Liczby Zespolone Postać algebraiczna z=a+bi=(a,b) a-rzeczywista, b-urojona ϵR i²=(-1) Dodawanie Z₁+Z₂=(a1+a2)+i(b1+b2); Odejmowanie Z₁+Z₂=(a1-a2)+i(b1-b2); Mnożenie Z₁+Z₂= (a1+b1i)(a2+b2i); Dzielenie $\frac{Z1}{Z2} = \frac{a1 + b1i}{a2 + b2i}*\frac{a2 - b2i}{a2 - b2i}$; postać trygonometryczna: Z=a+bi=r(cosφ+isinφ)=re^iφ-postać wykładnicza, r-moduł=$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ φ-argument; Wzór Eulera e^iφ=cosφ+isinφ; Mnożenie (r1*r2)e^i(φ1+φ2)=(r1r2)(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)); Dzielenie $\frac{Z1}{Z2}$=$\left( \frac{r1}{r2} \right)e^{i\left( \varphi 1 - \varphi 2 \right)}$=$\left( \frac{r1}{r2} \right)$(cos(φ1-φ2)+isin(φ1-φ2)); potęgowanie Zⁿ=rⁿ * e^i(φ*n); pierwiastkowanie $\sqrt[n]{Z}|_{k} = \sqrt[n]{r}*e^{i\left( \frac{\varphi + 2\text{kπ}}{n} \right)} = \sqrt[n]{r}(\cos\left( \frac{\varphi + 2\text{kπ}}{n} \right) + \text{isin}\left( \frac{\varphi + 2\text{kπ}}{n} \right)$ gdzie k=0,1,….,n-1
Macierze def. Iloczynem kartezjańskim AxB nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych {(a,b): aϵA, bϵB} –kolejność jest ważna! def Macierzą o m-wierszach i kolumnach(o elementach rzecz, zesp} nazywamy dowolną funkcję f: {1,2,…..,m}x{1,2,….,n}→R,(Z). Funkcja ta każdej parze liczb naturalnych (i,j) przypisuje liczbę rzeczywistą(zespoloną) 1≤i≤m, 1≤j≤n, a_ij. Funkcję tą w sposób jawny można przedstawić w postaci tablicy o m-wierszach i n-kolumnach. Element a_ij leży w i-tym wierszu i j-tej kolumnie$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n} \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{\text{mn}} \\ \end{matrix}$ macierze oznaczamy A,B…. lub A_mxn Uwaga: ᶆ ­_mxn(R,Z)-zbiór wszystkich macierzy o m-wierszach i n-kolumnach i el rzecz(zesp) Działania w zbiorze macierzy: 1) Dodawanie macierzy (a_ij)_mxn,(b_ij)_mxn ϵ ᶆ_mxn(R,Z); (a_ij)_mxn+(b_ij)_mxn=(c_ij)_{mxn ;} $\bigwedge_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n \\ \end{matrix}}^{}{\{ c_{\text{ij}} = a_{i,j} + b_{i,j}}\}$ Własności dodawania a) $\bigwedge_{A,B,C\epsilon m_{\text{mxn}}}^{}{}${(A+B)+C=A+(B+C)} –łączność; b)$\ \bigwedge_{A,B\epsilon m_{\text{mxn}}}^{}{}${A+B=B+A}-przemienność; c)$\bigvee_{O_{\text{mxnϵ}m_{\text{mxn}}}}^{}\bigwedge_{\text{Aϵ}m_{\text{mxn}}}^{}${A+Ø=Ø+A=A)-macierz zerowa; d)$\bigwedge_{\text{Aϵ}m_{\text{mxn}}}^{}\bigvee_{\left( - A \right)\epsilon m_{\text{mxn}}}^{}${A+(-A)=(-A)+A=Ø}-macierz przeciwna 2)Mnożenie macierzy przez skalar Niech kϵR (skalar), (a_ij)_mxnϵᶆ_mxn(R,Z) def. k*(a_ij)_mxn=(b_ij)_mxn, gdzie $\bigwedge_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n \\ \end{matrix}}^{}{}${b_ij=k*a_ij} Własności mnożenia macierzy przez skalar: k,k₂,k₃ ϵR, A,Bϵᶆ_mxn a)*(k₁+k₂)A=k₁A+k₂A; b)*k(A+B)=kA+KB; c)*(k₁*k₂)A=k₁(k₂A); d)*1*A=A; Dowolny zbiór z działaniem: A(+) spełniający warunki a,b,d nazywamy grupą, jeśli spełnia a,b,c,d grupą abelową; Zbiór A(+,*) spełniający warunki a,b,c,d,a*,b*,c*,d* to przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych 