7.8 Całkowanie funkcji wymiernych

Funkcja wymierna i ułamki proste

Definicja (Funkcja wymierna właściwa)

Funkcją wymierną:

(7.8.1)

nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku, tzn. n<m.

Uwaga: Każdą funkcję wymierną niewłaściwą (n≥m) można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

Definicja (Ułamek prosty 1-go rodzaju)

Funkcją wymierną właściwą postaci:

(7.8.2)

gdzie n∈N oraz a,A∈R, nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.

Definicja (Ułamek prosty 2-go rodzaju)

Funkcją wymierną właściwą postaci:

(7.8.3)

gdzie n∈N oraz p, q, B, C∈R przy czym Δ = p² - 4q < 0 nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

7.8 Całkowanie funkcji wymiernych

Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste

Twierdzenie (O rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)

Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista jest sumą ułamków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne.

Funkcja wymierna właściwa:

...(7.8.4)

jest sumą k₁+k₂+...k_r ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l₁+l₂+...+l_s ułamków prostych drugiego rodzaju, gdzie

• czynnikowi
odpowiada suma k_i ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci:

(7.8.5)

• a czynnikowi
odpowiada suma l_j ułamków prostych drugiego rodzaju postaci:

(7.8.6)

7.8 Całkowanie funkcji wymiernych

Przykłady rozkładu funkcji wymiernych na ułamki proste

(bez wyznaczania niewiadomych współczynników)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

Przykład 5

Przykład 6

7.8 Całkowanie funkcji wymiernych

Przykład rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste

(z wyznaczaniem niewiadomych współczynników)

Przykład 1 Przedstawić funkcję wymierną:

w postaci sumy ułamków prostych.

Stosując twierdzenie o równości wielomianów mamy układ:

Zatem szukany rozkład ma postać:

7.8 Całkowanie funkcji wymiernych

Algorytm całkowania funkcji wymiernych

Krok:	Operacja:	Twierdzenia:
	Zapis dowolnej funkcji wymiernej w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.	Tw. o dzieleniu wielomianów.
	Rozkład mianownika funkcji wymiernej właściwej na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne.	Tw. o grupowaniu wyrazów. Tw. o pierwiastkach wielomianu. Tw. o podzielności wielomianów.
	Zapis rozkładu funkcji wymiernej właściwej na ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju.	Tw. o rozkładzie funkcji wymiernej.
	Znalezienie nieznanych współczynników tego rozkładu oraz podanie jego ostatecznej postaci.	Tw. o równości wielomianów. Tw. o rozwiązywaniu układu równań liniowych metodą przeciwnych współczynników.
	Obliczenie całek nieoznaczonych poszczególnych składników rozkładu funkcji wymiernej (tj. wielomianu oraz ułamków prostych).	Tw. o całce nieoznaczonej. Podstawowe wzory całkowania.

7.8 Całkowanie funkcji wymiernych

Przykłady całkowania funkcji wymiernych

Przykład 1 Obliczyć całkę :

Rozwiązanie:

Rozkład:

---