2. Drgania podłużne pręta .

   1. Wyprowadzenie równania podstawowego dla drgań podłużnych pręta.

Drgania podłużne -ruchy polegające na przemieszczaniu się przekrojów pręta wzdłuż jego osi.

Rozpatrzmy pręt przy następujących założeniach:

• przekrój pręta na całej jego długości jest stały,

• materiał, z którego jest zbudowany, jest liniowo -sprężysty a zatem obowiązuje prawo Hooke'a,

• podczas odkształcenia płaszczyzny przekrojów pozostają płaskie,

• układ jest idealny tzn. brak jakiegokolwiek tłumienia ruchu,

• drgania są harmoniczne (periodyczne, czyli powtarzające się w regularnych odstępach czasu) .

Rozpatrzmy równowagę wyciętego elementu pręta o długości dx, przekroju A, gęstości ρ.

Rysunek 1. Element dx pręta.

Wszystkie działające na wyodrębniony element siły są funkcjami położenia i czasu.

n(x, t) -siła wymuszająca (w przypadku drgań własnych jest równa zero),

r(x, t) -siła bezwładności (oporu ruchu) wynosi:

$r\left( x,t \right) = - dm\frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial t^{2}}$ , (.1)

Masę dm naszego wycinka wyznaczymy jako iloczyn jego objętości i gęstości:

dm = A • ρ • dx, (.2)

N(x, t) –siła działająca w przekroju o współrzędnej x,

N(x,t) + dN(x,t) –siła działająca w przekroju x+dx.

Zapisując równanie równowagi $\ \sum_{}^{}X = 0$ naszego wycinka otrzymamy:

$- N\left( x,t \right) + N\left( x,t \right) + \frac{\partial N(x,t)}{\partial x}dx - dm\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}} = 0$

$\frac{\partial N(x,t)}{\partial x}dx - dm\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}} = 0$ (.3)

Siła wzdłużna w pręcie ze względu na jego sprężystość może być określona w zależności od odkształcenia ε, które z kolei zależne jest od przemieszczenia.

N(x,t) = σ • A = ε • E • A (.4)

$\varepsilon = \frac{\text{du}}{\text{dx}} = \frac{u\left( x,t \right) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}dx - u(x,t)}{\text{dx}} = \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$ (.5)

$N\left( x,t \right) = EA\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$ (.6)

Podstawmy do równania:

$\text{EA}\frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial x^{2}}dx - A\rho \bullet dx\frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial t^{2}} = 0$

Podstawiając za $\frac{E}{\rho} = c^{2}\ $otrzymujemy równanie drgań własnych podłużnych pręta[5]:

$c^{2}\frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial t^{2}} = 0$ (.7)

Wyprowadzenie równania podstawowego dla drgań skrętnych pręta.

Rozpatrzmy pręt przy założeniach jak w punkcie 2.1. Obciążenia jak i siły wewnętrzne będą w postaci momentów działających w płaszczyznach prostopadłych do osi pręta.

Rysunek 2. Siły działające na wycinek dx przy skręcaniu.

M(x, t) -moment skręcający działający w przekroju x,

M(x, t)+dM(x, t) -moment skręcający działający w przekroju x+dx,

m(x, t) -siła wymuszająca (w przypadku drgań własnych jest równa 0),

r(x, t) -siła bezwładności, w tym wypadku wynosi:

$r\left( x,\ t \right) = - \mu J_{0}\frac{\partial^{2}\varphi(x,t)}{\partial t^{2}}$, (.8)

J₀ -biegunowy moment bezwładności względem środka ciężkości przekroju, wynosi:

J₀ = J_x + J_y,

$\frac{\partial^{2}\varphi(x,t)}{\partial t^{2}}$ -przyspieszenie kątowe,

φ(x, t)-kąt skręcania w płaszczyźnie przekroju,

μ-gęstość masy rozpatrywanego elementu na powierzchni jego przekroju poprzecznego:

$\mu = \frac{\text{dm}}{A} = \frac{dV \bullet \rho}{A} = \frac{A \bullet dx \bullet \rho}{A} = dx \bullet \rho$

Z sumy momentów względem środka ciężkości 0 możemy zapisać:

$\sum_{}^{}{M_{0} = 0}$

$- M\left( x,t \right) + M\left( x,t \right) + \frac{\partial M(x,t)}{\partial x}dx + m\left( x,t \right)dx + r\left( x,t \right) = 0$

Podstawiając wyrażenie na siłę bezwładności oraz przyjmując, że m(x, t)=0 mamy:

$\frac{\partial M(x,t)}{\partial x}dx - \rho dxJ_{0}\frac{\partial^{2}\varphi(x,t)}{\partial t^{2}} = 0$

$\frac{\partial M(x,t)}{\partial x} - \rho J_{0}\frac{\partial^{2}\varphi(x,t)}{\partial t^{2}} = 0$ (.9)

Na podstawie definicji momentu skręcającego, przy zadanych założeniach, możemy zapisać:

M(x,t) = GJ_sγ

$\gamma = \frac{\partial\varphi(x,t)}{\partial x}$ –kąt odkształcenia postaciowego,

J_s –moment bezwładności na skręcanie zależny od geometrii przekroju (dla przekroju kołowego J_s = J₀),

$G = \frac{E}{2(1 + v)}$ –moduł Kirchoffa (odkształcenia postaciowego).

Po uwzględnieniu powyższej zależności otrzymujemy:

$GJ_{s}\frac{\partial^{2}\varphi(x,t)}{\partial x^{2}} - \rho J_{0}\frac{\partial^{2}\varphi(x,t)}{\partial t^{2}} = 0$ (.10)

W ten sposób otrzymaliśmy równanie ruchu drgań skrętnych pręta. Należy zauważyć, że jeżeli mamy do czynienia z prętem o przekroju kołowym lub pierścieniowym (J_s=J₀), to równanie ruchu drgań własnych przyjmie postać analogiczną jak dla drgań podłużnych:

$c^{2}\frac{\partial^{2}\varphi(x,t)}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}\varphi(x,t)}{\partial t^{2}} = 0\ $ (.11)

Przy czym zmienia się interpretacja stałej c:

$c^{2} = \frac{G}{\rho}$ (.12)

Rozwiązanie równania podstawowego.

