Laboratorium podstaw fizyki

Nr ćwiczenia: 44

Temat ćwiczenia: Pomiar zależności oporności metali i półprzewodników od temperatury.

Imię i nazwisko prowadzącego kurs:

Wykonawca:
Imię i Nazwisko nr indeksu, wydział
Termin zajęć: dzień tygodnia, godzina
Numer grupy ćwiczeniowej
Data oddania sprawozdania:
Ocena końcowa

Zatwierdzam wyniki pomiarów.

Data i podpis prowadzącego zajęcia ……………………………………………………………

Adnotacje dotyczące wymaganych poprawek oraz daty otrzymania poprawionego sprawozdania

Celem ćwiczenia by pomiar oporu elektrycznego metalu i półprzewodnika w funkcji temperatury oraz wyznaczenie temperaturowego współczynnika rezystancji (oporu) metalu i szerokości przerwy energetycznej w półprzewodniku.

1. Zestaw przyrządów

• Komora pomiarowa zawierająca badane oporniki (rezystory): metalowy Rm i półprzewodnikowy Rs , grzejnik G, miernik temperatury T(termometr YF-160A TYPE-K) i wentylator W.

• Mierniki oporu: Digital Multimeter 1331(Pt), Multimeter typ 1321(półprzewodnik), Metex M-4630(Cu)

• Zasilacz grzejnika z możliwością regulacji napięcia wyjściowego - do 20 V, wydajność prądowa - 1,5 A

1. Pomiar wartości oporu

1. wyniki pomiarów i obliczeń dla miedzi:

t	∆t	RCu	∆RCu	a	∆a	b	∆b	α	∆α	∆α/α
°C	°C	Ω	Ω	Ω/°C	Ω/°C	Ω	Ω	°C^-1	°C^-1	%
23,8	1,8	1,32	0,053	0,0040079	8*10^-7	1,2319	0,004	0,00325	1,2*10^-5	0,004
25,0	2	1,33	0,053
30,0	2	1,35	0,053
35,0	2	1,38	0,053
40,0	2	1,39	0,053
45,0	2	1,42	0,053
50,0	2	1,43	0,053
55,0	2	1,45	0,053
60,0	3	1,48	0,053
65,0	3	1,49	0,053
70,0	3	1,52	0,054
75,0	3	1,53	0,054
80,0	3	1,55	0,054
85,0	3	1,57	0,054
90,0	4	1,59	0,054

Tabela 1

1. wyniki pomiarów i obliczeń dla platyny:

t	∆t	RPt	∆RPt	a	∆a	b	∆b	α	∆α	∆α/α
°C	°C	kΩ	kΩ	Ω/°C	Ω/°C	Ω	Ω	°C^-1	°C^-1	%
23,8	1,8	0,1104	0,0023	0,37726	1,1*10^-5	101,375	0,052	0,003721	2,1*10^-6	0,0006
25,0	2	0,1107	0,0023
30,0	2	0,1127	0,0023
35,0	2	0,1146	0,0023
40,0	2	0,1165	0,0023
45,0	2	0,1183	0,0023
50,0	2	0,1202	0,0023
55,0	2	0,1222	0,0023
60,0	3	0,1240	0,0023
65,0	3	0,1260	0,0023
70,0	3	0,1277	0,0023
75,0	3	0,1298	0,0023
80,0	3	0,1315	0,0023
85,0	3	0,1334	0,0023
90,0	4	0,1353	0,0023

Tabela 2

1. wyniki pomiarów i obliczeń dla półprzewodnika:

