MATEMATYKA – WYKŁADY.

Wykład z dnia 12.12.2010 r.

Zastosowania pochodnych.

1. Matematyczne.

1. Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie X₀

y = f ‘ (x₀)(x – x₀) + f (x₀)

Gdzie f ‘(x₀) oznacza pochodną funkcji w punkcie x₀ i stanowi współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie x₀ ; z drugiej strony wiadomo, że współczynnik kierunkowej prostej stanowi tgα tej prostej do osi OX.

y = ax + b

tgα = a

Podsumowując tgα – kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji jest równy

tgα = f ‘ (x₀)

0 ⁰ < α < 90 ⁰

tgα > 0

Zad. 1

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji :

f(x) = 3x³ , w punkcie X₀ = 3 .

f(3) = 3 ∙ 3³ = 81

f ‘ (x) = 9x²

f(3) = 9 ∙ 3² = 81

y = 81(x-3) + 81

y = 81x -243 + 81

y = 81x - 162

1. Określanie przedziałów monotoniczności funkcji

Jeżeli funkcja f ma pochodną dodatnią w każdym punkcie przedziału P , to jest w tym przedziale rosnąca .

f ‘ (x) > 0 funkcja rosnąca w P

Jeżeli funkcja f ma pochodną ujemną w każdym punkcie przedziału P , to jest w tym przedziale malejąca.

f ‘(x) < 0 funkcja malejąca w P

Zad. 1

Określ przedziały monotoniczności funkcji f.

1. f(x) =

funkcja rosnąca

f ‘(x) > 0

f ‘ (x) =

f ‘(x) = 2x² + 2x – 4

∆ = 9

X₁ = -2

X₂ = 1

x ϵ ( -∞ , -2) (1 , +∞) funkcja f jest rosnąca

funkcja malejąca f ‘(x) < 0 x ϵ (-2 , 1)

c) wyznaczanie ekstremum funkcji (maksimum , minimum lokalne)

Punkt X₀ jest punktem maksimum lokalnego funkcji f wtedy i tylko wtedy , gdy w każdym punkcie X z pewnego otoczenia punktu X₀ funkcja f przyjmuje wartości nie większe niż w punkcie X₀ .

f (x) ≤ f(x₀) dla każdego X z pewnego otoczenia X₀

Punkt Y₀ jest punktem minimum lokalnego wtedy i tylko wtedy , gdy w każdym punkcie X z pewnego otoczenia punktu X₀ funkcja f przyjmuje wartości nie mniejsze niż w punkcie X₀ .

f(x) ≥ f (x₀)

Punkty minimum , maksimum lokalnego noszą nazwę punktów ekstremum .

Punktami ekstremum mogą być tylko punkty zerowane się pochodnej f(x) = 0 .

Zerowanie się pochodnej jest warunkiem ale nie wystarczającym istnienia ekstremum funkcji , musi następować zmiana znaku pochodnej w punkcie X₀ .

Algorytm określania ekstremum funkcji :

1. Oblicz f ‘ .

2. f ‘ (x) = 0 - rozwiązania równania to punkty stacjonarne, podejrzane o istnienie ekstremum (tylko w nich funkcja może przyjmować ekstremum lokalne).

Jeśli równanie nie ma rozwiązania to funkcja nie ma ekstremum lokalnych.

1. Funkcja f w punkcie X₀ osiąga maksimum lokalne gdy:

f ‘(x) > 0 dla x < x₀

f ‘ (x) < 0 dla x > x₀

3’) Funkcja f w punkcie X₀ osiąga minimum lokalne

f ‘(x) > 0 dla x > x₀

f ‘(x) < 0 dla x <x₀

Zad. 1

1. f(x) =

f ‘(x) = x² – x -2

f ‘(x) = 0

∆ = 9

X₁ = -1

X₂ = 2

1. f(x) =

f ‘ (x) =

• f ‘(x) =

• f ‘(x) = 0

(x² + 4)² > 0

Dla dowolnego x ϵ D_f

D_f = R

-x² + 4 = 0

- (x² – 4) = 0

- (x-2)(x+2) = 0

X = 2 x = -2

• x = 2 x = -2

f(x) > 0

(x² + 4)² > 0 (+)

-x² + 4 > 0

f(x) < 0

x ϵ ( - ∞ , -2) (2 , +∞)

x ϵ (-2 , 2)

1. f(x) =

f ‘ (x) =

f ‘(x) = 0

(x-1)² > 0 dla dowolnego x ϵ D_f

D_f = R I {1}

x²-2x = 0

x(x-2) = 0

x = 0 x = 2

1. wartość największa i najmniejsza funkcji

w przedziale W <a,b>

Wartość najmniejsza i największa funkcji f obustronnie domkniętym w przedziale <a,b> to odpowiadająca największa i najmniejsza wartość ze wszystkich przyjmowanych przez funkcje w przedziale <a,b> .

Aby obliczyć wartość największą i najmniejszą należy:

1. wyznaczyć punkty ekstremum lokalnych w punkcie

2. obliczyć wartość f(x₀)

3. obliczyć wartości na krańcach przedziału f(a) i f(b)

4. spośród wartości wyliczonych w punktach 2 i 3 wybrać wartość największą i najmniejszą.

Zad. 1

Wyznacz wartość funkcji f największą i najmniejszą w przedziale <-1 , 5>

f(x) = 2x³ + 3x² – 12x + 1

• f ‘(x) = 6x² + 6x -12

• 6x² + 6x -12 = 0 / :6

x² + x -2 = 0

∆ = 9

X₁ = -2 X₂ = 1

f(-2) = 21

f(1) = -6

X_max = -2

X_min = 1

• f(-1) = 14

f(5) = 250 +75 – 60 + 1 = 266

• dla x = 1 funkcja f przyjmuje wartość ujemną i wynosi ona -6 .

