Rzeszów 13.04.2013

2EE-DI

Projekt z Teorii Obwodów Elektrycznych

Dr hab. inż. Grzegorz Masłowski

Grupa projektowa:

P6, P3

Zespół:

Mateusz Storek

Grzegorz Kowalik

Temat: Projektowanie Filtru Cyfrowego- Filtr Górnoprzepustowy Butterwortha

Główne cele:

1. Wiadomości wstępne dotyczące filtrów

2. Projekt filtru cyfrowego

• Określenie parametrów filtru cyfrowego

• Wyznaczenie pulsacji granicznych filtru analogowego

• Wyznaczenie parterów unormowanego górnoprzepustowego filtru analogowego

• Projektowanie prototypowego filtru górnoprzepustowego Butterwortha.

• Wyznaczenie rzędu N filtru

• Obliczenie biegunów filtru prototypowego

• Wyznaczenie transmitancji filtru prototypowego

- Dokonanie transformacji częstotliwości filtru prototypowego

- Wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych i czasowych

• Wyznaczenie transmitancji filtru cyfrowego

• Wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych i odpowiedzi impulsowej

-Wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych (amplitudowa i fazowa) i odpowiedzi impulsowej

• Porównanie tych charakterystyk z otrzymanymi charakterystykami dla filtru analogowego

1. Analiza zaprojektowanego układu z wykorzystaniem MathCAD

- Opis wybranych funkcji MathCAD-a

- Wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych – amplitudowej i fazowej (charakterystyki Bode’go), Nyquista i opóźnienia grupowego

-Wyznaczenie charakterystyk czasowych – odpowiedzi impulsowej i skokowej

4.Wnioski, spostrzeżenia i podsumowanie

1. Wiadomości wstępne dotyczące filtrów

Filtr jest to fragment obwodu elektrycznego lub obwodu elektronicznego odpowiedzialny za przepuszczanie lub blokowanie sygnałów o określonym zakresie częstotliwości lub zawierającego określone harmoniczne.

W sytuacji kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie filtracją nazywamy proces przetwarzania sygnału w dziedzinie czasu. Polegający na redukowaniu i odfiltrowaniu nie pożądanych składowych zawartych w sygnale wejściowym. Filtrem możemy nazwać każde urządzenie posiadające selektywne charakterystyki częstotliwościowe. Natomiast filtr cyfrowy to algorytm lub proces obliczeniowy w wyniku którego jedna sekwencja liczb (tzn. wygnał wejściowy) zamieniany jest w inną sekwencję (tzn. wygnał wyjściowy).

Najczęściej stosowanymi w praktyce filtrami aktywnymi są filtry Butterwortha, Czebyszewa i Bessela. Filtry aktywne mogą być stosowane w układach filtrów dolnoprzepustowych, górnoprzepustowych, środkowoprzepustowych i środkowozaporowych.

Filtry aktywne różnią się od filtrów pasywnych występowaniem źródeł sterowanych oraz pracą przy w miarę dowolnym (niekoniecznie dopasowanym) obciążeniu.

Aktualnie do realizacji filtrów aktywnych prawie wyłącznie stosowane są wzmacniacze operacyjne. Umożliwiają one realizację układów o różnych charakterystykach częstotliwościowych  dzięki zastosowaniu sprzężeń zwrotnych zależnych od częstotliwości.  Filtr aktywny składa się z szeroko pasmowego wzmacniacza o wzmocnieniu  K_u0 i członu sprzężenia zwrotnego , którego współczynnik sprzężenia zależny jest od częstotliwości B(f) .

Przy dodatnim sprzężeniu zwrotnym maksimum wzmocnienia będzie odpowiadało maksimum współczynnika sprzężenia zwrotnego . Przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym charakterystyka filtru będzie odwrotnością charakterystyki członu sprzężenia zwrotnego. Można wyobrazić sobie układ wyposażony w oba rodzaje sprzężeń zwrotnych.

Filtrem cyfrowym nazywamy przetwornik czasowo-dyskretnego sygnału wejściowego x[n] na czasowo-dyskretny sygnał wyjściowy y[n]. Filtry cyfrowe charakteryzuje kilka własności, z których najważniejsze to:
- dynamika, czyli jak dobrze tłumi nasz filtr w paśmie zaporowym.
- częstotliwość graniczna lub dwie częstotliwości graniczne, gdy mamy do czynienia z filtrem pasmowym.
 - szerokość zbocza (krawędź), czyli jak "szybko" filtr tłumi.

Główne zalety filtrów cyfrowych:

• są realizowane za pomocą programu - co za tym idzie łatwo jest coś zmienić bez konieczności zmiany całego układu

• mogą być projektowane, testowane oraz implementowanie na zwykłym komputerze - nie są konieczne wyspecjalizowane, drogie urządzenia, każdy może zaimplementować swój filtr na własnym PC lub laptopie

• są stabilne i odporne na działania czynników fizycznych -takich jak temperatura, która może wpłynąć na wyniki

• świetnie działają dla sygnałów o niskich częstotliwościach - w przeciwieństwie do... no właśnie, analogowych znajomych

• są znacznie bardziej wszechstronne - na przykład filtr cyfrowy może być dopasowywanu do charakterystyki konkretnego sygnału

Podstawowe parametry filtrów:

Charakterystyka amplitudowa- zależność wzmocnienia od częstotliwości;

Pasmo przepustowe - zakres częstotliwości sygnałów przechodzących przez filtr bez znacznego tłumienia. Najczęściej przyjmuje się, że krańcem pasma przepustowego jest częstotliwość, dla której wzmocnienie filtru maleje o 3dB.