t	∆t	T	∆T	1000/T	∆1000/T	Rs	∆Rs	lnRs	∆lnRs	A	∆A	Eg	∆Eg
°C	°C	K	K	K^-1	K^-1	kΩ	kΩ			K	K	J	eV
23,8	1,8	296,95	1,8	3,37	0,021	0,820	0,004	6,709	0,033	3,69	0,34	1,02*10^-19	0,6375
25,0	2	298,15	2	3,35	0,023	0,794	0,0036	6,677	0,031
30,0	2	303,15	2	3,30	0,022	0,657	0,0034	6,488	0,034
35,0	2	308,15	2	3,25	0,022	0,537	0,0031	6,286	0,037
40,0	2	313,15	2	3,20	0,021	0,438	0,003	6,082	0,042
45,0	2	318,15	2	3,14	0,02	0,377	0,0028	5,932	0,045
50,0	2	323,15	2	3,10	0,02	0,317	0,0027	5,759	0,05
55,0	2	328,15	2	3,05	0,02	0,264	0,0026	5,576	0,055
60,0	3	333,15	3	3,00	0,028	0,220	0,0025	5,394	0,062
65,0	3	338,15	3	2,96	0,027	0,185	0,0024	5,220	0,07
70,0	3	343,15	3	2,91	0,026	0,1563	0,0024	5,052	0,08
75,0	3	348,15	3	2,87	0,025	0,1335	0,0023	4,894	0,085
80,0	3	353,15	3	2,83	0,025	0,1155	0,0023	4,749	0,095
85,0	3	358,15	3	2,79	0,024	0,0987	0,0022	4,592	0,11
90,0	4	363,15	4	2,75	0,031	0,0844	0,0022	4,436	0,12

Tabela 3

1. Analiza pomiarów

Wykres 1

Wykres 2

Wykres 3

1. Obliczenia

Niepewność pomiaru temperatury

$$t = \pm \left( 0,3\% + 1 \right) = \pm \left( \frac{23,8*3}{100} + 1 \right) = \pm \ 1,714\ \approx \pm \ 1,8\lbrack\rbrack$$

$$t = \pm \left( 0,3\% + 1 \right) = \pm \left( \frac{30*3}{100} + 1 \right) = \pm \ 1,75\ \approx \pm \ 2\lbrack\rbrack$$

$$t = \pm \left( 0,3\% + 1 \right) = \pm \left( \frac{296,95*3}{100} + 1 \right) = \pm \ 1,9 \approx \pm \ 2\ \lbrack\rbrack$$

Niepewność oporu Cu

R_Cu = ±(0,2% rdg+5 dgt) = ±(0,2%*1,32+5*0,01) = ±0, 05264 ≈ ±0, 053 [Ω]

R_Cu = ±(0,2% rdg+5 dgt) = ±(0,2%*1,33+5*0,01) = ±0, 05266 ≈ ±0, 053 [Ω]

R_Cu = ±(0,2% rdg+5 dgt) = ±(0,2%*1,35+5*0,01) = ±0, 0527 ≈ ±0, 053 [Ω]

Regresja liniowa R_Cu = f(t), y = ax + b

$$a = \left\lbrack n\left( \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}*y_{i}} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}y_{i} \right) \right\rbrack*\frac{1}{n\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2}} = \left( 15*1231,566 - 828,8*21,8 \right)*\frac{1}{15*52541,44 - 686909,44} = \frac{405,65}{101212,16} = 0,004007917626\ldots \approx 0,0040079\ \lbrack\frac{\Omega}{C}\rbrack$$

$$b = \left\lbrack \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}y_{i} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}y}_{i} \right) \right\rbrack*\frac{1}{n\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2}} = \left( 52541,44*21,8 - 828,8*1231,566 \right)*\frac{1}{15*52541,44 - 686909,44} = \frac{124681,491}{101212,16} = 1,231882523\ldots \approx 1,2319\ \lbrack\Omega\rbrack$$

$$a = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - ax_{i} - b \right)^{2}}{n - 2}}*\sqrt{\frac{n}{n\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2}}} = \sqrt{\frac{3,491750938*10^{- 4}}{13}}*\sqrt{\frac{15}{15*52541,44 - 686909,44}} = 0,005182626998*0,000148203536 = 7,68083647\ldots*10^{- 7} \approx 8*10^{- 7}\ \lbrack\frac{\Omega}{C}\rbrack$$

$$b = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - ax_{i} - b \right)^{2}}{n - 2}}*\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}}{n\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2}}} = \sqrt{\frac{3,491750938*10^{- 4}}{13}}*\sqrt{\frac{52541,44}{15*52541,44 - 686909,44}} = 0,005182626998*0,720501084 = 0,003734088374\ldots \approx 0,004\ \lbrack\Omega\rbrack$$

