1. Zjawisko sprzężenia magnetycznego dwóch cewek, strumienie skojarzone z cewkami, indukcyjność własna i wzajemna.

Cewki są magnetycznie sprzężone, gdy część strumienia magnetycznego wytworzonego przez prąd w jednej cewce przenika drugą cewkę. Aby do tego doszło, przez co najmniej jeden element musi płynać prąd zmienny.

Indukcyjnosć własna (L)- stosunek strumienia skojarzonego Ψdo prądu I płynącego w cewce.

Indukcyjność wzajemna(M)- zjawisko indukowania się napięcia w danym elemencie od zmiennego strumienia magnetycznego wytworzonego w innym elemencie (M= Ψ₁₂/i₁ ; M= Ψ₂₁/i₂)

Φ₁₁= Φ_g1+ Φ_s1, Φ₁₁=str magn cewki 1, Φ_g1 str gł cewki 1, obejmuje także 2 cewkę Φ_g1strumien rozproszenia.

Ψ=NΦ, Prawo indukcji magnetycznej: u=dΨ/dt

1. Zaciski jednoimienne – to są takie zaciski w których przy jednakowym zwrocie prądów względem tych zacisków strumienie indukcji własnej i wzajemnej mają jednakowe zwroty. Oznacza je się za pomocą gwiazdek, określa je się w celu wyznaczenia znaku napięcia indukcji wzajemnej.

2. Połączenie dwóch dwóch sprzężonych cewek szeregowo

Połączenie zgodne: U=(R₁+jwL₁)I₁+jwMI₁+(R₂+jwL₂)I₁+jwMI₁=Z₁+Z₂+2Z_m)I_1, w połączeniu szeregowym sprzężenie dodaje się wtedy gdy sprzężenie jest zgodne, w innym przypadku się odejmuje

1. Zastępowanie układu ze sprzężeniem ukł bez sprzężeń (równolegle, cewka l1 i l2 sprzezone wzg węzła)

R₁+jwL=Z₁, R₂+jwL₂=Z_2, jwM=Z_m, U₁₃=R₁I₁+jwL₁I₁+jwMI_2, U₂₃=R₂I₂+jwL₂I₂+jwMI₁

U₁₃=Z₁I₁­-Z_m)I₁+Z_mI_3, U₂₃=(Z₂-Z_m)I₂+Z_mI₃

1. Transformator powietrzny obciążony odbiornikiem RL – transformator przekazuje energię z jednego obwodu do drugiego za pomocą energii pola magnetycznego.

Z_obc=R₀+jwL_0, U₂=Z_obcI_2, (U₁=R₁I₁+jwL₁I₁-jwMI₂, 0=R₂I₂+jwL₂I₂-jwMI₁+U₂)=> (U₁=Z₁I₁-Z_mI₂, 0=Z₂I₂-Z_mI₁+I₂Z_obc) => wyliczyć z ukł równań U₁

Zasada działania: Jeśli do uzwojenia pierwotnego podamy napięcie zmienne, to wywoła ona zmienny strumień magnetyczny Φ₁ w tym uzwojeniu i indukuje w tych uzwojeniach napięcia, kiedy do wyjścia uzwojenia wtórnego podłączymy odbiornik, pojawi się prąd i_2, który wywoła strumień Φ₂, prąd w uzwojeniu wtórnym musi mieć taki zwrot aby strumień wytworzony przez ten prąd miał zwrot przeciwny do zwrotu strumienia wytworzonego przez prąd pierwotny.