Jak wynika z poprzednich rozważań równanie ruchu w przypadku drgań podłużnych i drgań skrętnych ma identyczną postać. Oznacza to że i rozwiązania w obydwu przypadkach będą takie same. Równanie (2.7) oraz (2.11) jest równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach . Rozwiązania należy poszukiwać w postaci iloczynu dwóch funkcji. Funkcja U(x) będzie zależna tylko od przestrzeni, z kolei funkcja T(t) będzie zależna tylko od czasu [5].

u(x,t) = U(x) • T(t) (.13)

Po wstawieniu do równania (2.7) otrzymamy:

$c^{2}\frac{\partial^{2}U\left( x \right)}{\partial x^{2}} \bullet T\left( x \right) - \frac{\partial^{2}T\left( t \right)}{\partial t^{2}} \bullet U\left( x \right) = 0$,

$c^{2}\frac{U^{''}(x)}{U(x)} - \frac{T^{''}(t)}{T(t)} = 0$. (.14)

Równanie (2.14) będzie spełnione gdy oba wyrażenia będą sobie równe- mówiąc inaczej gdy oba wyrażenia będą stale równe pewnej liczbie, którą oznaczymy przez ω² . Liczba ta jest wartością skalarną.

$c^{2}\frac{U^{''}(x)}{U(x)} = \frac{T^{''}(t)}{T(t)} = - \omega^{2}$ (.15)

Równania (2.15) rozwiązujemy niezależnie.

$c^{2}\frac{U^{''}\left( x \right)}{U\left( x \right)} = - \omega^{2}$

c²U^″(x) + ω²U(x) = 0

$U^{''}\left( x \right) + \frac{\omega^{2}}{c^{2}}U\left( x \right) = 0$

$\frac{\omega^{2}}{c^{2}} = k^{2}$

U^″(x) + k²U(x) = 0 (.16)

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe drugiego rzędu, liniowe jednorodne. Do rozwiązania tego równania jest nam potrzebne tzw. równanie charakterystyczne. Dzięki niemu zbadamy deltę i wyznaczymy całkę ogólną równania (2.16).

r² + k² = 0

=b² − 4ac = 0² − 4 • 1 • k² = −4k²

Δ<0 to rozwiązaniem ogólnym jest: U(x) = (Acosβx + Bsinβx)•e^αx

$$\alpha = \frac{- b}{2a} = \frac{0}{2 \bullet 1} = 0;\ \beta = \frac{\sqrt{-}}{2a} = \frac{\sqrt{4k^{2}}}{2 \bullet 1} = k$$

Rozwiązaniem jest: U(x) = Acoskx + Bsinkx. (.17)

A, B -są to stałe dowolne zależne nie od czasu lecz od położenia . Wyznaczamy je z warunków brzegowych .

Funkcja U(x) jest nazywana funkcją własną(funkcją postaci) gdyż stanowi rozwiązanie problemu brzegowego. Wartości ω, dla których istnieją funkcje własne nazywamy wartościami własnymi . Do rozwiązania U(x) potrzebne są konkretne warunki brzegowe wynikające ze sposobu zamocowania końców pręta. W punkcie 2.3 przedstawiono wybrane przykłady rozwiązania zagadnienia brzegowego.

Rozwiązanie drugiego z równań (2.15) odbywa się analogicznie jak ze zmienną x.

$\frac{T^{''}(t)}{T(t)} = - \omega^{2}$

T^″(t) + ω²T(t) = 0

r² + ω² = 0

=b² − 4ac = 0² − 4 • 1 • ω² = −4ω²

<0 → T(t) = (Ccosβt + Dsinβt)•e^αt

$$\alpha = \frac{- b}{2a} = \frac{0}{2 \bullet 1} = 0;\ \beta = \frac{\sqrt{-}}{2a} = \frac{\sqrt{4\omega^{2}}}{2 \bullet 1} = \omega$$

Rozwiązaniem jest: T(t) = Ccosωt + Dsinωt (.18)

C, D –są to stałe dowolne zależne od czasu. Należy je wyznaczyć z warunków początkowych. Rozwiązanie zagadnienia początkowego przedstawiono w punkcie 2.4.

Ostatecznie rozwiązanie równania podstawowego można przedstawić w postaci iloczynu:

u(x,t) = U(x) • T(t) = (Acoskx + Bsinkx)•(Ccosωt + Dsinωt) (.19)

Rozwiązanie zagadnienia brzegowego [1, 5].

Przykład 1. Drgania własne, podłużne pręta o jednym końcu utwierdzonym a drugim swobodnym.

Rysunek 3. Pręt jednostronnie utwierdzony

Sformułujmy warunki brzegowe.

Na końcu utwierdzonym niemożliwe jest przemieszczenie poziome więc: u(0,t)=0;

Na końcu swobodnym nie ma naprężeń , zatem nie ma też odkształceń:

$$\frac{\partial u(l,t)}{\partial x} = 0$$

Przyjmujemy rozwiązanie ogólne (2.19)

u(x,t) = U(x) • T(t) = (Acoskx + Bsinkx)•(Ccosωt + Dsinωt)

Po podstawieniu warunków brzegowych otrzymamy:

u(0,t) = U(0) • T(t) = 0

$$\frac{\partial u(l,t)}{\partial x} = U^{'}\left( l \right) \bullet T\left( t \right) = 0$$

Funkcja T(t) nie może być równa zero , a zatem otrzymujemy warunki brzegowe dla funkcji U.

U(0) = 0

U^′(l) = 0

Spełnienie warunków brzegowych prowadzi do dwóch równań algebraicznych

$$\left\{ \begin{matrix} U\left( x = 0 \right) = A\cos{\left( k \bullet 0 \right) + B\sin\left( k \bullet 0 \right) = 0} \\ U^{'}\left( x = l \right) = - Ak\sin{\left( k \bullet l \right) + Bk\cos{\left( k \bullet l \right) = 0}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ - Aksinkl + Bkcoskl = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Niebanalne rozwiązanie tego układu jest możliwe gdy jego wyznacznik jest równy zeru det|W| = 0.

$$\left| W \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ - k\sin\text{kl} & k\cos\text{kl} \\ \end{matrix} \right|$$

Rozwiązaniem wyznacznika jest równanie charakterystyczne :

kcoskl = 0

Równanie to pozwoli wyznaczyć wartości własne ω;

$k = \frac{\omega}{c}$

$\frac{\omega}{c}\cos\frac{\omega}{c}l = 0$

Odrzucamy ω=0, stąd wartościami własnymi będą pierwiastki równania charakterystycznego:

$\cos\frac{\omega}{c}l = 0$

Funkcja cos x ma miejsca zerowe dla $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, a zatem:

$\frac{\omega_{n}}{c}l = \frac{\pi}{2}(2n - 1)$

$\omega_{n} = \frac{\pi}{2l} \bullet \sqrt{\frac{E}{\rho}} \bullet \left( 2n - 1 \right)\ \ \ ;\ \ \ \ n \in N$ (.20)

Możemy wnioskować, że belka będzie miała nieograniczoną ilość częstości drgań własnych . Każdej wartości własnej ω_n odpowiada funkcja własna :

$U_{n}\left( x \right) = A_{n}\cos\frac{\omega_{n}}{c}x + B_{n}\sin\frac{\omega_{n}}{c}x$ (.21)

Spełnienie warunków brzegowych przez funkcję własną prowadzi do otrzymania funkcji określających postacie drgań własnych :

$A_{n} = 0\overset{\Rightarrow}{\ }U_{n}\left( x \right) = B_{n}\sin\frac{\omega_{n}}{c}x$ (.22)

Każda z tych funkcji określa postać drgań odpowiadających odpowiedniej częstości własnej ω_n. Trzy pierwsze postacie drgań w omawianym przykładzie zilustrowano poniżej.