3)Mnożenie macierzy mamy (a_ij)_mxkϵᶆ_mxk(R,Z), (b_ij)_kxnϵᶆ_kxn(R,Z) def. (a_ij)_mxk*(b_ij)_kxn=(c_ij)_mxn, gdzie $\bigwedge_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n \\ \end{matrix}}^{}{}${c_ij=$\sum_{s = 1}^{k}{}$a_is*b_si}, (c_ij=a_i1b_1j+ a_i2b_2j+ a_ikb_kj) UWAGA $\overset{\overline{}}{v}$=[a₁,a₂,…,a_n] ϵRⁿ, $\overset{\overline{}}{w}$==[b₁,b₂,…,b_n] ϵRⁿ, Iloczyn skalarny $\overset{\overline{}}{v}*\overset{\overline{}}{w}$=a₁b₁+a₂b₂+a_nb_n, element c_ij leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie macierzy będącej iloczynem macierzy (a_ij)_mxk*(b_ij)_kxn jest równy iloczynowi skalarnemu i-tego wiersza pierwszej macierzy i j-tej kolumny drugiej macierzy.

Wybrane własności iloczynu macierzy:1)(AB)C=A(BC)-łączność; 2)mnożenie nie przemienne(na ogół AB≠BA) 3)A(B+C)=AB+AC-rozdzielność względem dodawania 4)kϵR, k(AB)=(kA)B=A(kB) 5)(A*B)^T=B^T*A^T 6)IA=AI=A, uwaga: A,Bϵᶆ_nxn(R,Z); def.(Transponowanie macierzy) ((a_ij)_mxn)^T=(b_ij)_nxm, gdzie $\bigwedge_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq i \leq n \\ \end{matrix}}^{}{}${b_ij=a_ij} def. I_nxn-macierz jednostkowa[kwadratowa] I_nxn=(a­_ij)_nxn, gdzie $\bigwedge_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq i \leq n \\ \end{matrix}}^{}{}$a_ij$\left\{ \begin{matrix} 1\ i = j \\ 0\ i \neq j \\ \end{matrix} \right.\ $ przykład I_2x2$\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}$ Wyznacznikidef.(wyznacznik) wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcje: det:ᶆ_nxn(R,Z)→R,(Z) określoną indukcyjnie: 1)det[a₁₁]=a₁₁ 2)det$\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{\text{ann}} \\ \end{bmatrix}$_nxn=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+….+a_1nA_1n, gdzie A_ij=(-1)^i+jM_ij, A_ij – dopełn. algebr. el.(a_ij), M_ij-minor dopełniający elementu a_ij, czyli wyznacznik stopnia n-1, który powstał z naszego wyznacznika przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Przykład det$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}$=$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right|$= a₁₁A₁₁+a₁₂aA₁₂= a₁₁(-1)¹⁺¹M₁₁+ a₁₂(-1)¹⁺²M₁₂= a₁₁|a₂₂|+a₁₂(-1)|a₂₁|=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁. Własności wyznaczników 1) |A^T|=|A| (jeżeli mamy tw. tyczące wierszy wyzn. to analogiczne tw. można sformuować dla kolumny) 2)Jeżeli jeden wiersz bądź kolumna składa się z samych zer to |A|=0 3)Jeżeli zamienimi miejscami dwa wiersze bądź dwie kolumny, to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną 4)Jeżeli dwa wiersze lub kolumny wyznacznika są identyczne to |A|=0 5)Jeżeli dwa wiersze lub kolumny wyznacznika są proporcjonalne(w_i=k*w_j) to |A|=0 umowa: k₁,k₂,….,k_nϵR(skalar), v₁,v₂,…,v_nϵV(wektory) to k₁v₁+…+k_nv_n nazywamy liniową kombinacją wektorów v o współczynnikach k. Linie wyznacznika możemy potraktować jako wektory [a_i1,a­_i2,…,a_in]ϵR⁴ 6)Jeżeli jedna kolumna lub wiersz wyznacznika jest liniową kombinacją innych wierszy lub kolumn to |A|=0 7)Jeżeli do jednej kolumny lub wiersza wyznacznika dodamy linową kombinację innych wierszy lub kolumn to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie 8)(Twierdzenie Laplace’a) →$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{\text{in}} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{\text{nn}} \\ \end{matrix} \right|$=a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in,
