PROGI RENTOWNOŚCI

Założenia:

• Zakładamy, że relacje pomiędzy kosztami, a wielkością produkcji obrazuje funkcja liniowa.

• Ilość produkcji jest równa ilości sprzedaży, a wartość produkcji jest równa wartości sprzedaży. (oznacza to, że nie uwzględniamy zapasów).

PROGI RENTOWNOŚCI DLA PRODUKCJI JEDNOASORTYMENTOWEJ

c_j – cena jednostkowa

S – Wielkość sprzedaży

Ks - koszty stałe

PR_x - ilościowy próg rentowności

PR_s - wartościowy próg rentowności

Minimalny wymóg rentowności dla przedsiębiorstwa.

S = K  ⇒  Z = 0

przychody zrównują się z kosztami, a wtedy zysk wynosi 0.

INTERPRETACJA ANALITYCZNA

Ilościowy próg rentowności

$PR_{x} = \frac{K_{S}}{m} = \frac{K_{S}}{c_{\text{j\ \ }} - \ k_{\text{jz}}}\text{\ \ }$ ( w jednostkach naturalnych : szt. , litry , kg, itp. )

m – jednostkowa marża zysku brutto

Wartościowy próg rentowności

$PR_{s} = \frac{K_{S}}{1 - \frac{k_{jz}}{c_{j}}}$ wyrażenie w mianowniku to stopa marży brutto ( zł.)

$1 - \frac{k_{jz}}{c_{j}}$ stopa marży brutto

Margines bezpieczeństwa bezwzględny (marża bezpieczeństwa, sfera bezpieczeństwa)

SB = S − PR_s ( zł.)

S – przychody ze sprzedaży (osiągane lub planowane)

Margines bezpieczeństwa względny

$\text{SB}_{\%} = \frac{S - \text{PR}_{s}}{S} \times 100$ (%)

Ilościowy i wartościowy próg rentowności informuje nas o tym ile i za jaką wartość przedsiębiorstwo musi sprzedać swoją produkcję, aby osiągnąć minimalny wymóg rentowności.

Margines bezpieczeństwa informuje nas o tym o jaką wartość i o jaki procent mogą zmniejszyć się przychody ze sprzedaży, a przedsiębiorstwo nie będzie generować strat.

METODY WYZNACZANIA PROGÓW RENTOWNOŚCI DLA PRODUKCJI WIELOASORTYMENTOWEJ

Metoda segmentowa

Uwaga: poczynione na wstępie założenia są nadal aktualne.

Założenie dodatkowe:

• metodę tę można stosować wówczas, kiedy istnieje możliwość wyodrębnienia indywidualnych kosztów stałych wytwarzanych asortymentów.

Przedsiębiorstwo wytwarza trzy asortymenty wyrobów: A,B,C

$$\text{PR}_{\text{XA}} = \frac{{Ks}_{A} + \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} \times \text{Ks}^{*}}{m_{A}}$$

$$\text{PR}_{\text{XB}} = \frac{{Ks}_{B} + \frac{m_{B}}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} \times \text{Ks}^{*}}{m_{B}}$$

$$\text{PR}_{\text{XC}} = \frac{{Ks}_{C} + \frac{m_{C}}{m_{A} + m_{B} + m_{C}}\ \times \text{Ks}^{*}}{m_{C}}$$

K_S^* - koszty stałe całego przedsiębiorstwa.

Przykład 1:

Przedsiębiorstwo wytwarza 3 asortymenty wyrobów. Dane są następujące:

Asortyment A :

c_j - 30 zł/ szt.

k_jz  - 20 zł/szt. Marża m_A =  c_j - k_jz  = 10 zł/ szt.

Ks_A - 1000 zł.

Asortyment B :

c_j - 20 zł/ szt.

k_jz  - 15 zł/szt. Marża m_B =  c_j - k_jz  = 5 zł/ szt.

Ks_B - 1500 zł.

Asortyment C;

c_j - 10 zł/ szt.

k_jz  - 5 zł/szt. Marża m_C =  c_j - k_jz  = 5 zł/ szt.

Ks_C - 1000 zł.

Pozostałe K_S^*  przedsiębiorstwa wyniosły 2000 zł . Należy wyznaczyć ilościowy i wartościowy próg rentowności dla tej produkcji.

$$PR_{\text{XA}} = \ \frac{1\ 000zl + \frac{10\ zl/\text{szt}}{20\ zl/\text{szt}} \times 2\ 000\ zl}{10zl/\text{szt}}\ \ = \ 200\ szt.$$

$$PR_{XB} = \ \frac{1\ 500zl + \frac{5zl/\text{szt}}{20zl/\text{szt}} \times 2\ 000zl}{5zl/\text{szt}} = 400\ szt.$$

$$PR_{XC} = \ \frac{1\ 000zl + \frac{5\ zl/\text{szt}}{20\ zl/\text{szt}} \times 2\ 000zl}{5zl/\text{szt}} = 300\ szt.$$

Wniosek: Przedsiębiorstwo osiągnie minimalny wymóg rentowności , jeżeli wytworzy i sprzeda 200 szt. wyrobu A , 400 szt. wyrobu B i 300 szt. wyrobu C.

