3.6 Funkcje ciągłe

Ciągłość funkcji

Definicja (funkcja ciągła w punkcie)

Niech x₀∈R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x₀). Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy

(3.6.1)

Uwaga: warunek (3.6.1) można rozpisać w sposób następujący:

	(3.6.2)
	(3.6.3)
	(3.6.4)

Interpretacja geometryczna

nieciągłość w 1	nieciągłość w 1	ciągłość w 1

Definicje (funkcja ciągła w przedziale)

Funkcja ciągła w każdym punkcie pewnego przedziału (otwartego lub domkniętego) nazywa się funkcją ciągłą w tym przedziale.

3.6 Funkcje ciągłe

Ciągłość jednostronna funkcji

Definicja (funkcja lewostronnie ciągła w punkcie)

Niech x₀∈R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu
. Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy

(3.6.5)

Definicja (funkcja prawostronnie ciągła w punkcie)

Niech x₀∈R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu
. Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy

(3.6.6)

Twierdzenie

(Warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji)

Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciągła lewostronnie i prawostronnie.

Definicje (funkcja ciągła na przedziale)

Funkcja f jest ciągła w przedziale	jeżeli jest ciągła
(a,b) ,	w każdym punkcie tego przedziału
[a,b) ,	w (a,b) i prawostronnie ciągła w a
(a,b] ,	w (a,b) i lewostronnie ciągła w b
[a,b] ,	w (a,b), prawostronnie ciągła w a i lewostronnie ciągła w b
(-∞,b] ,	w (-∞,b) i lewostronnie ciągła w b
[a,+∞) ,	w (a,+∞) i prawostronnie ciągła w a

3.6 Funkcje ciągłe

Działania na funkcjach ciągłych

Twierdzenie

(O ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji)

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x₀, to:

1) funkcja f + g jest ciągła w punkcie x₀,

2) funkcja f - g jest ciągła w punkcie x₀,

3) funkcja f⋅g jest ciągła w punkcie x₀,

4) funkcja
jest ciągła w punkcie x₀ o ile g(x₀) ≠ 0.

Uwaga: Twierdzenie jest prawdziwe dla także dla funkcji ciągłych jednostronnie.

Twierdzenie (O ciągłości funkcji złożonej)

Jeżeli:

1) funkcja f jest ciągła w punkcie x₀,

2) funkcja g jest ciągła w punkcie y₀ = f(x₀),

to funkcja złożona g(f) jest ciągła w punkcie x₀.

Twierdzenie (O ciągłości funkcji odwrotnej)

Niech A oraz B będą dowolnymi przedziałami. Jeżeli funkcja f: A→B jest ściśle monotoniczna i ciągła, to funkcja odwrotna f^-1: B→A jest także ciągła.

Twierdzenie (O ciągłości funkcji elementarnej)

Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach.

Twierdzenie

(O monotoniczności funkcji ciągłej i różnowartościowej)

Niech funkcja f będzie ciągła na przedziale A. Wówczas funkcja f jest różnowartościowa na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest tam ściśle monotoniczna.

3.6 Funkcje ciągłe

Przykład 1 Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie x=0

Odpowiedź: Funkcja f nie jest ciągła w punkcie x=0.

Przykład 2 Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie x=0

Odpowiedź: Funkcja f jest ciągła w punkcie x=0.

3.6 Funkcje ciągłe

Przykład 3 Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie x=0

Odpowiedź: Funkcja f nie jest ciągła w punkcie x=0.

Przykład 4 Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie x=0

Odpowiedź: Funkcja f jest ciągła w punkcie x=0.

3.6 Funkcje ciągłe

Przykład 5 Uzasadnić ciągłość funkcji:

Rozwiązanie:

• Zauważmy najpierw, że dla |x|≠1 mamy:

• Wykazanie, że funkcja f jest ciągła w każdym punkcie x₀ spełniającym warunek |x₀| ≠ 1.

Zatem:

Oznacza to, że funkcja f jest ciągła w każdym punkcie x₀.

• Niech x₀ będzie liczbą spełniającą warunek |x₀|=1. Wtedy:

Oznacza to, że funkcja f jest ciągła w punkcie x₀=1.

Odpowiedź:

Badana funkcja f jest ciągła w zbiorze R.

3.7 Nieciągłość funkcji

Definicja (Nieciągłość funkcji)

Niech x₀∈R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x₀). Funkcja f jest nieciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje granica

(3.7.1)

albo, gdy

(3.7.2)

Uwaga: Nieciągłość funkcji można rozważać jedynie w punktach należących do jej dziedziny.

Definicja (Nieciągłość pierwszego rodzaju)

Funkcja f ma w punkcie x₀ nieciągłość pierwszego rodzaju, jeżeli istnieją granice skończone

(3.7.3)

oraz

(3.7.4)

Definicje (Nieciągłość pierwszego rodzaju)

Funkcja f ma w punkcie x₀ nieciągłość pierwszego rodzaju typu „skok”, jeżeli

(3.7.5)

Funkcja f ma w punkcie x₀ nieciągłość pierwszego rodzaju typu „luka”, jeżeli

(3.7.6)

3.7 Nieciągłość funkcji

Przykład 1 Nieciągłość typu „skok”

Przykład 2 Nieciągłość typu „luka”

3.7 Nieciągłość funkcji

Definicja (Nieciągłość drugiego rodzaju)

Funkcja f ma w punkcie x₀ nieciągłość drugiego rodzaju, jeżeli co najmniej jedna z granic

(3.7.7)

nie istnieje lub jest niewłaściwa.

Przykład 3 Granice jednostronne są niewłaściwe

Przykład 4 Granica lewostronna nie istnieje

3.7 Nieciągłość funkcji

Przykład 1 Określić rodzaj nieciągłości funkcji f w punkcie x₀.

Rozwiązanie:

Funkcja jest nieciągła w punkcie, jeżeli jej granica w tym punkcie nie istnieje albo jest różna od jej wartości.

Odpowiedź: Badana funkcja ma w punkcie x₀=0 nieciągłość pierwszego rodzaju typu “luka”

Przykład 2 Określić rodzaj nieciągłości funkcji f w punkcie x₀.

Rozwiązanie:

Funkcja jest nieciągła w punkcie, jeżeli jej granica w tym punkcie nie istnieje albo jest różna od jej wartości.

Odpowiedź: Badana funkcja ma w punkcie x₀=2 nieciągłość pierwszego rodzaju typu “skok”.

---