Interpolacja funkcjami sklejanymi

Niech w przedziale [a,b] danych będzie (n+1) punktów x0, x1, ... , xn , przy czym

a = x0 < x1 < ... < x n-1 < xn = b.

Funkcję s(x) określoną na przedziale [a,b] nazywamy funkcją sklejaną stopnia m , jeżeli

1) s(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej m na każdym podprzedziale (xi , xi+1) , i = 0,1,... , n-1

2) s(x) jest funkcją klasy Cm-1([a,b]) .

Punkty xi nazywamy węzłami funkcji sklejanej.

W najprostszym przypadku m = 1, funkcja sklejana jest łamaną. Także wielomiany na [a,b]

są szczególnym przypadkiem funkcji sklejanej.

Zbiór wszystkich funkcji sklejanych stopnia m o węzłach xi ( i = 0,1,...,n) oznaczymy Sm .

Funkcja sklejana stopnia m zależy od n (m+1) - m (n-1) = n+m parametrów.

Funkcję s(x) z Sm nazywamy interpolacyjną funkcją sklejaną stopnia m dla funkcji f , jeżeli

s(xi) = yi , i = 0,1,...,n

Na funkcję sklejaną zostało nałożone (n+1) warunków interpolacji. W najprostrzym przypadku

interpolacyjnej funkcji sklejanej stopnia pierwszego, czyli łamanej, jest ona jednoznacznie

wyznaczona przez te warunki. Dla m > 1 interpolacyjna funkcja sklejana zależy od (m-1)

parametrów i należy na nią nałożyć dodatkowe warunki.

Do najczęściej rozważanych funkcji sklejanych należą funkcje stopnia trzeciego. Interpolacyjna

funkcja sklejana stopnia trzeciego zależy od dwóch parametrów, wobec czego nakładamy na nią

dwa dodatkowe warunki. Warunki te najczęściej nakładamy w węzłach krańcowych a i b.

Np. mogą mieć one postać

s'(a + 0) = oraz s'(b - 0) = 

gdzie , są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Jeżeli funkcja f ma pochodne w punktach a i b

oraz znamy ich wartości, to możemy je przyjąć jako liczby występujące po prawych stronach powyższych warunków.

Natomiast, jeżeli znamy tylko wartości funkcji f w węzłach - mogą to

być przybliżenia pochodnych.

TWIERDZENIE. Istnieje dokładnie jedna interpolacyjna funkcja sklejana stopnia trzeciego

spełniająca podane wyżej dodatkowe warunki.

Opracowano szereg algorytmów wyznaczających interpolacyjne funkcje sklejane. Postać funkcji

sklejanej w dużym stopniu zależy od zagadnienia. Często wygodnie jest przedstawić poszukiwaną

funkcję w postaci kombinacji liniowej elementów bazy przestrzeni S3, która jest przestrzenią liniową

o wymiarze (n+3).

Omówimy teraz wyznaczanie interpolacyjnej funkcji w postaci kombinacji liniowej elementów

bazy S3, w przypadku węzłów równoodległych

xi = x0 +ih, h = (b-a)/n , i = 0,1, ... ,n

Określamy (n+3) funkcje i =i(x) , i = -1, 0, 1, ... , n , n+1 , które stanowią bazę przestrzeni

funkcji sklejanych trzeciego stopnia S3.

Interpolacyjnej funkcji sklejanej poszukiwać będziemy w postaci kombinacji liniowej

,

gdzie ci są pewnymi liczbami rzeczywistymi, które należy wyznaczyć.

Nakładamy warunki interpolacji: s(xi) = yi , i = 0, 1, ... ,n.

Funkcja s(x) jest interpolacyjną funkcją sklejaną dla f, gdy (n+3) niewiadomych

ci (i = -1, 0, 1, ... , n+1) spełnia następujący układ (n+1)

ci-1 +4ci + ci+1 = yi , i = 0,1, ...., n

Do powyższego układu należy dołączyć dwa równania, wynikające z nałożenia na

funkcję sklejaną s dwóch dodatkowych warunków

-c-1 + c1 = h/3 i -cn-1 + cn+1 = h/3

Tak określony układ (n+3) równań posiada jednoznaczne rozwiązanie.

Uwaga. Z układu tego można łatwo wyeliminować współczynniki c-1 i cn+1 .

TWIERDZENIE. Niech = f ' (a) i = f ' (b). Jeżeli funkcja f jest klasy C4([a,b]),

to dla