PR_SA  = 200 szt  × 30 zl / szt = 6 000 zl.

PR_SB  = 400 szt  × 20 zl /szt  = 8 000 zl.

PR_SC  = 300 szt  × 10 zl / szt  = 3 000 zl.

Razem 17 000 zł.

Przy tak określonej strukturze wartościowego progu rentowności wartość progu musi wynieść 17 000 zł.

1. Metoda udziałowa.

$${PR}_{X} = \frac{K_{S}}{\overset{\overline{}}{m}}\text{\ \ }$$

$$\overset{\overline{}}{m} = \ \sum_{i = 1}^{n}\left( c_{\text{ji}} - k_{\text{jzi}} \right) \times \mu_{i}$$

(c_ji−k_jzi)  - marża jednostkowa brutto

μ_i - udział w sprzedaży danego asortymentu

$$PR_{\text{S\ }} = PR_{X} \times \overset{\overline{}}{c}$$

$$\overset{\overline{}}{c}\ = \ \sum_{i = 1}^{n}{{(c}_{\text{ji}} \times \mu_{i})}$$

Przykład 2:

Przedsiębiorstwo wytwarza 3 asortymenty wyrobów. Dane są następujące:

Asortyment A :

c_j - 30 zł/ szt.

k_jz  - 25 zł/szt.

μ_i - 10%

Asortyment B :

c_j - 20 zł/ szt.

k_jz  - 20 zł/szt.

μ_i - 40%

Asortyment C;

c_j - 40 zł/ szt.

k_jz  - 30 zł/szt.

μ_i - 50%

Koszty stałe przedsiębiorstwa wyniosły 150 000zł. Wyznaczyć : PR_S , PR_X, dla tej produkcji.

$$PR_{X} = \frac{150\ 000\ zl}{7,5\ zl/\text{szt}} = 20\ 000\ szt.$$

$$\overset{\overline{}}{m} = 5\ zl\ /\text{szt} \times 0,1 + 5\ zl/\text{szt} \times 0,4 + 10\ zl/\text{szt} \times 0,5 = 7,5\ zl\ /\ \text{szt}$$

Wyznaczyliśmy ogólny próg rentowności , ale nie mamy struktury:

PR_XA  = 20 000 zl  × 0, 1 = 2 000 szt.

PR_XB  = 20 000 zl × 0, 4 = 8 000 szt.

PR_XC  = 20 000 zl × 0, 5 = 10 000 szt.

Przedsiębiorstwo, aby osiągnąć minimalny próg rentowności musi wyprodukować i sprzedać 2 000 szt. asortymentu A, 8 000 szt. asortymentu B i 10 000 szt. asortymentu C.

PR_S  = 20 000 szt × 33 zl/szt.=660 000 zl.

$$\overset{\overline{}}{c} = 30\ zl/\text{szt} \times 0,1 + 25\ zl/\text{szt} \times 0,4 + 40\ zl/\text{szt} \times 0,5 = 33\ zl/\text{szt.}$$

Przy takiej produkcji asortymentu wartościowy próg rentowności musi wynosić 660 000 zł.

1. Metoda wyznaczania progu rentowności według przeciętnej stopy marży brutto.

Przykład 3:

Przedsiębiorstwo wytwarza 3 asortymenty wyrobów. Dane są następujące:

Sprzedaż w szt.:

A – 1 000

B – 3 000

C – 2 000

Cena sprzedaży zł/ szt. :

A – 80 000

B – 50 000

C – 40 000

Koszty jednostkowe zmienne w zł/szt.:

A – 40 000

B – 30 000

C – 20 000

Ks^* – 60 000 000 zł.

Wyznaczyć: globalną marżę brutto przedsiębiorstwa, zysk, próg rentowności oraz margines bezpieczeństwa.

A :    40 000 zl/szt × 1 000 = 40 000 000 zl

B :    20 000 zl/szt × 3 000 = 60 000 000 zl

C :    200 00 zl/szt × 2 000 = 40 000 000 zl

Razem 140 000 000 zł. (globalna marża brutto przedsiębiorstwa)

GMB − Ks^* = 140 000 00060 000 000 = 80 000 000 (zysk przedsiębiorstwa)

PR_p - próg rentowności wg. Przeciętnej marży brutto

$$\text{PR}_{\text{p\ }} = \frac{K_{S}}{\frac{\text{GMB}}{S}} = \frac{60\ 000\ 000}{\frac{140\ 000\ 000}{310\ 000\ 000}} = 132\ 857\ 143\ zl.$$

Przychody ze sprzedaży:

A :    80 000 zl/szt × 1 000 szt = 80 000 000 zl

B :    50 000 zl/szt × 3 000 szt = 150 000 000 zl

C :    40 000 zl/szt × 2 000 szt = 80 000 000zl

Razem 310 000 000 zł

SB = 310 000 000132 857 143 = 177 142 857 zl.

$$\text{SB}_{\%} = \frac{177\ 142\ 857\ zl.}{310\ 000\ 000\ zl.} \times 100 = 57,14\%$$

To oznacza, że przychody ze sprzedaży mogą się zmniejszyć o 57,14 % (lub 177 142 857 zł), a przedsiębiorstwo nie będzie generować strat.