gdzie A_ij-dopełnienie alg. a_ij, A_ij=(-1)^i+jM_ij, M_ij-minor dopełniający el. a_ij (Tw. można stosować analogicznie dla kolumn(bo |A^T|=|A| przykład $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix}$= 1(-1)¹⁺¹$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}$+0A₁₂+0A₁₃=-4 uwaga(metoda obliczania wyznaczników) za pomocą operacji na wyznacznikach nie zmieniających jego wartości doprowadzamy do sytuacji, w której w wybranej kolumnie lub wierszu wyznacznika pojawia się duża ilość zer i stosujemu tw. Laplace’a Macierz odwrotna def. macierz nieosobliwa: |A|≠0, osobliwa: |A|=0 Tw. Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to istnieje macierz odwrotna A^-1: A*A^-1=A^-1*A=I, Procedura wyznaczania macierzy odwrotnej 1) |A|≠0 2) A^T 3) (A^T)^D – macierz dopełnień alg. macierzy trans. 4) A^-1=$\frac{1}{\left| A \right|}$*(A^T)^D

Układ równań Kramera def. układ złożony z m-równań liniowych o n-niewiadomych:
a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁
a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂ (*)
……………………….
a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m
gdzie: x1,x2,….,xn – niewiadome $\bigwedge_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq i \leq n \\ \end{matrix}}^{}{}$a_ijϵR b_jϵR zapisujemy AX=B, gdzie A=$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{\text{mn}} \\ \end{bmatrix}$ macierz układu X=$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}$ kolumna niewiadomych B=$\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \ldots \\ b_{m} \\ \end{bmatrix}$ kolumna wyrazów wolnych def. rozwiązaniem układu(*) nazywamy każdy układ n liczb: [x₁^u,x₂^u,…, x_n^u] takich, że po podstawianiu ich za niewiadome: x_i^u→x_i układ z(*) zmieni się w układ tożsamości. Rozwiązać układ(*) oznacza znaleźć wszystkie jego rozwiązania. def. Układ równań (*) nazywamy układem Kramera gdy spełnia warunki 1) m=n (ilość równań jest taka sama jak niewiadomych 2) wyznacznik macierzy układy jest ≠ 0 Tw. Układ Kramera ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami x_i=$\frac{\text{Wi}}{W}$, gdzie W=|A|- wyznacznik macierzy układu W_i­-wyznacznik który powstał z wyznacznika W przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych B Przykład $\left\{ \begin{matrix} x + y = 1 \\ 2x + y = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ $ m=2, n=1 1)m=n |A|=$\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \\ \end{matrix} \right|$=-3≠0=W 2)|A|≠0 czyli układ Kramera x=W1/W=0/3=0 y=W2/W=-3/-3=1 rozwiązanie [0,1] Rozwiązywanie układów równań Kramera za pomocą macierzy