Rysunek 4. Postacie drgań własnych dla pręta jednostronnie utwierdzonego

Przykład 2. Drgania własne podłużne pręta o dwóch końcach utwierdzonych.

Rysunek 5. Pręt dwustronnie utwierdzony.

Tok postępowania w tym przykładzie będzie taki sam co w przykładzie 1.

Formułujemy warunki brzegowe:

u(0,t) = 0

u(l,t) = 0

Powyższe warunki brzegowe wstawiamy do rozwiązania ogólnego:

u(0,t) = U(0) • T(t) = 0

u(l,t) = U(l) • T(t) = 0

$$T \neq 0\overset{\Rightarrow}{\ }\ U\left( 0 \right) = 0$$

U(l) = 0

Otrzymujemy układ dwóch równań algebraicznych:

U(x=0) = Acos(k•0) + Bsin(k•0) = 0

U(x=l) = Acoskl + Bsinkl = 0

$$\left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ A\cos\text{kl} + B\sin\text{kl} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Odpowiada mu wyznacznik:

$$\left| W \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ \cos\text{kl} & \sin\text{kl} \\ \end{matrix} \right|$$

Wyznacznik tego układu musi być równy zeru det|W| = 0 ,zatem otrzymujemy równanie charakterystyczne:

sinkl = 0

Funkcja sin x ma miejsca zerowe dla x=nπ, zatem:

$kl = n\pi;\ \ k = \frac{\omega}{c}$

$\omega_{n} = \frac{\text{nπ}}{l}c = \frac{\text{nπ}}{l}\sqrt{\frac{E}{\rho}}\ ;\ \ \ n \in N$ (.23)

Postacie drgań własnych opisuje funkcja :

$U_{n}\left( x \right) = B_{n}\sin\frac{\text{nπ}}{l}x$ (.24)

Trzy pierwsze postacie drgań ilustruje poniższy rysunek.

Rysunek 6. Postacie drgań własnych dla pręta obustronnie utwierdzonego.

Rozwiązanie zagadnienia początkowego [1].

W punkcie 2.2 otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne funkcji T(t) :

T(t) = Ccosωt + Dsinωt

Przyjmując określoną wartość ω=ω_n otrzymujemy rozwiązanie szczególne równania w postaci:

T_n(t) = C_ncosω_nt + D_nsinω_nt (.25)

Z punktu 2.3 (przykład 1) otrzymaliśmy rozwiązanie szczególne zagadnienia brzegowego (funkcji U(x)) : $U_{n}\left( x \right) = B_{n}\sin{\frac{\omega_{n}}{c}x}$

Ostateczne rozwiązanie szczególne równania drgań podłużnych odpowiadające częstości własnej ω_n przyjmie postać:

$u_{n}\left( x,t \right) = T_{n}\left( t \right) \bullet U_{n}\left( x \right) = (C_{n}\cos{\omega_{n}t + D_{n}\sin\omega_{n}t) \bullet B_{n}\sin\frac{\omega_{n}}{c}}x$ (.26)

W powyższym wzorze występuje iloczyn C_nB_n oraz D_nB_n, możemy więc przyjąć

B_n = 1;        n ∈ N

Ostatecznie rozwiązanie ogólne jako suma całek szczególnych ma postać:

$u\left( x,t \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}{u_{n}\left( x,t \right) =}\sum_{n = 1}^{\infty}{(C_{n}}\cos{\omega_{n}t} + D_{n}\sin\omega_{n}t) \bullet \sin\frac{\omega_{n}}{c}x = \sum_{n = 1}^{\infty}{(C_{n}\cos\omega_{n}t +}D_{n}\sin\omega_{n}) \bullet U_{n}\left( x \right)\text{\ \ }$ (.27)

Dla zadanego pręta określmy warunki początkowe, polegające na określeniu funkcji u(x, t) oraz jej pochodnej względem czasu w chwili początkowej t=0.

u(x,0) = u₀(x)

$\frac{\partial u\left( x,0 \right)}{\partial t} = v_{0}\left( x \right)$

Po wstawieniu warunków początkowych do (2.27) otrzymamy:

$u\left( x,0 \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}{(C_{n}\cos\omega_{n}0 + D_{n}}\sin{\omega_{n}0)} \bullet U_{n}\left( x \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}{C_{n}U_{n}\left( x \right)}$

$\frac{\partial u\left( x,0 \right)}{\partial t} = \sum_{n = 1}^{\infty}{( - C_{n}\omega_{n}\sin{\omega_{n}0}} + D_{n}\omega_{n}\cos\omega_{n}0) \bullet U_{n}\left( x \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}D_{n}\omega_{n}U_{n}(x)$

Zatem:

$\sum_{n = 1}^{\infty}C_{n}U_{n}\left( x \right) = u_{0}(x)$ (.28)

$\sum_{n = 1}^{\infty}D_{n}\omega_{n}U_{n}\left( x \right) = v_{0}\left( x \right)$ (.29)

Lewe strony są szeregami względem funkcji własnych; przedstawmy prawe strony również jako szeregi względem funkcji własnych.