Częstotliwość graniczna - częstotliwość krańcowa pasma przepustowego. Sygnały o częstotliwościach z pasma zaporowego są znacząco tłumione przez filtr. Początek pasma zaporowego definiuje się przez przyjęcie pewnej minimalnej wartości tłumienia sygnałów.

Charakterystyka fazowa - zależność przesunięcia fazy sygnału wejściowego filtru względem sygnału doprowadzonego do jego wejścia od częstotliwości tych sygnałow. Przedmiotem zainteresowania jest zespolona charakterystyka częsotliwościowa filtru. Wazność charakterystyki fazowej filtru wynika z faktu, że jesli składowe sygnału wyjściowego, których częstotliwości całkowicie mieszczą się w paśmie przepustowym filtru, są różnie opóźnione po przejściu przez filtr, to sygnał wyjściowy filtru będzie zniekształcony. Stałość czasu opóźnienia sygnałów o roznych częstotliwościach odpowiada liniowemu narastaniu przesunięcia fazy w funkcji częstotliwości. Stąd termin filtr o liniowym przesunięciu fazy odnosi się do filtru o idealnej charakterystyce fazowej.

Dziedzina czasu

Podobnie jak wszystkie układy zmiennoprądowe, równiez filtry można charakteryzować parametrami w dziedzinnie czasu: czasem narastania, amplitudą pierwszej oscylacji, czasem ustalania się odpowiedzi na wejściowy skok napięcia.

(4)

Czas narastania - czas upływający między chwilą pojawienia się skoku na wejściu a chwilą, w której odpowiedź układu osiągnie 90% wartości stanu ustalonego.

Czas ustalania - czas upływajacy do chwili, gdy odpowiedź znajduje się w uprzednio zdefiniowanym obszarze wokół wartości ustalonej i więcej poza granice tego obszaru nie wyjdzie.

Oscylacje, amplituda pierwszej oscylacji - występowanie oscylacji jest niepożądaną cechą odpowiedzi filtru.

1. Filtr Gónoprzepustowy Butterwortha

Filtr górnoprzepustowy - filtr, który przepuszcza wysokie częstotliwości i tłumi niskie częstotliwości:

W idealnym filtrze w paśmie przepustowym współczynnik tłumienia powinien być równy zero, natomiast w paśmie tłumieniowym powinien być duży.

Filtr Butterwortha w stosunku do innych filtrów ma najbardziej płaski przebieg charakterystyki amplitudowej w paśmie przepustowym. Odbywa się to kosztem załamania charakterystyki pod koniec pasma przepustowego. W paśmie przejściowym wykazuje w porównaniu z innymi filtrami tego samego rzędu najmniejszy spadek amplitudy.

W filtrze Butterwortha najważniejszym celem jest uzyskanie maksymalnej płaskości charakterystyki amplitudowej. Charakterystyka powinna zaczynać się maksymalnie płasko dla zerowej częstotliwości i przeginać się dopiero w pobliżu częstotliwości granicznej.

Charakterystyka amplitudowa filtru górnoprzepustowego

Charakterystyka maksymalnie plaska Butterwortha

Warunki maksymalnej płaskości charakterystyki amplitudowej.

Załóżmy, ze:

Można łatwo sprawdzić, ze funkcja spełnia warunek:

a wiec warunek maksymalnej płaskości w punkcie =0 (przy zadanym n). Stad charakterystykę amplitudowa A() określoną wzorem (1) nazywamy charakterystyka maksymalnie plaska rzędu n lub charakterystyka Butterwortha rzędu n. Wykresy maksymalnie płaskiej charakterystyki A() dla rożnych są przedstawione na poniższym rysunku. Charakterystyki A() z rysunku są monotoniczne i dla wartości /₀=1 przybierają wartość:

a wiec maleją w porównaniu z wartością początkową A(0) o 3dB. Ponadto można bez trudu sprawdzić, że:

a wiec nachylenie charakterystyki A() dla pulsacji 3-decybelowej  ₀, która możemy uznać za pulsacje graniczna miedzy pasmem przepustowym a pasmem zaporowym, jest (co do modułu) niewiele i liniowo rosnie ze wzrostem n. Na poniższym rysunku przedstawiono charakterystyki amplitudowe dla kolejnych n. Rząd określony jest przez liczbę przy K()

Transmitancja filtru Butterwortha

Transmitancje H(s) odpowiadająca charakterystyce amplitudowej (1), a wiec transmitancje odpowiedniego filtru Butterwortha aproksymującego idealny filtr dolnoprzepustowy, przedstawiamy następująco: