Nr ćw. 203 |
Data 21.05.2014 |
GARCZYŃSKI OSKAR GAJEWSKI KAMIL |
Wydział FIZYKI TECHNICZNEJ |
Semestr II | Grupa 2 |
| Prowadzący: | Przygotowanie | Wykonanie | Ocena |
Temat: Wyznaczanie pojemności kondensatora za pomocą drgań relaksacyjnych.
1.Podstawy teoretyczne
Kondensatorem nazywamy układ dwóch okładek metalowych dowolnego kształtu rozdzielonych dielektrykiem. W stanie naładowania na każdej z okładek znajduje się ładunek elektryczny Q o przeciwnym znaku, a między okładkami napięcie U. Pojemność kondensatora to stosunek ładunku do napięcia:
.
Pojemność kondensatora zależy od jego kształtu, rozmiarów, wzajemnej odległości okładek, a także od rodzaju zastosowanego dielektryka.
Pojemność C ładuje się poprzez dołączenie SEM do obwodu zawierającego szeregowo połączone opór R i pojemność C, natomiast rozładowanie przez odłączenie SEM od obwodu.
W dowolnym momencie procesu ładowania na okładkach znajduje się ładunek q, a w obwodzie płynie prąd i. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa spadki napięć na kondensatorze i oporniku są kompensowane przez SEM źródła:
Po zróżniczkowaniu tego równania i uwzględnieniu związku i=dq/dt otrzymamy:
Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Po obustronnym scałkowaniu otrzymujemy rozwiązanie:
gdzie i0 jest stałą całkowania określoną przez warunki początkowe.
W dowolnej chwili napięcie na kondensatorze wynosi Uc=-Ri i zmienia się w czasie zgodnie z równaniem:
Po dostatecznie długim czasie kondensator zostaje naładowany całkowicie. Praktycznie dla t,
Uc0 kondensator uważa się za naładowany, gdy t=5RC.
Podczas rozładowania prąd i napięcie rozładowywania wynoszą odpowiednio:
Wielkość RC występującą w powyższych równaniach nazywa się stałą obwodu. Określa ona prędkość ładowania i rozładowywania obwodu.
Jeśli w obwodzie RC dołączymy równolegle do kondensatora neonówkę wówczas występują w obwodzie niesymetryczne wzrosty i spadki napięć na kondensatorze nazywane drganami relaksacyjnymi.
Drgania relaksacyjne polegają na tym, że napięcie na kondensatorze, ładowanym ze źródła, rośnie napięcie aż do pewnej wartości Uz (napięcia zapłonu), kiedy to zapala się neonówka. Neonówka posiada mały opór, więc kondensator szybko się rozładowuje, aż napięcie osiągnie wartość napięcia gasnięcia Ug (neonówka gaśnie). Znów następuje ładowanie kondensatora, jego rozładowanie i tak dalej. Ponieważ opór jarzącej się neonówki jest bardzo mały to czas rozładowania stanowi mały ułamek całego okresu i możemy przyjąć, że okres drgań relaksacyjnych jest rówy czasowi ładowania kondensatora od napięcia Ug do Uz
W pierwszym cyklu ładowania napięcie U0 zostanie osiągnięte po czasie t0, zatem
gdzie: U0 jest napięciem źródła.
Analogiczne równanie dla chwili t0+T:
znajdujemy wzór na okres:
Ostatecznie zastępując logarytm naturalny z powyższego równania (stały dla danej neonówki i danego napięcia) przez K otrzymujemy:
.
Zatem okres drgań relaksacyjnych jest wprost proporcjonalny do pojemności i oporu.