$u_{0}\left( x \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{0n}U_{n}\left( x \right)\text{\ \ \ }$ (.30)

$v_{0}\left( x \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}v_{0n}U_{n}\left( x \right)\text{\ \ \ }$ (.31)

Otrzymaliśmy:

$\sum_{n = 1}^{\infty}C_{n}U_{n}\left( x \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{0n}U_{n}\left( x \right)\text{\ \ }$ (.32)

$\sum_{n = 1}^{\infty}D_{n}\omega_{n}U_{n}\left( x \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}v_{0n}U_{n}\left( x \right)$ (.33)

Aby wyznaczyć współczynniki rozwinięcia u_0n ,  v_0n wykorzystamy warunek ortogonalności funkcji własnych. Weźmy pod uwagę dwie funkcje własne U_n(x) i U_m(x). Spełniają one równanie (2.16)

$$U_{n}^{''}\left( x \right) + \frac{\omega_{n}^{2}}{c^{2}}U_{n}\left( x \right) = 0$$

$$U_{m}^{''}\left( x \right) + \frac{\omega_{m}^{2}}{c^{2}}U_{m}\left( x \right) = 0$$

Pomnóżmy pierwsze z równań przez U_m(x) a drugie przez U_n(x) . Otrzymamy:

$$\left\{ \begin{matrix} U_{n}^{''}\left( x \right)U_{m}\left( x \right) + \frac{\omega_{n}^{2}}{c^{2}}U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right) = 0 \\ U_{m}^{''}\left( x \right)U_{n}\left( x \right) + \frac{\omega_{m}^{2}}{c^{2}}U_{m}\left( x \right)U_{n}\left( x \right) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Po scałkowaniu od 0 do l mamy:

$$\left\{ \begin{matrix} \int_{0}^{l}{U_{n}^{''}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)dx + \frac{\omega_{n}^{2}}{c^{2}}}\int_{0}^{l}{U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right) = 0} \\ \int_{0}^{l}{U_{m}^{''}\left( x \right)U_{n}\left( x \right)dx + \frac{\omega_{m}^{2}}{c^{2}}\int_{0}^{l}{U_{m}\left( x \right)U_{n}\left( x \right) = 0}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Odejmując stronami otrzymamy:

$$\left\lbrack \int_{0}^{l}{U_{n}^{''}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)dx - \int_{0}^{l}{U_{m}^{''}{\left( x \right)U}_{n}\left( x \right)\text{dx}}} \right\rbrack + \left\lbrack \frac{\omega_{n}^{2}}{c^{2}}\int_{0}^{l}{U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)dx - \frac{\omega_{m}^{2}}{c^{2}}\int_{0}^{l}{U_{m}\left( x \right)U_{n}\left( x \right)\text{dx}}} \right\rbrack = 0$$

Scałkujmy powyższe równanie przez części:

$$\int_{0}^{l}{\left\lbrack U_{n}^{''}\left( x \right)U_{m}\left( x \right) - U_{m}^{''}\left( x \right)U_{n}(x) \right\rbrack dx + \frac{\omega_{n}^{2} - \omega_{m}^{2}}{c^{2}}}\int_{0}^{l}{U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)dx = 0}\ \ *$$

$$\int_{0}^{l}\begin{matrix} U_{m}\left( x \right)U_{n}^{''}\left( x \right)dx = U_{m}\left( x \right)U_{n}^{'}\left( x \right) - \int_{0}^{l}{U_{m}^{'}\left( x \right)U_{n}^{'}\left( x \right)\text{dx}} \\ \end{matrix}$$

∫₀^lU_n(x)U_m^″(x)dx = U_n(x)U_m^′(x) − ∫₀^lU_n^′(x)U_m^′(x)dx

$${\ *U}_{m}\left( x \right)U_{n}^{'}\left( x \right) - \int_{0}^{l}{U_{m}^{'}\left( x \right)U_{n}^{'}\left( x \right)dx - U_{n}\left( x \right)U_{m}^{'}\left( x \right) + \int_{0}^{l}{U_{n}^{'}\left( x \right)U_{m}^{'}(x)}}dx + \frac{\omega_{n}^{2} - \omega_{m}^{2}}{c^{2}}\int_{0}^{l}{U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)dx = 0}$$

$$\left\lbrack U_{m}\left( x \right)U_{n}^{'}\left( x \right) - U_{n}\left( x \right)U_{m}^{'}(x) \right\rbrack_{0}^{l}{+ \frac{\omega_{n}^{2} - \omega_{m}^{2}}{c^{2}}\int_{0}^{l}{U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)dx = 0}}$$

$$\frac{\omega_{n}^{2} - \omega_{m}^{2}}{c^{2}}\int_{0}^{l}{U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)dx + U_{m}\left( l \right)U_{n}^{'}\left( l \right) - U_{n}\left( l \right)U_{m}^{'}\left( l \right) - U_{m}\left( 0 \right)U_{n}^{'}\left( 0 \right) + U_{n}\left( 0 \right)U_{m}^{'}\left( 0 \right) = 0}$$

Dla jednorodnych warunków brzegowych iloczyny występujące w powyższym wzorze są zawsze równe zero (dla brzegów zamocowanych U_n = U_m = 0, dla brzegów swobodnych U_n^′ = U_m^′ = 0). W związku z tym nasz wzór przyjmie postać:

$$\frac{\omega_{n}^{2} - \omega_{m}^{2}}{c^{2}}\int_{0}^{l}{U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)dx = 0}$$

Jeżeli n ≠ m to ω_n² − ω_m² ≠ 0 , wówczas całka występująca we wzorze musi być równa 0. Możemy więc warunki ortogonalności przedstawić w postaci:

$$\int_{0}^{l}{U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)dx = \left\{ \begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ n \neq m \\ \int_{0}^{l}{U_{m}^{2}\left( x \right)dx = \delta_{m}^{2}\ \ dla\ n = m} \\ \end{matrix} \right.\ }$$

Po pomnożeniu obu stron wzorów (2.30), (2.31) przez U_m(x) oraz scałkowaniu ich obustronnie od 0 do l otrzymamy:

$$\int_{0}^{l}\begin{matrix} u_{0}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)dx = \sum_{n = 1}^{\infty}{u_{0n}\int_{0}^{l}{U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)\text{dx}}} \\ \end{matrix}$$

$$\int_{0}^{l}{v_{0}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)dx = \sum_{n = 1}^{\infty}{v_{0n}\int_{0}^{l}{U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)\text{dx}}}}$$

∫₀^lu₀(x)U_m(x)dx = u_0m∫₀^lU_m²(x)dx

∫₀^lv₀(x)U_m(x)dx = v_0m∫₀^lU_m²(x)dx

Z powyższego wynika, że współczynniki u_0m i v_0m  dane są wzorami:

$$u_{0m} = \frac{\int_{0}^{l}{u_{0}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)\text{dx}}}{\int_{0}^{l}{U_{m}^{2}\left( x \right)\text{dx}}}\ ;\ v_{0m} = \frac{\int_{0}^{l}{v_{0}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)\text{dx}}}{\int_{0}^{l}{U_{m}^{2}\left( x \right)\text{dx}}}$$

Korzystając z wzorów (2.32),(2.33) otrzymujemy wartość szukanych stałych C_n i D_n .