Zad. 2

Określ ekstremum funkcji f wyznacz przedziały monotoniczności , określ wartość największą i najmniejszą w przedziale <1,2> .

D_f = R I {3}

• f ‘(x) = 0

# (3-x)² > 0 dla dowolnego x ϵ R I {3}

9x² – 2x³ = 0

x²(9-2x) = 0

x = 0 x =

f ‘(x) > 0 x² (9-2x) > 0

f ‘(x) < 0 x²(9-2x) < 0

X_max =

Funkcja rosnąca x ϵ (- ∞ , 0) (0 , )

Funkcja malejąca x ϵ ( , +∞)

• f() =136,68

f(1) = 0,5

f(2) = 8

1. obliczanie granic nieoznaczonych

Twierdzenie reguła de L’Hospitala.

Dla nieoznaczoności :

Jeżeli funkcje f , g spełniają warunki :

Przy czym g(x) ≠ 0 dla każdego X należącego do pewnego sąsiedztwa punktu X₀

1. Istnieje granica w punkcie X₀

(właściwa lub niewłaściwa)

To

Zad.1

Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć:

f ‘(x) = 3

g ‘(x) = cosx

h(x) =sin3x

wewn. f(x) = 3x

zewn. g(x) = sinx

h(x) = g (f(x))

h’(x) = g’(f(x)) ∙ f ‘ (x)

h ‘(x) = 3 cos³x

Reguła de L’Hospitala jest także właściwa dla granic +/- ∞ .

Twierdzenie reguła de L’Hospitala dla nieoznaczoności .

Przy czym g(x) ≠ 0

1. Istnieje granica

(właściwa lub niewłaściwa) , to

Reguła de L’Hospitala jest także prawdziwa dla granic w +/- ∞ .

Tożsamości zmieniające rodzaj nieoznaczoności .

Nieoznaczoność	Stosowana tożsamość	Otrzymana nieoznaczoność
0 ∙ ∞		lub
∞ - ∞
∞^0 , 0^0		lub

1. Ekonomiczne.

Interpretacja ekonomiczna pochodnej .

1. Funkcja krańcowa

Pochodna funkcji f w punkcie X₀ jest miarą prędkości zmian wartości funkcji w punkcie X₀ . Miarę tę w zagadnieniach ekonomicznych nazywa się miarą krańcową funkcji f w punkcie X₀ .

Funkcja pochodnej nazywa się funkcją krańcową .

Jeżeli funkcja k charakteryzuje zależność kosztów produkcji od wielkości produkcji q to pochodna policzona w punkcie q₀ nazywa się kosztem krańcowym dla q₀ .

Koszt krańcowy przy poziomie produkcji q₀ w przybliżeniu jest równy kosztowi wyprodukowania dodatkowej jednostki produkcji .

Analogicznie jeśli funkcja R (q₀) uzyskuje wpływy (utarg) ze sprzedaży q jednostek to pochodna R ‘ (q₀) jest krańcowym przychodem czyli ilością pieniędzy uzyskanej ze sprzedaży dodatkowej jednostki powyżej poziomu q .

Zad. 1

W pewnym przedsiębiorstwie funkcja kosztów produkcji określona jest wzorem :

k(q) = 3q³ – 25q² +100q + 50

q –wielkość produkcji .

Obliczyć koszt krańcowy przy produkcji 10 jednostek zinterpretować otrzymany wynik.

k ‘(q) = 9q² – 50 q + 100

k ‘(10) = 900 – 500 +100 = 500

Odp: Koszt dodatkowej jednostki towaru powyżej q =10 jest równy 500 (zł).

1. Funkcja elastyczności

W praktyce ekonomicznej bardzo często rozpatruje się procentowe zmiany wielkości .

∆x = x_k – x₀

- przyrost względny

Iloraz nazywa się względną zmianą przyrostu argumentów i wyraża się w procentach.

Analogicznie nazywa się względnym przyrostem wartości funkcji i wyraża się w procentach .

Stosunek tych zmian nazywa się elastycznością funkcji i wyraża się wzorem:

Elastyczność funkcji wskazuje o ile procentowo zmieni się w przybliżeniu wartość funkcji f jeśli argument X zwiększy się o 1% .

Zad. 1

Przypuśćmy że popyt na pewne dobro ocenie jednostkowej p (zł) wyraża się wzorem:

S(p) = 20 – 0,4p

S – popyt

D – podaż

Obliczyć elastyczność popytu dla p =10 . Zinterpretować uzyskany rezultat.

Odp: Jeżeli cena wzrośnie o 1% to popyt na dane dobro zmniejszy się w przybliżeniu o 0,25% .

Zad.2

Funkcja podaży wyraża się wzorem:

D(p) = 80 + 0,2p²

gdzie p przyjmuje wartości p=(0,20). Oblicz elastyczność podaży dla p=10. Zinterpretować uzyskany efekt.

D’(p) = p ∙

Zad. 3

W pewnym przedsiębiorstwie koszt całkowity produkcji wyraża się wzorem:

k(x) =

x – wielkość produkcji

Utarg:

U (x) = 12x – x²

Zbadać zależność zysku od wielkości produkcji.

α(x) = U(x) – k(x)

α(x) =

Z(x) =

Z ‘(x) = 4x – x²

Z ‘(x) = 0 x (4-x) = 0

X =0 X = 4

Nie spełnia warunków zadania bo x oznacza wielkość produkcji.

Dla x ϵ (0,4) funkcja Z jest rosnąca tzn. zyski rosną dla produkcji od 0 do 4 jednostek przy poziomie produkcji x = 4 zyski maleją (są minimalne) .