Vii. całki nieoznaczone

7.1 Funkcje pierwotne

Operacje:

	F(x)	→	F′(x) = f(x)	Wyznaczanie pochodnej
						dF = f(x)dx	Różniczkowanie
Wyznaczanie funkcji pierwotnej	F(x)		←	f(x)
Całkowanie	F(x)+C, C∈R

Definicja (Funkcja pierwotna)

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale A, jeżeli

(7.1.1)

Twierdzenie (Podstawowe o funkcjach pierwotnych)

Niech funkcja F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale A. Wtedy

G(x) = F(x) + C, gdzie C∈R, jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale A,	(7.1.2)
Każdą funkcję pierwotną funkcji f(x) na przedziale A można przedstawić w postaci F(x) + D, gdzie D∈R.	(7.1.3)

Twierdzenie

(Warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)

Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale.

(7.1.4)

Uwaga: Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną.

7.2 Całka nieoznaczona

Definicja (Całka nieoznaczona)

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale A. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale A nazywamy zbiór funkcji:

(7.2.1)

Uwaga: Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy symbolem

(7.2.2)

Interpretacja geometryczna całki nieoznaczonej

TwierdzeniA

Niech funkcja F ma funkcją pierwotną na przedziale A. Wtedy dla każdego x∈A:

• (Pochodna całki nieoznaczonej)

(7.2.3)

• (Całka nieoznaczona pochodnej)

(7.2.4)

7.3 Całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych

Całka nieoznaczona:	Uwagi:
	C∈R, x∈R	(7.3.1)
	n ≠ -1, n∈R\A*	(7.3.2)
	x∈(-∞,0)∪(0,+∞)	(7.3.3)
	a≠1, a>0, x∈R	(7.3.4)
	x∈R	(7.3.5)
	x∈R	(7.3.6)
	x∈R	(7.3.7)
		(7.3.8)
		(7.3.9)
	x∈R	(7.3.10)
	x∈(-1,1)	(7.3.11)
	x∈R	(7.3.12)
	x∈R	(7.3.13)
	x∈R	(7.3.14)
	x∈(-∞,0)∪(0,+∞)	(7.3.15)

7.4 Twierdzenia o całkach nieoznaczonych

TwierdzeniA (O liniowości całki nieoznaczonej)

Jeżeli funkcje f oraz g mają funkcje pierwotne, to

	(7.4.1)
	(7.4.2)
	(7.4.3)

TwierdzeniA (O całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli

1. funkcja f: A → R jest ciągłą na przedziale A,

2. funkcja ϕ: B → A ma ciągłą pochodną na przedziale B,

to

(7.4.4)

TwierdzeniA (O całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje u oraz v mają ciągłe pochodne, to

(7.4.5)

Niech y=u(x)v(x), u=u(x), du=u′(x)dx, v=v(x), dv=v′(x)dx

Wtedy

7.5 Całkowanie funkcji zawierających

trójmian kwadratowy

a² - 2ab + b² = ( a - b )² , a² + 2ab + b² = ( a + b )²

Typ całki:	Stosowane wzory:
(7.5.1)	lub
(7.5.2)	i jeden z powyższych
(7.5.3)	lub
(7.5.4)	lub

7.6 Całkowanie funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Wybrane wzory rekurencyjne

	(7.6.1)
	(7.6.2)
	(7.6.3)
	(7.6.4)

Przykład 1

Przykład 2

7.7 Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Wybrane wzory rekurencyjne

	(7.7.1)
	(7.7.2)
	(7.7.3)
	(7.7.4)

Przykład 1

Przykład 2

---