$C_{n} = u_{0n} = \frac{\int_{0}^{l}{u_{0}\left( x \right)U_{n}\left( x \right)\text{dx}}}{\int_{0}^{l}{U_{n}^{2}\left( x \right)\text{dx}}};\ \ n \in N$ (.34)

$D_{n} = \frac{v_{0n}}{\omega_{n}} = \frac{1}{\omega_{n}}\frac{\int_{0}^{l}{v_{0}\left( x \right)U_{n}\left( x \right)\text{dx}}}{\int_{0}^{l}{U_{n}^{2}\left( x \right)\text{dx}}};\ \ \ n \in N$ (.35)

Podstawiając podane stałe do wzoru (2.27) otrzymujemy pełne rozwiązanie problemu.

Drgania swobodne tłumione tarciem wewnętrznym [1].

Przy drganiach układów ciągłych zachodzi tłumienie drgań wywołane między innymi rozproszeniem energii w materiale. Zjawisko to nazwaliśmy tarciem wewnętrznym. Dla zbadania wpływu rozproszenia energii na drgania przyjmiemy, że tłumienie to ma cechy oporu lepkiego.

Przy odkształceniu elementu ciała liniowego sprężysto -lepkiego występuje naprężenie sprężyste:

σ_s = E • ε,

E-moduł sprężystości podłużnej; ε-odkształcenie pręta.

Oprócz naprężenia sprężystego występuje naprężenie wynikające z oporu lepkiego, które jest proporcjonalne do prędkości odkształcenia:

$\sigma_{T} = E^{'}\frac{\partial\varepsilon}{\partial t},$

E’ -współczynnik oporu lepkiego

Naprężnie w dowolnym przekroju jest równe sumie tych dwóch naprężeń:

$\sigma = \sigma_{s} + \sigma_{T} = E\varepsilon + E'\frac{\partial\varepsilon}{\partial t}$ .

Wprowadzając współczynnik określający stosunek oporu lepkiego do modułu sprężystości $\mu = \frac{E'}{E}$ otrzymamy:

$\sigma = E(\varepsilon + \mu\frac{\partial\varepsilon}{\partial t})$ (2.36)

Powyższy wzór określa równanie stanu ciała lepko-sprężystego zgodnie z modelem Voigta-Kelvina. Znając wartość naprężenia określmy siłę podłużną działającą w pręcie (rys. 1).

$N = A \bullet \sigma = AE\left( \varepsilon + \mu\frac{\partial\varepsilon}{\partial t} \right)$ (2.37)

Z punktu 2.1 wiemy że $\varepsilon = \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$ a zatem:

$N = AE(\frac{\partial u}{\partial x} + \mu\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial t})$ (2.38)

Wstawmy powyższą siłę N do równania (2.3) wyprowadzonego w punkcie 2.1:

$\frac{\partial N(x,t)}{\partial x}dx - dm \bullet \frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}} = 0,$

$\frac{\partial}{\partial x}\left\lbrack \text{AE}\left( \frac{\partial u}{\partial x} + \mu\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial t} \right) \right\rbrack - A\rho\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}} = 0,$

$\text{AE}\left\lbrack \frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial x^{2}} + \mu\frac{\partial^{3}u\left( x,t \right)}{\partial x^{2}\partial t} \right\rbrack - A\rho\frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial t^{2}} = 0.$

Po podstawieniu $c^{2} = \frac{E}{\rho}\ $otrzymujemy ostateczną postać równania drgań swobodnych tłumionych pręta:

$c^{2}\left\lbrack \frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial x^{2}} + \mu\frac{\partial^{3}u\left( x,t \right)}{\partial x^{2}\partial t} \right\rbrack - \frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial t^{2}} = 0$ (2.39)

Analogicznie jak w przypadku drgań własnych (p. 2.1) rozwiązania równania drgań tłumionych poszukiwać będziemy w postaci iloczynu funkcji U(x) zależnej od x i funkcji T(t) zależnej od t:

u(x,t) = U(x)•T(t)

Podstawiając powyższe do równania (2.39) mamy:

$c^{2}\left\lbrack \frac{\partial^{2}U(x)}{\partial x^{2}} \bullet T\left( t \right) + \mu\frac{\partial^{3}U\left( x \right)T(t)}{\partial x^{2}\partial t} \right\rbrack - \frac{\partial^{2}T(t)}{\partial t^{2}} \bullet U\left( x \right) = 0,$

c²[U^″(x)•T(t)+μ•U^″(x)•T^′(t)] − T^″(t) • U(x) = 0,

c²U^″(x)[T(t)+μT^′(t)] − T^″(t)U(x) = 0 ,

$c^{2}\frac{U^{''}(x)}{U(x)} - \frac{T^{''}(t)}{T\left( t \right) + \mu T^{'}(t)} = 0,$ (2.40)

$c^{2}\frac{U^{''}(x)}{U(x)} = \frac{T^{''}(t)}{T\left( t \right) + \mu T^{'}(t)}.$ (2.41)

Po otrzymaniu powyższego równania postępujemy analogicznie jak w punkcie 2.2. Aby dla dowolnych x i t równość była spełniona obie strony muszą być równe stałej, którą w punkcie 2.2 oznaczyliśmy jako −ω².

$c^{2}\frac{U^{''}(x)}{U(x)} = \frac{T^{''}(t)}{T\left( t \right) + \mu T^{'}(t)} = - \omega^{2}.$ (2.42)

Z powyższego otrzymujemy dwa niezależne równania różniczkowe zwyczajne liniowe:

$U^{''}\left( x \right) + \frac{\omega^{2}}{c^{2}}U\left( x \right) = 0,$ (2.43)

T^″(t) + ω²μT^′(t) + ω²T(t) = 0. (2.44)

Pierwsze z równań określające funkcje własne jest identyczne jak w punkcie 2.2 . Oznacza to że rozwiązanie zagadnienia brzegowego będzie takie samo co w przypadku drgań swobodnych bez tłumienia, dla podanych uprzednio warunków brzegowych.

Rozwiążmy drugie z równań.

Równanie charakterystyczne będzie miało postać: r² + ω²μr + ω² = 0

=b² − 4ac = (ω²μ)² − 4ω² = ω⁴μ² − 4ω²

Rozwiązanie równania będzie zależało od znaku $""$. Wyróżniamy trzy przypadki rozwiązań ogólnych:

Przypadek 1.

$1 - \frac{\omega_{n}^{2}\mu^{2}}{4} > 0$, co ma miejsce przy małym μ i dla niższych częstości ω_n,wtedy mamy do czynienia z tłumieniem podkrytycznym. Rozwiązanie przyjmuje postać:

T_n(t) = (C_ncosβt + D_nsinβt)e^αt, (2.45)

$\alpha = - \frac{1}{2}\omega_{n}^{2}\mu,$

$\beta = \frac{1}{2}\omega_{n}\sqrt{1 - \frac{1}{4}\omega_{n}^{2}\mu^{2}},$

C_n, D_n-stałe dowolne zależne od czasu, należy je wyznaczyć z warunków początkowych.

Przypadek 2.

$1 - \frac{\omega_{n}^{2}\mu^{2}}{4} < 0$, mamy do czynienia z tłumieniem nadkrytycznym, ruch układu jest aperiodyczny (drgania gasną po pierwszym wychyleniu ). Jeżeli tłumienie jest odpowiednio duże to wszystkie składowe ruchy mają charakter aperiodyczny. Rozwiązanie dla tego przypadku może być przedstawione w postaci:

T_n(t) = C_ne^r₁t + D_ne^r₂t, (2.46)

r₁, r₂-pierwiastki równania charakterystycznego.

Przypadek 3.

$1 - \frac{\omega_{n}^{2}\mu^{2}}{4} = 0$, mamy do czynienia z tłumieniem krytycznym, rozwiązanie ma postać:

T_n(t) = (C_nt + D_n)e^rt, (2.47)

r-rozwiązanie równania charakterystycznego

Aby otrzymać pełne rozwiązanie równania drgań swobodnych tłumionych postępujemy analogicznie jak w przypadku drgań swobodnych nietłumionych. Po rozwiązaniu zagadnienia brzegowego(które będzie zależało od sposobu zamocowania rozpatrywanego pręta), przystępujemy do rozwiązania problemu początkowego. W zależności od rodzaju tłumienia otrzymamy różne stałe C_n i D_n.

Drgania wymuszone.

Rozważmy pręt jak w punkcie 2.1, ale obciążony siłami podłużnymi rozłożonymi wzdłuż długości w sposób ciągły i zmienny w czasie.

Rysunek 7. Obciążenie podłużne pręta.

Równanie równowagi ułożone na podstawie rys.1 będzie miało postać:

$- N\left( x,t \right) + N\left( x,t \right) + \frac{\partial N(x,t)}{\partial x}dx + n\left( x,t \right)dx - dm\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}} = 0$ .

Po przeprowadzeniu działań analogicznych jak w punkcie 2.1 otrzymujemy równanie drgań podłużnych pręta w postaci [1]:

${\frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial t^{2}} - c}^{2}\frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial x^{2}} = \frac{n(x,t)}{\text{ρA}}\text{\ .}$ (2.48)

Jest to równanie liniowe niejednorodne. Jego rozwiązanie jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (z prawą stroną zerową) oraz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Rozwiązanie pierwsze spełnia warunki brzegowe oraz niezerowe warunki początkowe . Rozwiązanie drugie powinno spełniać warunki brzegowe natomiast warunki początkowe przyjmiemy jako zerowe:

u(x,0) = 0,

$\frac{\partial u\left( x,0 \right)}{\partial t} = 0$. (.48a)

Postać tego rozwiązania zależy od postaci funkcji prawostronnej. W ogólnym przypadku rozwiązania można poszukiwać w postaci szeregu wg funkcji własnych:

$u\left( x,t \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}{\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right)U_{n}\left( x \right)\ ,}$ (2.49)

${\overset{\overline{}}{T}}_{n}\left( t \right)$ -nieznana funkcja czasu, którą należy wyznaczyć.

Obciążenie zewnętrzne także rozwijamy w szereg wg funkcji własnych:

$n\left( x,t \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}{P_{n}\left( t \right)U_{n}\left( x \right)}.$ (2.50)

W celu wyznaczenia współczynników szeregu P_n(t) pomnożymy obie strony powyższej równości przez U_m(x) i scałkujemy względem x w przedziale od 0 do l.

$\int_{0}^{l}{n\left( x,t \right)U_{m}\left( x \right)dx = \sum_{n = 1}^{\infty}{P_{n}(t)\int_{0}^{l}{U_{n}\left( x \right)U_{m}\left( x \right)\text{dx}}}}$.

Jak wiemy prawa strona ma wartość różną od zera tylko dla n =m (wynika to z ortogonalności funkcji własnych), a zatem:

$P_{n}\left( t \right) = \frac{1}{\gamma_{n}^{2}}\int_{0}^{l}{n\left( x,t \right)U_{n}\left( x \right)\text{dx\ }},$ (2.51)

gdzie γ_n² = ∫₀^lU_n²(x)dx.

Szeregi określające rozwiązanie u(x,t) (2.49), oraz wymuszenie n(x,t) (2.50), wstawiamy do równania (2.48). Otrzymamy:

$\sum_{n = 1}^{\infty}{{\overset{\overline{}}{T_{n}}}^{''}\left( t \right)U_{n}(}x) - c^{2}\sum_{n = 1}^{\infty}{\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right)U^{''}\left( x \right) = \frac{1}{\text{ρA}}\sum_{n = 1}^{\infty}{P_{n}\left( t \right)U_{n}(x)}.}$ (2.52)

Z punktu 2.2 wiemy, że: $U^{''}\left( x \right) = - \frac{\omega_{n}^{2}}{c^{2}}U_{n}(x)$. Po wstawieniu do (2.52) mamy:

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\left\lbrack {\overset{\overline{}}{T_{n}}}^{''}\left( t \right) - \omega_{n}^{2}\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right) - \frac{1}{\text{ρA}}P_{n}\left( t \right) \right\rbrack \bullet U_{n}(x)} = 0.$

Aby powyższe równanie było spełnione dla dowolnego x i t konieczne jest aby wyrażenie w nawiasie kwadratowym było równe zeru.

${\overset{\overline{}}{T_{n}}}^{''}\left( t \right) + \omega_{n}^{2}\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right) = \frac{1}{\text{ρA}}P_{n}\left( t \right)\text{.\ }$ (2.53)

Warunki początkowe dla funkcji $\overset{\overline{}}{T_{n}}(t)$ wynikają z podstawienia rozwiązania (2.49) do warunków początkowych (2.48a):

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( 0 \right)}U_{n}\left( x \right) = 0$,

$\sum_{n = 1}^{\infty}{{\overset{\overline{}}{T_{n}}}^{'}\left( 0 \right)U_{n}\left( x \right) = 0}$.