1. Gwiazda gwiazda Sym odb : E_A=U_A, I_A=U_A/Z_A (prądy przewodowe), U_p=$\sqrt{3}$ U_f, I_p=I_f

U_P = U_AB = U_BC = U_CA, I_A=I_B=I_C=I_P (w modułach)

E_A=Ee­^j0, E_B=Ee^j-120_, E_c=Ee^j120

E_A=$\sqrt{3}$E_Ae^j30

E_B=$\sqrt{3}$E_Be^j30=$\sqrt{3}$E_Ae^j-90

E_C=$\sqrt{3}$E_Ce^j30=$\sqrt{3}$E_Ae^j150

Moc czynna: P₁=U_f I_f cosϕ=RI²_f (jedna faza, moc całego = 3x) lub$\ \sqrt{3}$U_pI_pcosϕ

Moc bierna: 3U_fI_fsinϕ=3XI²_f lub $\sqrt{3}$U_pI_psinϕ

Moc pozorna: 3U_f I_f=3ZI²_f lub $\sqrt{3}$U_pI_p

W układzie tym róznica potencjałów między pktem zerowym = 0

7. Trójkąt trójkąt sym odb : przy pominięciu impedancji przewodów U_AB=E_AB, U_BC=E_BC, U_CA=E_CA, U_AB+ U_BC+U_CA=0, I_AB=I_BC=I_CA=I_f, I_A=I_B=I_c=I_P (moduły) I_p=$\sqrt{3}$I_f

E_przewodowe=$\sqrt{3}$E _fazowe

E_AB=E_A-E_B=$\sqrt{3}$E_Ae^j30

E_BC=$\sqrt{3}$E_Be^j30=$\sqrt{3}$E_Ae^j-90

E_CA=$\sqrt{3}$E_Ce^j30=$\sqrt{3}$E_Ae^j150

Moc czynna: P₁=U_f I_f cosϕ=RI²_f (jedna faza, moc całego = 3x) lub$\ \sqrt{3}$U_pI_pcosϕ

Moc bierna: 3U_fI_fsinϕ=3XI²_f lub $\sqrt{3}$U_pI_psinϕ

Moc pozorna: 3U_f I_f=3ZI²_f lub $\sqrt{3}$U_pI_p

8. Układ gwiazda gwiazda n.symetryczny: U_N=(E_AY_A+E_BY_B+E_cY_C)/(Y_A+Y_B+Y_C+Y_N)

U_A=E_A-U_N, I_A=U_A/Z_­A, I_A+I_B+I_C=I_N (układ 4 przewodowy, lub 0 w trzyprzewodowym)

Moc czynna: P=P_A+P_B+P_C, P_A=U_AI_Acos(ϕ_UA-ϕ­_IA) itd.

Moc bierna: Q=Q_A+Q_B+Q_C, Q_A=U_AI_Asin( ϕ_UA-ϕ­_IA)itd.

Moc pozorna: S=S₁+S₂+S₃=U_AI^*_A+…

8. Układ trójkąt trójkąt n symetryczny

E_AB=U_AB itd., I_A=I_CA-I_AB, I_B=I_AB-I_BC, I_c=I_BC-I_CA

S=U_AB*I^*_AB+U_BC*I^*_Bc+U_CA*I^*_CA=P+jQ

8. Metoda dwóch watomierzy: tylko w układach trójprzewodowych.

S=U_A*I_A^*+U_B*I_B^*+U_c*I_C^* , P=U_ACI_A­cos ϕ­₁+U_BCI_Bcosϕ₂(nie podkreślamy tu!)

W układach symetrycznych: P=P₁+P₂= $\sqrt{3}$U_pI_pcosϕ

P₁+P₂=U_P*I_Pcos(ϕ-30)+ U_P*I_Pcos(ϕ+30) (suma wskazań tych watomierzy jest równa sumie mocy pobieranych przez odbiornik)

$\sqrt{3}$U_pI_psinϕ=$\sqrt{3}$(P₁-P₂)

Tgϕ=$\sqrt{3}$(P₁-P₂)/(P₁+P₂)

W ukłądach niesymetrycznych: S=U_AC*I^*_A+U_BC*I­^*_B=P₁+jQ+P₂+jQ

1. Oblicznie mocy w obwodach trójfazowych symetrycznych:

Gwiazda: I_p=I_f , U_p=$\sqrt{3}$U_F, P_c=$\sqrt{3}$U_pI_pcos ϕ = 3U_F I _f cosϕ Q_c=$\sqrt{3}$U_pI_psinϕ = 3U_F I_F sinϕ,

