Martyna Bieńkowska

Milena Golanowska

GiSzN gr 2

Zespół 3

Sprawozdanie nr 72

Temat:Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia

1. Opis teoretyczny zadania

Logarytmiczny dekrement tłumienia jest to logarytm naturalny dwóch kolejnych wartości amplitudy, z których druga następuje po pierwszej w odstępie czasu równym okresowiT. Pojęcie dekrementu jest stosowane do określenia szybkości zanikania dowolnych wielkości okresowo zmiennych,a więc również w drganiach elektromagnetycznych. Logarytmiczny dekrement tłumienia przyjęło się oznaczać w następujący sposób: Λ.

Logarytmiczny dekrement tłumienia jest miarą tłumienia, który oblicza się ze stosunku amplitud kolejnych przemieszczeń. Na podstawie tego można stwierdzić, że logarytmiczny dekrement tłumienia to logarytm naturalny ze stosunku dwóch amplitud oddalonych od siebie o okres T. Jest on wprost proporcjonalny do współczynnika tłumienia.

1. Wyprowadzenie wzorów roboczych

Ogólny wzór na wyznaczenie logarytmicznego dekrementu tłumienia ma postać:

$$\Lambda = \ln\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}$$

W odniesieniu do drgań tłumionych, a w szczególności dla czynnika:

A = A_oe^−δt

(z tego wzoru wynika, że amplituda A ruchu tłumionego maleje z upływem czasu w sposób wykładniczy do zera, tym szybciej, im większa jest wartość δ),

który określa amplitudę ruchu, można zapisać:

$$\Lambda = \ln\frac{A_{o}e^{- \delta t}}{A_{o}e^{- \delta(t + T)}}$$

oraz

$$\Lambda = \ln\frac{A_{n}e^{- \delta t}}{A_{n}e^{- \delta(t + T)}}\backslash n$$

Po przekształceniu otrzymujemy kolejno:

Λ = lne^{−δt + δt + δT}

Λ = lne^δT lub e^Λ = e^δT

Λ = δT, stąd $\delta = \frac{\Lambda}{T}$

Korzystając z tego związku amplituda drgań tłumionych wynosi$A = A_{o}e^{- \frac{\Lambda}{T}t}$.

Jak wynika ze wzoru $A = A_{o}e^{- \frac{\Lambda}{T}t}$, amplituda A maleje tym szybciej, im większy jest logarytmiczny dekrement tłumienia, oraz im mniejszy jest okres drgań T. Możliwe jest też obliczanie wartości amplitudy po n drganiach, których łączny czas trwania t wynosi:

t=nT,

zatem:

A_n = A_oe^{−nΛ},

a więc:

$$\frac{A_{n}}{A_{n + 1}} = e^{\text{δT}}$$

Logarytm tego ilorazu, czyli dekrementu jest równy

Λ = δT

O ile dekrement tłumienia δ, zwany też wykładnikiem tłumienia określa zmniejszenie się amplitudy w czasie jednej sekundy, o tyle logarytmiczny dekrement tłumienia określa zmniejszenie się amplitudy w czasie jednego okresu T.

Jeżeli dwie kolejne amplitudy A₁ i A₂można zmierzyć bezpoÅ›rednio, to na podstawie definicji można obliczyć logarytmiczny dekrement tÅ‚umienia:

$$\Lambda = \ln\frac{A_{1}}{A_{2}}$$

Jeżeli ponadto potrafimy zmierzyć okres drgań, to ze wzoru $\delta = \frac{\Lambda}{T}$ możemy obliczyć stałą tłumienia δ, a ze związku $\frac{b}{m} = 2\delta$ – współczynnik oporu b.

m – masa ciała [kg]

A – amplituda drgań [m]

t – czas [s]

T – okres drgań [Hz]

b – współczynnik oporu

e - podstawa logarytmu naturalnego

δ - dekrement tłumienia

Λ - logarytmiczny dekrement tłumienia

1. Wyprowadzenie wzoru na niepewność standardową

$$\mu\left( \Lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n}} \right)^{2}*\mu\left( A_{n} \right)^{2} + \left( \frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n + 1}} \right)^{2}*\mu{(A_{n + 1})}^{2}}$$

$$\frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n}} = \frac{1}{A_{n + 1}}*\frac{A_{n + 1}}{A_{n}} = \frac{1}{A_{n}}$$

$$\frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n + 1}} = - \frac{A_{n}}{{{(A}_{n + 1})}^{2}}*\frac{A_{n + 1}}{A_{n}} = - \frac{1}{A_{n + 1}}$$

$$\mu\left( \Lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{A_{n}} \right)^{2}*\left( \frac{\Delta A_{n}}{\sqrt{3}} \right)^{2} + \left( - \frac{1}{A_{n + 1}} \right)^{2}*\left( \frac{\Delta A_{n + 1}}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$$

$$\delta = \frac{\Lambda}{T} = \frac{n\Lambda}{t_{n}}$$

$$\mu^{2}\left( \delta \right) = \left( \frac{\text{σδ}}{\sigma\Lambda} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \Lambda \right) + \left( \frac{\text{σδ}}{\sigma t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( t_{n} \right)$$

$$\mu\left( \delta \right) = \sqrt{\left( \frac{n}{t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \Lambda \right) + \left( - \frac{\Lambda*n}{{t_{n}}^{2}} \right)^{2}*\left( \frac{\Delta t_{n}}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$$

b = 2δm

$$\mu^{2}\left( b \right) = \left( \frac{\text{σb}}{\text{σδ}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \delta \right)$$

$$\mu\left( b \right) = \sqrt{4m^{2}*\mu^{2}(\delta)}$$

$$T = \frac{t_{n}}{n}$$

$$\mu\left( T \right) = \sqrt{\left( \frac{\text{σT}}{\sigma t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}(t_{n})}$$

$$\mu\left( T \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{n} \right)^{2}*\mu^{2}(t_{n})}$$

1. Tabelki do wykonania ćwiczenia

Nr pomiaru	tn[s]	n	T [s]	Tsr[s]
I pomiar
II pomiar
III pomiar
	tn sr=

Nr pomiaru	A0[m]	A1[m]	A2[m]	A3[m]	A4[m]	A5[m]	A6[m]	A7[m]	A8[m]	A9[m]
I pomiar
II pomiar
III pomiar
Średnie wartości amplitud

Λ1	Λ2	Λ3	Λ4	Λ5	Λ6	Λ7	Λ8	Λ9	Λ ze wzoru	Λ z wykresu	$$\text{δ\ }\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$	$$\text{b\ }\left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack$$