Rozwiązanie równania (2.53) ma postać:

$\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right) = \frac{1}{\text{ρA}\omega_{n}}\int_{0}^{t}{P_{n}\left( \tau \right)\sin{\omega_{n}\left( t - \tau \right)\text{dτ}}.}$ (2.54)

Jeżeli ω₁ ≠ 0 to rozwiązania powyższe są słuszne dla n = 1, 2,  … Jeżeli ω₁ = 0, to rozwiązania powyższe są słuszne dla n = 2, 3,  …, natomiast rozwiązanie odpowiadające ω₁ = 0 ma postać:

$\overset{\overline{}}{T_{1}}\left( t \right) = \frac{1}{\text{ρA}}\int_{0}^{t}{P_{1}\left( \tau \right)\left( t - \tau \right)\text{dτ.}}$ (2.55)

Ostatecznie rozwiązanie szczególne dla równania jednorodnego w przypadku gdy ω₁ ≠ 0 ma postać:

$u\left( x,t \right) = \frac{1}{\text{ρA}}\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{U_{n}\left( x \right)}{\omega_{n}\gamma_{n}^{2}}\int_{0}^{t}{\sin{\omega_{n}\left( t - \tau \right)\left\lbrack \int_{0}^{l}{n\left( x,\tau \right)U_{n}\left( x \right)\text{dx}} \right\rbrack\text{dτ}}\text{\ .}}}$ (2.56)

Dla przypadku ω₁ = 0, mamy:

$u\left( x,t \right) = \frac{1}{\text{ρA}}\int_{0}^{t}{\left( t - \tau \right)\left\lbrack \int_{0}^{l}{n\left( x,\tau \right)U_{1}\left( x \right)\text{dx}} \right\rbrack d\tau + \frac{1}{\text{ρA}}\sum_{n = 2}^{\infty}{\frac{U_{n}(x)}{\omega_{n}\gamma_{n}^{2}}\int_{0}^{t}{\sin{\omega_{n}\left( t - \tau \right)\left\lbrack \int_{0}^{l}{n\left( x,\tau \right)U_{n}\left( x \right)\text{dx}} \right\rbrack\text{dτ}}.}}}$ (2.57)

Metoda rozwinięcia obciążenia w szereg według funkcji własnych nie może być stosowana dla układów ciągłych z dołączonymi ciałami o masach skupionych . W tym przypadku należy wykorzystać równania Lagrange’a drugiego rodzaju.

Drgania wymuszone siłą harmoniczną.

Rozpatrzmy przypadek pręta, którego obciążenie rozłożone w sposób ciągły zmienia się w czasie harmonicznie. Obciążenie harmoniczne możemy przedstawić w postaci funkcji:

n(x,t) = n(x)sinνt

ν –częstość siły wymuszającej.

Podstawiając powyższą funkcję do rozwiązania (2.54) otrzymujemy [1]:

$u\left( x,t \right) = \frac{1}{\text{ρA}}\left\lbrack \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{H_{n0}}{\nu^{2} - \omega_{n}^{2}} \bullet \frac{\nu}{\omega_{n}} \bullet \frac{U_{n}(x)}{\gamma_{n}^{2}}\sin{\omega_{n}t + \sin{\text{νt}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{H_{n0}}{\omega_{n}^{2} - \nu^{2}} \bullet \frac{U_{n}(x)}{\gamma_{n}^{2}}}} \right\rbrack,$ (2.58)

gdzie:

H_n0 = ∫₀^ln(x)U_n(x)dx.

Powyższe rozwiązanie składa się z dwóch członów. Pierwszy człon jest szeregiem zawierającym drgania o częstościach własnych. Są to drgania wywołane przyłożeniem obciążenia zewnętrznego przy zerowych warunkach początkowych. W układach rzeczywistych tego typu drgania nie występują. Wskutek występującego zawsze tłumienia mają one charakter gasnący i mogą wystąpić w okresie przejściowym po włączeniu obciążenia. Drugi człon stanowią drgania wymuszone o częstości siły wymuszającej ν. Możliwe jest przy takim układzie wystąpienie rezonansu czyli zrównania się częstości wymuszenia z jedną z częstości drgań własnych [1]:

ν = ω_n

W układach rzeczywistych obserwuje się na ogół tylko rezonanse przy niższych częstościach. Rezonanse wyższych częstości są bowiem silniej tłumione. W przypadku siły harmonicznej określanie ustalonych drgań wymuszonych o częstości siły wymuszającej, może być uzyskane wprost przez poszukiwania rozwiązań szczególnych równania niejednorodnego (2.48) bez potrzeby korzystania z rozwiązania ogólnego dla dowolnych wymuszeń [1].
Do równania drgań wymuszonych harmonicznie:

${\frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial t^{2}} - c}^{2}\frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{\text{ρA}}n\left( x \right)\sin\text{νt}$ (2.59)

Podstawiamy przewidywane rozwiązanie:

u(x,t) = U(x)sinνt. (2.60)

W ten sposób otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne niejednorodne:

$U^{''}\left( x \right) + \frac{\nu^{2}}{c^{2}}U\left( x \right) = - \frac{1}{\text{ρA}}n\left( x \right).$ (2.61)

Poszukujemy rozwiązania tego równania spełniającego warunki brzegowe, następnie podstawiamy do (2.60).

Drgania wymuszone z tłumieniem [1, 3].

W punkcie 2.5 wyprowadziliśmy równanie drgań podłużnych pręta uwzględniające tłumienie tarciem wewnętrznym. Należy owe równanie uzupełnić o człon związany z siłą wymuszającą.

$\frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial t^{2}}{- c}^{2}\left\lbrack \frac{\partial^{2}u\left( x,t \right)}{\partial x^{2}} + \mu\frac{\partial^{3}u\left( x,t \right)}{\partial x^{2}\partial t} \right\rbrack = \frac{n(x,t)}{\text{ρA}}.$ (2.62)

Podobnie jak w punkcie (2.6) rozwiązania poszukiwać będziemy w postaci szeregu względem funkcji własnych.

$u\left( x,t \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}{\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right)U_{n}\left( x \right).}$ (2.63)

Po przeprowadzeniu działań analogicznych co w punkcie (2.6) otrzymujemy układ równań różniczkowych zwyczajnych określających funkcję $\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right)$ :

$\overset{\overline{}}{T_{n}}''\left( t \right) + \omega_{n}^{2}\mu\overset{\overline{}}{T_{n}}'\left( t \right) + \omega_{n}^{2}\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right) = \frac{1}{\text{ρA}}P_{n}\left( t \right),\ \ \ \ n = 1,2,\ldots\ $ (2.64)

Poszukujemy rozwiązań szczególnych tego układu spełniających zerowe warunki początkowe. Postać rozwiązania będzie zależała od znaku wyróżnika równania charakterystycznego.