Przykład 4:

Przedsiębiorstwo wytwarza jeden asortyment wyrobu. Dane są następujące:

K_S^* −  60 000 zl.

c_j - 20 zł/ szt.

k_jz  - 10 zł/szt.

x_i – 8 000 szt. (wielkość sprzedaży)

Na podstawie danych należy odpowiedzieć na następujące pytania:

1. Jaki jest próg rentowności ilościowy i wartościowy i jaki jest margines bezpieczeństwa.

2. Ile należałoby sprzedać szt. wyrobu, aby osiągnąć zysk 30 000 zł.

3. Jaki poziom zysku osiągnęłoby przedsiębiorstwo, gdyby udało się zredukować o 10% poziom kosztów jednostkowych zmiennych oraz zmniejszyć o 10 000 zł. Koszty stałe przy nie zmienionej wielkości sprzedaży.

4. Jak należałoby zmienić jednostkową cenę sprzedaży, aby zwiększyć założoną wielkości sprzedaży o 8 000 szt. i uzyskać zysk 30 000zł.

5. Jaka marża brutto zostanie osiągnięta z jednej złotówki przychodu ze sprzedaży.

1. Jaki jest próg rentowności ilościowy i wartościowy i jaki jest margines bezpieczeństwa.

$$PR_{x} = \frac{K_{S}}{c_{\text{j\ \ }} - \ k_{\text{jz}}} = \frac{60\ 000\ zl}{20\ zl/szt - 10\ zl/\text{szt}} = 6\ 000\ \text{szt}$$

 PR_s = 6 000 szt × 20 zl/szt = 120 000 zl

SB = S − PR_s = (8 000×1×20) − 120 000 = 160 000120 000 = 40 000 zl

$$\text{SB}_{\%} = \frac{40\ 000}{160\ 000\ zl} \times 100 = 25\%$$

Przedsiębiorstwo osiągnie minimalny próg rentowności, gdy sprzeda 6 000 szt. za 120 000 zł. oraz przychody mogą się zmniejszyć o 25 %, a przedsiębiorstwo nie przyniesie straty.

1. Ile należałoby sprzedać szt. wyrobu, aby osiągnąć zysk 30 000 zł.

S = K  ⇒ Z = 0

S = Z = K

x_i × c_j  = Z + Ks + k_jz × x_i

x_i × c_j  − k_jz  × x_i = Z + Ks

x_i(c_j − k_jz)=Z + Ks

$$x_{i} = \frac{Z + Ks}{\left( c_{j} - k_{\text{jz}} \right)\text{\ \ }}$$

$$x_{i} = \frac{30\ 000\ zl.\ + 60\ 000\ zl.}{10\ zl/\text{szt.}} = 9\ 000\ szt.$$

Przedsiębiorstwo , aby osiągnąć zysk w kwocie 30 000 zł musi wyprodukować i sprzedać 9 000 szt. wyrobów.

1. Jaki poziom zysku osiągnęłoby przedsiębiorstwo, gdyby udało się zredukować o 10% poziom kosztów jednostkowych zmiennych oraz zmniejszyć o 10 000 zł. Koszty stałe przy nie zmienionej wielkości sprzedaży.

k_jz^′ = 9zl/szt.

$$K_{\begin{matrix} S \\ \ \\ \end{matrix}} = 50\ 000\ zl$$

Z = 80 000 szt × 20zl/ szt − 50 0009 zl / szt × 8 000 szt = 160 000 zl − 50 000 zl − 72 000 zl = 38 000 zl

Redukując koszty jednostkowe zmienne o 10% , koszty stałe o 10 000 przy produkcji 8 000 szt. przedsiębiorstwo uzyska zysk 38 000 zł.

1. Jak należałoby zmienić jednostkową cenę sprzedaży, aby zwiększyć założoną wielkości sprzedaży o 8 000 szt. i uzyskać zysk 30 000zł.

x_i × c_j = Z + Ks + k_jz × x_i

$$c_{j} = \frac{Z + K_{S} + k_{\text{jz}} \times x_{i}}{x_{i}\ } = \frac{30\ 000\ zl + 60\ 000\ zl + 10zl/szt \times 8\ 000\ szt.}{8\ 000\ szt.} = 21,25\ zl/\text{szt.}$$

1. Jaka marża brutto zostanie osiągnięta z jednej złotówki przychodu ze sprzedaży.

20 → 10

1 → X

X = 0, 5

Czyli z jednej złotówki uzyskuje marżę 0,50 gr.