2. Wyniki i obliczenia (t=10T)
K =$\ \frac{T}{\text{RC}}$
ΔK= |$\frac{\mathbf{\text{Δt}}}{10RC}$| + |$\frac{\mathbf{t*\ \Delta C}}{10RC*C}$|
ΔC= |$\frac{\mathbf{\text{Δt}}}{10RK}$| + |$\frac{\mathbf{t*\ \Delta K}}{10RK*K}$|
1 [MΩ]
| C [µF] | t[s] | K | Δ K |
|---|---|---|---|
| 1,10 | 7,72 | 0,70 | 0,0072 |
| 1,00 | 7,30 | 0,73 | 0,0083 |
| 0,90 | 6,75 | 0,75 | 0,0094 |
| 0,80 | 5,81 | 0,73 | 0,0103 |
| Wartość średnia C= 0,95 | |||
| Wartość średnia K = 0,7275 ±0,0088 |
2 [MΩ]
| C [µF] | t[s] | K | Δ K |
|---|---|---|---|
| 1,10 | 14,37 | 0,65 | 0,0063 |
| 1,00 | 13,63 | 0,68 | 0,0073 |
| 0,9 | 12,19 | 0,68 | 0,0080 |
| 0,8 | 11,15 | 0,70 | 0,0093 |
| 0,7 | 9,51 | 0,68 | 0,0104 |
| 0,6 | 7,89 | 0,66 | 0,0117 |
| Wartość średnia C= 0,95 (pod uwagę bierzemy pierwsze 4 pomiary pojemności) | |||
| Wartość średnia K = 0,675 ± 0,009 |
3 [MΩ]
| C [µF] | t[s] | K | Δ K |
|---|---|---|---|
| 0,6 | 12,25 | 0,68 | 0,0113 |
| 0,5 | 10,73 | 0,72 | 0,0149 |
| 0,4 | 8,34 | 0,70 | 0,0182 |
| 0,3 | 6,81 | 0,76 | 0,0252 |
| Wartość średnia C= 0,45 | |||
| Wartość średnia K = 0,715 ± 0,017 |
4 [MΩ]
| C [µF] | t[s] | K | Δ K |
|---|---|---|---|
| 0,6 | 16 | 0,67 | 0,0115 |
| 0,5 | 13,94 | 0,70 | 0,0144 |
| 0,4 | 11,49 | 0,72 | 0,0185 |
| 0,3 | 8,24 | 0,69 | 0,0237 |
| Wartość średnia C= 0,45 | |||
| Wartość średnia K = 0,695 ± 0,017 |
5 [MΩ]
| C [µF] | t[s] | K | Δ K |
|---|---|---|---|
| 0,6 | 20,01 | 0,67 | 0,0092 |
| 0,5 | 17,11 | 0,68 | 0,0115 |
| 0,4 | 15,01 | 0,75 | 0,0148 |
| 0,3 | 10,73 | 0,72 | 0,0189 |
| Wartość średnia C= 0,45 | |||
| Wartość średnia K = 0,705 ± 0,014 |
OBLICZANIE POJEMNOŚCI NIEZNANYCH KONDENSATORÓW
C =$\ \frac{T}{\text{RK}} = \frac{t}{10RK}$
R=1 [MΩ]
| Kondensator nr | t[s] | C [µF] | Δ C |
|---|---|---|---|
| 1 | 15,03 | 2,15 | 0,02 |
| 2 | 9,71 | 1,33 | 0,02 |
| 3 | 6,285 | 0,84 | 0,01 |
| 4 | 5,55 | 0,76 | 0,01 |
| Średnia pojemność= 1,27 ± 0,02 |
R=2 [MΩ]
| Kondensator nr | t[s] | C [µF] | Δ C |
|---|---|---|---|
| 1 | 31,13 | 2,39 | 0,02 |
| 2 | 18,90 | 1,39 | 0,02 |
| 3 | 12,95 | 0,95 | 0,01 |
| 4 | 9,41 | 0,67 | 0,01 |
| Średnia pojemność= 1,35 ± 0,02 |
R=3 [MΩ]