S=U_A*I^*_A+U_B*I^*_B+ U_c*I^*_c

Trójkąt: I_p=$\sqrt{3}$I_f, U_p=U_f, P_c=3U_fI_fcos ϕ = 3RI²_f, Q_c=3U_fI­_fsinϕ=$\sqrt{3}$U_pI_p, S=U_AB*I^*_AB+U_BC*I^*_BC+ U_cA*I^*_Ca

8. Metoda sładowych symetrycznych – polega na zastąpieniu dowolnego układu trzech niesymetrycznych wektorów trzema równoważnymi układami symetrycznymi, niesymetryczne źródło zasilania zastępujemy trzema symetrycznymi i stosujemy zasadę superpozycji

9. Stan nieustalony : powstaje w momencie dołączenia do obwodu źródła energii lub zmiany struktury tego obwodu. Takie działanie nazywamy komutacją. Warunki początkowe określamy aby poznać parametry układu przed jego zmianą (np. przełącznie przełącznika)

Prawa komutacji : i(0^-)=i(0⁺) ;Ψ=Li; Ψ (0^-)= Ψ (0⁺) (prawo ciągłości prądu w cewkach); U_c(0^-)=U_c(0⁺); q=Cu; q (0^-)= q(0⁺) (prawo ciągłości napięcia na kondensatorze);;Napięcie na elementach indukcyjnych i prąd ładowania kondensatora mogą zmieniać się skokowo

8. Stan nieustalony w obwodzie rc w chwili t=0 dla zródła zmiennego

u(t)=U_Msin(wt+Ψ); i(t)=Cdu_c/dt

Ri(t)+u_c(t)=U_msin(wt+Ψ)

RCdu_c(t)/dt+u_c(t)=U_msin(wt+Ψ)

RCdu_cp(t)/dt+u_cp(t)=0

u_cp=Ae^(-t/τ)

u_c=u_cu+u_cp

i_u(t)=(U_m/Z)sin(wt+Ψ-ϕ); u_cu=(u_m/z­­)(1/wc)sin(wt+Ψ-ϕ)-π/2)

u_cu=-(u_m/Zwc)cos(wt+Ψ-ϕ)

8. przebieg napięcia na kondensatorze metoda klasyczna wlączenie źródła stałego, U_c(0)=0

u_c(0^-)=u_c(0⁺), t=0

u(t)=U

u_r+u_c=u; u_cu=U

Ri+u_c=U; i =C(du_c/dt)

RC(du_cp/dt)+u_cp=0 => du_cp/dt+(1/RC)*u_cp=0 => s+(1/RC)=0 => s₁=-(1/RC)

u_cp=A₁e^st =>Ae^(-t/τ)

0=U+A=>A=-U

U_c=U-Ue^(-t/τ)=U(1-e^-(t/τ))

8. przebieg napięcia na kondensatorze metoda klasyczna, włączenie źródła stałego, U₀=U_c U_o<U

u_c(0^-)=u_c(0⁺), t=0

u(t)=U

u_cp=Ae^(-t/τ)

u_c=-(u_m/Zwc)cos(wt+Ψ-ϕ)+ (u_m/Zwc)cos(Ψ-ϕ) e^-(t/τ)

8. Stan nieustalony w obwodzie rl w chwili t=0 dla zródła zmiennego

t=0, i(0^-)= i(0⁺)

u(t)=U_Msin(wt+Ψ)

Ri(t)+L((di(t)/dt)= U_Msin(wt+Ψ)

i(t)=i_u(t)+i_p(t)

i_u(t)=(Um/Z)sin(wt+Ψ-ϕ)

Ri_p(t)+L(di_p(t)/dt)=0

di_p(t)/dt+(R/L)i_p(t)=0 =>s+R/L=0

i_p(t)=A₁e^st=A₁e^-(R/L)t

i(t)=(U_m/Z)sin(wt+ Ψ-ϕ)+A₁e^-(R/L)t

i=i_u+i_p, t=0 => 0=(U_m/Z)sin(Ψ-ϕ), A­₁=-(U_m/Z)sin(Ψ-ϕ)

i(t)=(U_m/Z)sin(wt+ Ψ-ϕ)-(U_m/Z)sin(Ψ-ϕ)e^-(R/L)t

8. Metoda operatorowa – metoda rozwiązywania obwodów w stanie nieustalonym, polegająca na algebraizacji równań różniczkowo całkowych opisując układ wg rachunku operatorowego heavysidea

