż 200g ale nie więcej niż 220g musztardy przy takim zakupie łączny koszt powinien być najniższy (tj. 16,62zł) Przy takim zakupie spożyjemy 180,73g białka, 465g węglowodanów, 65g tłuszczy.

Wnioski

Jak na wstępie już wspomniałem wykorzystanie tego typu obliczeń nie do końca nadaje się do sporządzania diety, przykład 1 nikt nie będzie spożywać w ciągu dnia tylko i wyłącznie 460g ryżu, 1603g musztardy mimo że przy takich założeniach koszt jest najniższy. Metoda ta może się sprawdzić tylko i wyłącznie w wypadku dodawania to coraz większej ilości warunków ograniczających. W przypadku przykładu 2 gdzie zostały dodane maksymalne ilość spożywanych produktów solver zaproponował zakup 360g piersi z kurczaka, 551g ryżu, 534g musztardy wciąż pomijając wszystkie warzywa. Dopiero w przykładzie 3 przy dodaniu większej ilość warunków ograniczających wytypowane produkty przez solvera zaczynają tworzyć jakąś spójna całość. Głównym problemem tego modelu jest fakt że pomija on wszelkie walory smakowe, jak również rozmaitość proponowanych dań, w wypadku tworzenia diety koszt łączny nie rzadko będzie spadał na 2 albo i 3 miejsce przy wyborze produktów.

Bibliografia:

1. "Badania operacyjne w przykładach i zadaniach" wydanie piąte Z. Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Skrzypek, A. Walkosz, wyd. PWN,

2. "Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem" T. Trzaskalik wyd. PWN Warszawa 2008

3. informacje odnośnie diety czerpane głownie z www.kfd.pl

---

1. "Badania operacyjne w przykładach i zadaniach" wydanie piąte str.32, wyd. PWN, Z. Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Skrzypek, A. Walkosz↩

2. "Badania operacyjne w przykładach i zadaniach" wydanie piąte str.33, wyd. PWN, Z. Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Skrzypek, A. Walkosz↩