odwrotnej zapisujemy układ w postaci AX=B i dalej 1)obie strony mnożymy przez A^-1 lewostronnie wychodzi IX=A^-1B gdzie I to jednostkowa i możemy ją pominąć Rząd macierzy def. Rzędem macierzy nazywamy najwyższy ze stopni minorów różnych od zera – zawartych w tej macierzy rz(A) wyznaczanie rzędu macierzy: Tw. przy szukaniu rzędu macierzy poruszamy sięod wyznaczników mniejszych stopni do wyższych stopni, jeżeli znajdziemy wyzn. różny od 0 stopnia k, zaś wszystkie zawierające go wyznaczniki stopnia k+1 są równe zero, to rząd macierzy równa się k operacje elementarne na macerzach 1.zamiana miejscami dwóch wierszy/kolumn macierzy 2.pomnożenie kolumny/wiersza przez k≠0 3.dodanie do wiersza/kolumny kombinacji liniowej innych wierszów/kolumn Tw. Operacje elementarne nie zmieniają rzędu macierzy def. mówimy, że macierz A=(a_ij)_mxn ma postać diagonalną jeżeli $\bigwedge_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n \\ i \neq j \\ \end{matrix}}^{}{}${a_ij=0} $\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & a_{\text{mn}} \\ \end{bmatrix}$
Tw. Za pomocą operacji elementarnych każdą macierz można doprowadzić do postaci diagonalnej Tw. Rząd macierzy w postaci diagonalnej jest równy ilości niezerowych elementów tej macierzy

Uklad równań liniowych sytuacja ogólna mamy układ m-równań liniowych o n-niewiadomych
a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁
a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂ (*)
……………………….
a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m
A=$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{\text{mn}} \\ \end{bmatrix}$ macierz układu U=$\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} & b_{1} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & \ldots & a_{\text{mn}} & b_{m} \\ \end{bmatrix}$ macierz poszerzona o kolumnę wyrazów wolnych B=$\begin{bmatrix} b_{1} \\ \ldots \\ b_{m} \\ \end{bmatrix}$ Twierdzenie(Kionecker-Capelli Układ(*) ma rozwiązania rz(A)=rz(U) dodatkowo jeśli rz(A)=rz(U)=k to 1) k=n – układ ma jedno rozwiązanie 2) k<n – układ ma nieskończenie wiele rozwiązań Elementy rachunku wektorowego def. wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów przestrzeni: (A,B)= $\overline{A,B}$. długość wektora $\overline{A,B}$ - długośc odcinka AB:$\ |\overline{A,B|}$, wektor Θ – wektor zerowy A=B def. Równość wektorów $\overline{A,B}$=$\overline{C,D}$: 1)wektory te mają tą samą długość 2)mają ten sam kierunek(są równoległe) 3)mają ten sam zwrot def. sumą wektorów $\overset{\overline{}}{a}$+$\overset{\overline{}}{b}$ nazywamy wektor $\overset{\overline{}}{c}$ uzyskany w taki sposób: do końca wektora $\overset{\overline{}}{a}$ przykładamy początek wektora $\overset{\overline{}}{b}$. suma to wektor którego początek to początek $\overset{\overline{}}{a}$ a koniec koniec $\overset{\overline{}}{b}$ lub inaczej zasada równoległoboku własności dodawania wektorów V- zbiór wszystkich wektorów $\mathbf{1)\ }\bigwedge_{\overset{\overline{}}{a},b\epsilon