Dla tłumienia podkrytycznego:

$1 - \frac{\omega_{n}^{2}\mu^{2}}{4} > 0,$

$\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right) = \frac{1}{\text{ρAb}}\int_{0}^{t}{P_{n}\left( \tau \right)e^{- \frac{1}{2}\omega_{n}^{2}\mu\left( t - \tau \right)}\sin{b\left( t - \tau \right)\text{dτ}}},$ (2.65)

gdzie: $b = \omega_{n}\sqrt{1 - \frac{\omega_{n}^{2}\mu}{4}}$

Dla tłumienia nadkrytycznego:

$1 - \frac{\omega_{n}^{2}\mu^{2}}{4} < 0$

$\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right) = \frac{1}{\text{ρAb}}\int_{0}^{t}{P_{n}(\tau)e^{- \frac{1}{2}\omega_{n}^{2}\text{μt}}\sinh{b^{*}\left( t - \tau \right)d\tau,}}$ (2.66)

gdzie: $b^{*} = \omega_{n}\sqrt{\frac{\omega_{n}^{2}\mu}{4} - 1}$

Dla tłumienia krytycznego :

$\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right) = \frac{1}{\text{ρA}}\int_{0}^{t}{P_{n}\left( t \right)e^{- \frac{1}{2}\omega_{n}^{2}\mu\left( t - \tau \right)}\left( t - \tau \right)\text{dτ\ .}}$ (2.67)

Drgania wymuszone siłą harmoniczną z tłumieniem [1].

Korzystając ze wzoru (2.51) wyznaczymy współczynniki P_n(t)

$P_{n}\left( t \right) = \frac{1}{\gamma_{n}^{2}}\int_{0}^{l}{n\left( x \right)\sin\text{νt}}U_{n}\left( x \right)\text{dx}$,

$P_{n}\left( t \right) = \frac{H_{n0}}{\gamma_{n}^{2}}\sin\text{νt},$

gdzie: H_n0 = ∫₀^ln(x)U_n(x)dx. (2.68)

Podstawiając powyższe do rozwiązania (2.65) otrzymujemy dla tłumienia podkrytycznego:

$\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right) = - C_{1n}e^{- \frac{1}{2}\omega_{n}^{2}\text{μt}}\sin{\left( bt + \psi_{1n} \right) + a_{n}\sin{\left( \nu t - \varphi_{n} \right),}}\ $ (2.69)

gdzie:
$C_{1n} = \frac{H_{n0}\nu}{\text{ρA}\gamma_{n}^{2}b} \bullet \frac{1}{\sqrt{\left( \omega_{n}^{2} - \nu^{2} \right) + \mu^{2}\omega_{n}^{4}\nu^{2}}},$ (2.70)

$\tan{\psi_{1n} = \frac{2\mu\omega_{n}^{2}b}{2\nu^{2} - \omega_{n}^{2}\left( 2 - \omega_{n}^{2}\mu^{2} \right)},}$ (2.71)

$a_{n} = \frac{H_{n0}}{\text{ρA}\gamma_{n}^{2}} \bullet \frac{1}{\sqrt{({\omega_{n}^{2} - \nu^{2})}^{2} + \mu^{2}\omega_{n}^{4}\mu^{2}}},$ (2.72)

$\tan{\varphi_{n} = \frac{\omega_{n}^{2}\text{μν}}{\omega_{n}^{2} - \nu^{2}}.}$ (2.73)

Dla tłumienia nadkrytycznego otrzymujemy:

$\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right) = - C_{2n}e^{- \frac{1}{2}\omega_{n}^{2}\text{μt}}\sinh{\left( b^{*}t + \psi_{2n} \right) + a_{n}\sin{\left( \nu t - \varphi_{n} \right),\ \ }}$ (2.74)

gdzie:

$C_{2n} = \frac{H_{n0}\nu}{\text{ρA}\gamma_{n}^{2}b^{*}} \bullet \frac{1}{\sqrt{{(\omega_{n}^{2} - \nu^{2})}^{2} + \mu^{2}\omega_{n}^{4}\nu^{2}}},$ (2.75)

$\tanh{\psi_{2n} = \frac{2\mu\omega_{n}^{2}b^{*}}{2\nu^{2} - \omega_{n}^{2}(2 - \omega_{n}^{2}\mu^{2})}}.$ (2.76)

Dla tłumienia krytycznego:

$\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right) = - C_{3n}e^{- \frac{1}{2}\omega_{n}^{2}\mu t}\left( t + \psi_{3n} \right) + a_{n}\sin{\left( \nu t - \varphi_{n} \right),}$ (2.77)

$C_{3n} = \frac{H_{n0}\nu}{\text{ρA}\gamma_{n}^{2}} \bullet \frac{1}{\sqrt{{(\omega_{n}^{2} - \nu^{2})}^{2} + \mu^{2}\omega_{n}^{4}\nu^{2}}},$ (2.78)

$\psi_{3n} = \frac{4\mu\omega_{n}^{2}}{4\nu^{2} + \omega_{n}^{4}\mu^{2}}.$ (2.79)

Podstawiając powyższe wzory (2.69; 2.74; 2.77) określające funkcje $\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right)$ do rozwiązania (2.63)), otrzymamy wzór określający drgania pręta wywołane obciążeniem harmonicznym. Pierwsze części wzorów określających funkcje $\overset{\overline{}}{T_{n}}\left( t \right)$ zawierające współczynniki C_n przedstawiają ruchy swobodne wywołane przyłożeniem obciążenia ciągłego przy zerowych warunkach początkowych. Ruchy te występują w okresie przejściowym po przyłożeniu obciążenia, a następnie zanikają. Pozostawiając w szeregu tylko drugie składniki mamy:

$u^{*}\left( x,t \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}{c_{n}\sin{\left( \nu t - \varphi_{n} \right)U_{n}\left( x \right)}.}$ (2.80)

Powyższa część rozwiązania przedstawia ustalone harmoniczne drgania wymuszone. Analiza wzoru (2.72) na amplitudę a_n wykazuje, że amplitudy drgań rezonansowych są ograniczone. Liczba możliwych rezonansów jest nieograniczona. Jednak amplitudy rezonansowe dla wyższych częstości nie są duże ze względu na silny wzrost składnika μ²ω_n⁴ν² wraz ze wzrostem numeru.