| Kondensator nr | t[s] | C [µF] | Δ C |
|---|---|---|---|
| 1 | 43,82 | 2,15 | 0,0363 |
| 2 | 25,11 | 1,16 | 0,0247 |
| 3 | 20,95 | 1,00 | 0,0264 |
| 4 | 13,62 | 0,60 | 0,0198 |
| Średnia pojemność= 1,2275 ± 0,0268 |
R=4 [MΩ]
| Kondensator nr | t[s] | C [µF] | Δ C |
|---|---|---|---|
| 1 | 50,32 | 1,88 | 0,033 |
| 2 | 34,88 | 1,25 | 0,026 |
| 3 | 25,98 | 0,90 | 0,024 |
| 4 | 18,41 | 0,67 | 0,023 |
| Średnia pojemność= 1,185 ± 0,027 |
R=5 [MΩ]
| Kondensator nr | t [s] | C [µF] | Δ C |
|---|---|---|---|
| 1 | 64,62 | 1,93 | 0,0268 |
| 2 | 43,68 | 1,28 | 0,0221 |
| 3 | 31,99 | 0,85 | 0,0172 |
| 4 | 22,65 | 0,63 | 0,0221 |
| Średnia pojemność= 1,1725 ± 0,0221 |
Odchylenie standardowe średniej dla K
a) 1 [MΩ]
sqrt(1/(4-1)•((0.7-0.7275)²+(0.73-0.7275)²+(0.75-0.7275)²+(0.73-0.7275)²))
= sqrt(1/3•((0.00076)+(0.00001)+(0.00051)+(0.00001))
= sqrt(0.00043) ≈ 0.02062
0.02062/2= 0,01031
b) 2 [MΩ]
sqrt(1/(6-1)•((0.65-0.675)²+(0.68-0.675)²+(0.68-0.675)²+(0.7-0.675)²+(0.68-0.675)²+(0.66-0.675)²))
= sqrt(1/5•((0.00063)+(0.00003)+(0.00003)+(0.00062)+(0.00003)+(0.00023))
= sqrt(0.00031) ≈ 0.01761
0.01761/2,45=0,00719
c) 3[MΩ]
sqrt(1/(4-1)•((0.68-0.715)²+(0.72-0.715)²+(0.7-0.715)²+(0.76-0.715)²))
= sqrt(1/3•((0.00122)+(0.00003)+(0.00023)+(0.00203))
= sqrt(0.00117) ≈ 0.03416
0.03416/2= 0,01708
d) 4 [MΩ]
sqrt(1/(4-1)•((0.67-0.695)²+(0.7-0.695)²+(0.72-0.695)²+(0.69-0.695)²))
= sqrt(1/3•((0.00062)+(0.00003)+(0.00063)+(0.00003))
= sqrt(0.00043) ≈ 0.02082
0.02082/2=0,01041
e) 5 [MΩ]
sqrt(1/(4-1)•((0.67-0.705)²+(0.68-0.705)²+(0.75-0.705)²+(0.72-0.705)²))
= sqrt(1/3•((0.00122)+(0.00062)+(0.00203)+(0.00023))
= sqrt(0.00137) ≈ 0.03697
0.03697/2= 0,018485
PORÓWNANIE WYNIKÓW
| R [MΩ] | POJEMNOŚĆ WZORCOWA | POJEMNOŚĆ OBLICZONA |
|---|---|---|
| 1 | 0,95 | 1,27 |
| 2 | 0,95 | 1,35 |
| 3 | 0,45 | 1,23 |
| 4 | 0,45 | 1,185 |
| 5 | 0,45 | 1,17 |
3.Dyskusja błędów
Δt=0,01 s
ΔC=0,01 uF
4.Wnioski
1. Otrzymane wyniki roznia się od wzorcowych. Różnica ta może być spowodowania tym,że czas mierzony był stoperem przez człowieka co powoduje występowanie wielu błędów przypadkowych i wynika to m.in z refleksu obserwatora.