V}^{}{}${$\overset{\overline{}}{a}$+$\overset{\overline{}}{b}$=$\overset{\overline{}}{b}$+$\overset{\overline{}}{a}$} przemienność $\mathbf{2)}\bigwedge_{\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b},\overset{\overline{}}{c}\text{ϵV}}^{}{}${($\overset{\overline{}}{a}$+$\overset{\overline{}}{b}$)+$\ \overset{\overline{}}{c}$=$\overset{\overline{}}{a}$($\overset{\overline{}}{b}$+$\overset{\overline{}}{c}$) łączność $\mathbf{3)}\bigvee_{\text{ΘϵV}}^{}\bigwedge_{\overset{\overline{}}{a}\text{ϵV}}^{}${$\overset{\overline{}}{a}$+Θ=Θ+$\overset{\overline{}}{a}$=$\overset{\overline{}}{a}$} wektor zerowy 4)$\bigwedge_{\overset{\overline{}}{a}\text{ϵV}}^{}\bigvee_{( - \overset{\overline{}}{a)}\text{ϵV}}^{}${$\overset{\overline{}}{a}$+(-$\overset{\overline{}}{a}$)=(-$\ \overset{\overline{}}{a}$)+$\ \overset{\overline{}}{a}$=Θ wektor przeciwny ogólnie A(+) mający własności 2,3,4 to grupa, V(+) grupa przemienna z wł 1,2,3,4 to przemienna-abelowa iloczyn wektora i liczby kϵR(skalar) $\overset{\overline{}}{a}$ϵV(wektor) def. k$\overset{\overline{}}{a}$=$\overset{\overline{}}{a}$k=$\overset{\overline{}}{b}$ϵV a) |k$\overset{\overline{}}{a}$|=|$\overset{\overline{}}{b}$|=|k|*|$\overset{\overline{}}{a}$| b) k$\overset{\overline{}}{a}$||$\overset{\overline{}}{a}$ – kierunek c) k>0 zwroty $\overset{\overline{}}{a}$,k$\overset{\overline{}}{a}$ takie same k<0 przeciwne własności$\overset{\overline{}}{a}$,$\ \overset{\overline{}}{b}$ϵV, kϵR 1)*(k­₁+k₂)$\ \overset{\overline{}}{a}$=k₁$\overset{\overline{}}{a}$+k₂$\overset{\overline{}}{a}$ 2)*k($\overset{\overline{}}{a}$+$\overset{\overline{}}{b}$)=k$\overset{\overline{}}{a}$+k$\overset{\overline{}}{b}$ 3)*(k₁k₂)$\ \overset{\overline{}}{a}$=k₁(k­₂$\overset{\overline{}}{a}$) 4)*1$\overset{\overline{}}{a}$=$\overset{\overline{}}{a}$ Zbiór V(+,*) z własnościami 1,2,3,4,1*,2*,3*,4* to tzw przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych Iloczyn skalarny macierzy def. $\overset{\overline{}}{a}$ₒ$\overset{\overline{}}{b}$=$\left\{ \begin{matrix} \left| \overset{\overline{}}{a} \right|*\left| \overset{\overline{}}{b} \right|cos < \left( \overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b} \right) - \overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b} \neq \Theta \\ 0 - \ \overset{\overline{}}{a} = \Theta\ i\ \overset{\overline{}}{b = \Theta} \\ \end{matrix} \right.\ $ własności 1) $\overset{\overline{}}{a}$ₒ$\overset{\overline{}}{b}$=$\overset{\overline{}}{b}$ₒ$\overset{\overline{}}{a}$ - przemienność(nie ma łączności) 2)$\ \overset{\overline{}}{a}$ₒ($\overset{\overline{}}{b}$+$\overset{\overline{}}{c}$)=$\ \overset{\overline{}}{a}$ₒ$\overset{\overline{}}{b}$+$\overset{\overline{}}{a}$ₒ$\overset{\overline{}}{c}$ rozdzielność wzgl dodawania 3) k($\overset{\overline{}}{a}$ₒ$\overset{\overline{}}{b}$)=(k$\overset{\overline{}}{a}$)ₒ$\ \overset{\overline{}}{b}$=$\overset{\overline{}}{a}\lbrack?\rbrack$(k$\overset{\overline{}}{b}$) 4)$\ \overset{\overline{}}{a}\lbrack?