MECHANIKA

Zajęcia nr 3

Siły zbieżne:

jest to układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie. Takie układy mogą być płaskie lub przestrzenne.

Płaski układ sił zbieżnych $\overrightarrow{P_{1}},\overrightarrow{P_{2}},\ldots,\overrightarrow{P_{n}}$ przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową $\overrightarrow{P}\ $równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w punkcie O.

$$\overrightarrow{P} = \overrightarrow{P_{1}} + \overrightarrow{P_{2}} + \ldots + \overrightarrow{P_{n}} = \sum_{i = 0}^{n}\overrightarrow{P_{i}}$$

$$\overrightarrow{P} = \lbrack P_{x}{,P}_{y}\rbrack$$

Składowe wypadkowej P_x i P_y mają postać

$$P_{x} = \sum_{i = 0}^{n}P_{x_{i}} = \sum_{i = 0}^{n}P_{i}\cos\alpha_{i}$$

$$P_{y} = \sum_{i = 0}^{n}P_{y_{i}} = \sum_{i = 0}^{n}P_{i}\sin\alpha_{i}$$

Wartość liczbową wypadkowej P i kąt α, który tworzy ona z osią Ox, wyznaczamy ze wzorów

$$P = \sqrt{{P_{x}}^{2} + {P_{y}}^{2}}$$

$$\text{tgα} = \frac{P_{y}}{P_{x}}$$

Przestrzenny układ sił zbieżnych $\overrightarrow{P_{1}},\overrightarrow{P_{2}},\ldots,\overrightarrow{P_{n}}$ przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową $\overrightarrow{P}\ $równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w punkcie O.

$$\overrightarrow{P} = \overrightarrow{P_{1}} + \overrightarrow{P_{2}} + \ldots + \overrightarrow{P_{n}} = \sum_{i = 0}^{n}\overrightarrow{P_{i}}$$

Analityczny sposób wyznaczenia wypadkowej przestrzennego układu sił zbieżnych polega na wyznaczeniu składowych wypadkowej P_x ,P_y i P_z  w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz.

$$P_{x} = \sum_{i = 0}^{n}P_{x_{i}} = \sum_{i = 0}^{n}P_{i}\cos\alpha_{i}$$

$$P_{y} = \sum_{i = 0}^{n}P_{y_{i}} = \sum_{i = 0}^{n}P_{i}\cos\beta_{i}$$

$$P_{z} = \sum_{i = 0}^{n}P_{z_{i}} = \sum_{i = 0}^{n}P_{i}\cos\gamma_{i}$$

Wartość liczbową wypadkowej P oraz jej cosinusy kierunkowe wyznaczamy ze wzorów:

$$P = \sqrt{{P_{x}}^{2} + {P_{y}}^{2} + {P_{z}}^{2}}$$

$$\cos\alpha = \frac{P_{x}}{P},\ cos\beta = \frac{P_{y}}{P},\ cos\gamma = \frac{P_{z}}{P}$$

1. Dane są 4 siły zbieżne w przestrzeni:

$$\overrightarrow{P_{1}} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} + 7\overrightarrow{k}$$

$$\overrightarrow{P_{2}} = 2\overrightarrow{i} - 10\overrightarrow{j} - 4\overrightarrow{k}$$

$$\overrightarrow{P_{3}} = 3\overrightarrow{i} - 8\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$$

$$\overrightarrow{P_{4}} = - 4\overrightarrow{j} - 9\overrightarrow{k}$$

Wyznacz wypadkową oraz kąty jakie tworzy z osiami układów współrzędnych?

1. Dane są trzy wektory siły:

$$\overrightarrow{P_{1}} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$$

$$\overrightarrow{P_{2}} = 2\overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j}$$

$$\overrightarrow{P_{3}} = - 7\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j}$$

przecinające sie w punkcie A=(1,2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α nachylenia linii działania względem osi 0X.

1. Od środka tarczy kołowej działa układ 6 sił. Wartości sil wynoszą:

P₁ = 44,

P₂ = 4,

$$\overrightarrow{P_{3}} = 12,$$

$\overrightarrow{P_{4}} = 20$,

$\overrightarrow{P_{5}} = 28$,

$\overrightarrow{P_{6}} = 36$.

Kąty odzwierciedlające kierunki działania tych sił wynoszą odpowiednio:

α₁=30° ,

α₂=90° ,

α₃=150°,

α₄=210°,

α₅=270°,

α₆=330°,

Wyznaczyć kierunek wartości i zwrot wypadkowej.

1. Wzdłuż boków i głównej przekątnej sześciany działają siły:

P₁ = P₂ = P′,

$\overrightarrow{P_{3}} = \sqrt{3}P'$.

Wyznaczyć ich wypadkową.

1. Silę P działającą wzdłuż przekątnej podstawy rozłożyć na trzy składowe działające wzdłuż

boków sześcianu i głównej przekątnej.

1. Rozłożyć daną siłę $\overrightarrow{P}$ na składowe ${\overrightarrow{P}}_{1}\text{i\ }{\overrightarrow{P}}_{2}$działające wzdłuż prostych l₁i l₂. Kierunki tych sił

określone są kątami α_, α_1, α₂

1. Siłę $\overrightarrow{P}$ działającą wzdłuż prostych rozłożyć na składowe ${\overrightarrow{P}}_{1}\text{i\ }{\overrightarrow{P}}_{2}$ działające wzdłuż prostych

l₁i l₂ tak jak na rysunku. Kierunki (działania) sił składowych są określone przez kąty α_1, α₂

α₁=60° i α₂=45°, P=200N.