9. Wyznaczenie prawa Ohma z metody operatorowej dla warunków zerowych:

f(t)=(L(0)/M(0))+(suma od n, k=1)(L(s_k)/s_kM’(s_k))e^skt

t=0, i (0^-)= i(0⁺), u_c(0^-)=u_c(0⁺), u(t)=u

I(s)=U(s)/Z(s); I(s)=(U/S)/(R+sL+1/sC)=U/(s(R+sL+1/sC))=U/(s²L+Rs+1/C)=U/(L(S²+RS/L+1/LC))

I(s)=(U/L)/S²+RS/L+1/LC), s²+RS/L+1/LC=0

I(s)=(U/L)*(1/(S-S₁)(S-S₂)), S₁=-α+β, S₂= -α-β, α=R/2L, β=$\sqrt{\alpha^{2} - 1/LC}$

i(t)=(U/L)((1/2 β)e^s1t-(1/2 β)e^s2t))=(U/2 βL)(e^s1t-e^s2t)

8. Wyznaczenie prawa Ohma z metody operatorowej dla warunków niezerowych:

Z(s)=R+sL+1/sC, u(t)=U, u_c(0^-)=U, Li(0^-)=0

I(s)=(U(s)+ Li(0^-)- (u_c(0^-)/s))/(Z(s)

RCdu_c/dt+LCd²u_c/dt+u_c=u(t)

Ri+Ldi/dt+1/c∫idt=u(t)

F(s)=∫₀^∞f(t)e^-stdt

Ri(t)+Ldi(t)/dt+(1/c) * ∫₀^ti(t)dt+u_c(0^-)=u(t)

RI(s)+sLI(s)-Li(0^-)+(1/sC)*I(s)+(u_c(0^-)/s)=u(s)

I(s)=((U(s)+Li(0^-)-(u_c(0^-)/s))/(R+sL+1/sC)

8. Przypadek aperiodyczny : specjalny przypadek występujący w obwodzie szeregowym RLC w którym parametry obwodu spełniają relację R>2$\sqrt{L/C}$ Przy spełnieniu tego warunku oba bieguny są rzeczywiste i ujemne. Charakter zmian prądu w obwodzie w stanie przejściowym jest aperiodyczny (nieokresowy) zanikający do zera w sposób wykładniczy

i(t)=(U/L)*((1/2β)e^s1t-(1/2β)e^s2t

i(t)=(U/2βL)(e^s1t-e^s2t)

u_L=Ldi/dt, u_L(t)=(U/2β)(s₁e^s1t-s₂e^s2t)

u_c(s)=(1/sC), I(s)=(U/L)*(1/sC)*(1/(s-s₁))=(U/LC)*(1/s(s-s₁)(s-s₂))

u_c(t)=U+(U/2β)(s₂e^s1t-s₁e^s2t)

8. Czwórnik – element 4ro zaciskowy który ma 2 pary uporządkowanych zacisków : wejścia i wyjścia.

Czwórnik pasywny - czwórnik który nie wytwarza energii a jedynie pobiera ją ze źródła zasilającego i przetwarza w określony sposób. Czwórnik złożony z samych elementów pasywnych R, L, C i M jest zawsze czwórnikiem pasywnym. Czwórnik pasywny jest zdolny do gromadzenia i rozpraszania energii pobranej ze źródła, może ją również oddawać na zewnątrz, jednak w dowolnej chwili czasowej t energia ta nie może przewyższać energii pobranej.

Czwórnik aktywny - czwórnik, który nie spełnia warunków pasywności określonych dla czwórnika pasywnego. Stanowi generator energii

równania impedancyjne : metoda oczkowa z dwoma oczkami (U=ZI)

równania admitancyjne : (I=YU)

równania łańcuchowe : (U₁=ABU₂, I₁=CD(-I₂) )