Współczynnik oporu
$\alpha = \frac{a}{b} = \frac{0,0040079}{1,2319} = 0,003253429661\ldots \approx 0,0$,00325[⁻¹]

Niepewność współczynnika oporu

$$\alpha = \left( \frac{a}{a} + \frac{b}{b} \right)*\alpha = \left( \frac{8*10^{- 7}}{0,0040079} + \frac{0,004}{1,2319} \right)*0,003253429661 = 1,121993858*10^{- 5} \approx 1,2*10^{- 5}\lbrack^{- 1}\rbrack$$

Niepewność oporu Pt

R_Pt = ±(0,2%rdg+0,1% podzakresu) = ±(0,2%*0,1104+0,1%*2) = ±(0,0002204+0,002) = ±0, 0022204 ≈ ±0, 0023 [kΩ]

R_Pt = ±(0,2%rdg+0,1% podzakresu) = ±(0,2%*0,1107+0,1%*2) = ±(0,0002214+0,002) = ±0, 0022214 ≈ ±0, 0023 [kΩ]

R_Pt = ±(0,2%rdg+0,1% podzakresu) = ±(0,2%*0,1127+0,1%*2) = ±(0,0002254+0,002) = ±0, 0022254 ≈ ±0, 0023 [kΩ]

Regresja liniowa R_Pt = f(t), y = ax + b

$a = \left\lbrack n\left( \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}*y_{i}} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}y_{i} \right) \right\rbrack*\frac{1}{n\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2}} = \left( 15*103841,5 - 828,8*1833,3 \right)*\frac{1}{15*52541,44 - 686909,44} = \frac{38,18346}{101212,16} = 0,377261586\ldots \approx 0,37726$ [Ω/°C]

$$b = \left\lbrack \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}y_{i} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}y}_{i} \right) \right\rbrack*\frac{1}{n\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2}} = \left( 52541,44*1833,3 - 828,8*103841,5 \right)*\frac{1}{15*52541,44 - 686909,44} = \frac{10260,38675}{101212,16} = 101,375039\ldots \approx 101,375\ \lbrack\Omega\rbrack$$

$$a = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - ax_{i} - b \right)^{2}}{n - 2}}*\sqrt{\frac{n}{n\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2}}} = \sqrt{\frac{0,065533817}{13}}*\sqrt{\frac{15}{15*52541,44 - 686909,44}} = 0,071000442*0,000148203536 = 1,052251656\ldots*10^{- 5} \approx 1,1*10^{- 5}\ \lbrack\frac{\Omega}{C}\rbrack$$

$$b = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - ax_{i} - b \right)^{2}}{n - 2}}*\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}}{n\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2}}} = \sqrt{\frac{0,065533817}{13}}*\sqrt{\frac{52541,44}{15*52541,44 - 686909,44}} = 0,071000442*0,720501084 = 0,051155896 \approx 0,052\ \lbrack\Omega\rbrack$$

Współczynnik oporu

$$\alpha = \frac{a}{b} = \frac{0,37726}{101,375} = 0,003721430333\ldots \approx 0,003721\lbrack^{- 1}\rbrack$$

Niepewność współczynnika oporu

$$\alpha = \left( \frac{a}{a} + \frac{b}{b} \right)*\alpha = \left( \frac{1,1*10^{- 5}}{0,37726} + \frac{0,052}{101,375} \right)*0,003721430333 = 2,017404462\ldots*10^{- 6} \approx 2,1*10^{- 6}\ \lbrack^{- 1}\rbrack$$

Wartość 1000/T

$$\frac{1000}{T} = \frac{1000}{296,95} = 3,367570298\ldots \approx 3,37\ \lbrack K^{- 1}\rbrack$$

$$\frac{1000}{T} = \frac{1000}{298,15} = 3,354016435\ldots \approx 3,35\ \lbrack K^{- 1}\rbrack$$

$$\frac{1000}{T} = \frac{1000}{303,15} = 3,298697015\ldots \approx 3,30\ \lbrack K^{- 1}\rbrack$$

Niepewność wartości 1000/T

$$\frac{1000}{T} = \frac{1000}{T^{2}}T = \frac{1000}{{296,95}^{2}}*1,8 = 0,020412953\ldots \approx 0,021\ \lbrack K^{- 1}\rbrack$$

$$\frac{1000}{T} = \frac{1000}{T^{2}}T = \frac{1000}{{298,15}^{2}}*2 = 0,022498852\ldots \approx 0,023\ \lbrack K^{- 1}\rbrack$$

$$\frac{1000}{T} = \frac{1000}{T^{2}}T = \frac{1000}{{303,15}^{2}}*2 = 0,021762803\ldots \approx 0,022\ \lbrack K^{- 1}\rbrack$$

Niepewność oporu półprzewodnika

R_s = ±(0,2% rdg+0,1% podsakresu) = ±(0,2%*0,820+0,1%*2) = ±(0,00164+0,002) = ±0, 00364 ≈ ±0, 004 [kΩ]

R_s = ±(0,2% rdg+0,1% podsakresu) = ±(0,2%*0,794+0,1%*2) = ±(0,001588+0,002) = ±0, 003588 ≈ ±0, 0036[kΩ]

R_s = ±(0,2% rdg+0,1% podsakresu) = ±(0,2%*0,657+0,1%*2) = ±(0,001314+0,002) = ±0, 003314 ≈ ±0, 0034 [kΩ]

Niepewność lnR_s

$$\operatorname{ln}R_{s} = \frac{R_{s}}{R_{s}}*\ln R_{s} = \frac{4}{820}*6,70930434 = 0,032728313\ldots \approx 0,033$$

$$\operatorname{ln}R_{s} = \frac{R_{s}}{R_{s}}*\ln R_{s} = \frac{3,6}{794}*6,677083461 = 0,03027393\ldots \approx 0,031$$

$$\operatorname{ln}R_{s} = \frac{R_{s}}{R_{s}}*\ln R_{s} = \frac{3,4}{657}*6,487684018 = 0,033574011\ldots \approx 0,034$$

Regresja liniowa lnR_s = f(1000/T), y = ax + b

$$A = \left\lbrack n\left( \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}*y_{i}} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}y_{i} \right) \right\rbrack*\frac{1}{n\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2}} = 15*\left( - 58,2642 \right) - 45,87*\left( - 19,7711 \right)*\frac{1}{15*140,8661 - {45,87}^{2}} = \frac{32,937357}{8,9346} = 3,686494863\ldots \approx 3,69\ \lbrack K\rbrack$$

$$A = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - Ax_{i} \right)^{2}}{n - 2}}*\sqrt{\frac{n}{n\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2}}} = \sqrt{\frac{7134,345241}{13}}*\sqrt{\frac{15}{15*140,8661 - {45,87}^{2}}} = 2,548982502*0,1295710782 = 0,330274411\ldots \approx 0,34\ \lbrack K\rbrack$$

Szerokość przerwy energetycznej E_g

k = 1,3806*10^-23 [J/K]

E_g = 2 * 10³ * k * A = 2 * 10³ * 1, 3806 * 10⁻²³ * 3, 69 = 1, 0188828 * 10⁻¹⁹ ≈ 1, 02 * 10⁻¹⁹ [J]

$$E_{g} = \frac{1,02*10^{- 19}}{1,6*10^{- 19}} = 0,6375\ \lbrack eV\rbrack$$

Niepewność szerokości energetycznej ∆E_g

E_g = 2 * 10³ * k * A = 2 * 10³ * 1, 3806 * 10⁻²³ * 0, 34 = 9, 38808 * 10⁻²¹ ≈ 1 * 10⁻²⁰ [J]

$$E_{g} = \frac{1*10^{- 20}}{1,6*10^{- 19}} = 0,0625\ \lbrack eV\rbrack$$

1. Wnioski

Zakładając poprawność pomiarów i powyższych obliczeń mogę stwierdzić, że zależności R_Cu = f(t), R_Pt = f(t) oraz lnR_s = f(1000/T) mają charakter liniowy. Temperaturowy współczynnik oporu dla miedzi wynosi 0,00325 [°C^-1] a dla platyny 0,003721 [°C^-1]. Szerokość przerwy energetycznej w badanym półprzewodniku wynosi 1,02*10^-19 [J].