\rbrack\overset{\overline{}}{a}$=|$\overset{\overline{}}{a}$||$\overset{\overline{}}{a}$|=|$\overset{\overline{}}{a}$|²=> |$\overset{\overline{}}{a}|$=$\sqrt{\overset{\overline{}}{a}*\overset{\overline{}}{a}}$ dł wektora $\overset{\overline{}}{a}$ 5)warunek prostopadłości wektorów($\overset{\overline{}}{a}$ₒ$\overset{\overline{}}{b}$=0), warunek równoległości $\bigvee_{\text{kϵR}}^{}{}${$\overset{\overline{}}{a}$=k$\overset{\overline{}}{b}$ i $\overset{\overline{}}{b}$=k$\overset{\overline{}}{a}$} gdzie $\overset{\overline{}}{a}$,$\ \overset{\overline{}}{b}$≠Θ to $\overset{\overline{}}{a}$||$\overset{\overline{}}{b}$ $\bigvee_{k\text{ϵR}}^{}{}${$\overset{\overline{}}{a}$=k$\overset{\overline{}}{b}$} $\overset{\overline{}}{\text{AB}}$ gdy A(xp,yp,zp), B(xk,yk,zk) to $\overset{\overline{}}{\text{AB}}$=[xk-xp,yk-yp,zk-zp] własności $\overset{\overline{}}{a}$=[ax,bx]=axi+ayj $\overset{\overline{}}{b}$=[bx,by]=bxi+byj $\overset{\overline{}}{a}$ₒ$\overset{\overline{}}{b}$=axbx+ayby1)$\ \overset{\overline{}}{a}$ₒ$\overset{\overline{}}{b}$=axbx+ayby 2)|$\ \overset{\overline{}}{a}$|=$\sqrt{\overset{\overline{}}{a}\overset{\overline{}}{a}}$=$\sqrt{\text{ax}^{2} + \text{ay}^{2} + \text{az}^{2}}$ długość wektora 3)cos<(a,b)=$\frac{\overset{\overline{}}{a}\lbrack?\rbrack\overset{\overline{}}{b}}{\left| \overset{\overline{}}{a} \right|\left| \overset{\overline{}}{b} \right|}$ 4)$\ \overset{\overline{}}{a}$+$\overset{\overline{}}{b}$=[ax+bx,ay+by,az+bz] 5)k$\overset{\overline{}}{a}$=k[az,ay,az]=[kax,kay,kaz] 6)warunek prostopadłości wektorów axbx+ayby+azbz=0 7)warunek || wektorów $\bigvee_{\text{kϵR}}^{}{}$[ax,ay,az]=[kbx,kby,kbz]<=>{$\frac{\text{ax}}{\text{bx}} = \frac{\text{ay}}{\text{by}} = \frac{\text{az}}{\text{bz}}$}

Iloczyn wektorowy def. Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary niezerowych i nierównoległych wektorów $\overset{\overline{}}{a}$,$\ \overset{\overline{}}{b}$: $\overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{b}$ nazywamy wektor: 1)|$\ \overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{b}$|=|$\overset{\overline{}}{a}$||$\overset{\overline{}}{b}$|sin<(a,b)-długość 2)$\ \overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{b}$ jest prostopadłe do $\overset{\overline{}}{a}$ i $\overset{\overline{}}{b}$ – kierunek 3)trójka wektorów ($\overset{\overline{}}{a}$,$\ \overset{\overline{}}{b}$,$\ \overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{b}$) jest zgodnie skrętna z przyjętym układem współrzędnych(reguła prawej dłoni) jeżeli $\overset{\overline{}}{a}$||$\overset{\overline{}}{b}$ lub $\overset{\overline{}}{a}$=Θ i $\overset{\overline{}}{b}$=Θ to $\overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{b}$=Θ własności 1) $\overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{b}$=-$\overset{\overline{}}{b}$x$\overset{\overline{}}{a}$ - antyprzemienność 2)$\ \overset{\overline{}}{a}$x$(\overset{\overline{}}{b}$+$\overset{\overline{}}{c}$)=$\ \overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{b}$+$\overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{c}$ rozdzielnośc wzgl doda. 3)k($\overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{b}$)=(k$\overset{\overline{}}{a}$)x$\overset{\overline{}}{b}$=$\overset{\overline{}}{a}$x(k$\overset{\overline{}}{b}$) 4) $\overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{b}$=$\left| \begin{matrix} i & j & k \\ \text{ax} & \text{ay} & \text{az} \\ \text{bx} & \text{by} & \text{bz} \\ \end{matrix} \right|$ 5)|$\ \overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{b}$|= pole równoległoboku iloczyn mieszany def. iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów $\overset{\overline{}}{a}$,$\ \overset{\overline{}}{b}$,$\ \overset{\overline{}}{c}$ nazywamy liczbę [$\overset{\overline{}}{a}$,$\ \overset{\overline{}}{b}$,$\ \overset{\overline{}}{c}$]=($\ \overset{\overline{}}{a}$x$\overset{\overline{}}{b}$)ₒ$\ \overset{\overline{}}{c}$=$\overset{\overline{}}{a}\lbrack?\rbrack$($\overset{\overline{}}{b}$x$\overset{\overline{}}{c}$) własności [$\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b},\overset{\overline{}}{c}$]=$\begin{bmatrix} \text{ax} & \text{ay} & \text{az} \\ \text{bx} & \text{by} & \text{bz} \\ \text{cx} & \text{cy} & \text{cz} \\ \end{bmatrix}$ 2) |[$\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b},\overset{\overline{}}{c}$]|=V równoległoboku abc, 1/3 ostrosłupa, 1/6 czworościanu 3) wektory $\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b},\overset{\overline{}}{c}$ są współpłaszczyznowe [$\overset{\overline{}}{a},\overset{\overline{}}{b},\overset{\overline{}}{c}$]=0 równanie ogólne płaszczyzny: Ax+By+Cz-D=0; równanie kanoniczne prostej: ₍x-xo)/m=(y-yo)/n=(z-zo)/p=t; równanie parametryczne prostej $\left\{ \begin{matrix} x = xo + mt \\ y = yo + nt \\ z = zo + pt \\ \end{matrix} \right.\ $ def.Dwie proste nieprzecinające się i nierównoległe to proste skośne def (kula otwarta o środku w po i promieniu r – otoczenie punktu Po o promieniu r) K(Po,r)=0(Po,r)={PϵRⁿ: ρ(P,Po)<r} def. Sąsiedztwo punktu Po o promieniu r: K(Po,r)=0(Po,r)-{Po} Ekstrema lokalne funkcji dwu zmiennych def. Mówimy, że funkcja z=f(X), XϵRⁿ ma w punkcjie Xo ekstremum lokalne(maks, min)$\bigvee_{S\left( Xo,E \right)}^{}\bigwedge_{\text{XϵS}\left( Xo,E \right)}^{}$ f(X)≤(≥)f(Xo) def. Mówimy, że funkcja z=f(X), XϵDcR⁴ jest klasy C_Dⁿ jeżeli ma w D wszystkie pochodne ciągłe aż do rzędu n-tego włącznie f(X)ϵC_Dⁿ Tw. Jeżeli funkcja z=f(x,y)ϵC_D¹ ma w punkcjie Po(xo,yo) ekstremum lokalne, Po(xo,yo)ϵD to:$\left. \ \begin{matrix} \frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial x}|_{\left( x,yo \right)} = 0 \\ \frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial y}|_{\left( xo,y \right)} = 0 \\ \end{matrix} \right\}\left( * \right)\text{\ \ }$warunek konieczny ale niewystarczający aby w (xo,yo) występowało ekstremum lokalne def. Punkt(xo,yo) spełniający warunki (*) nazywamy punktem stacjonarnym Tw. Jeżeli funkcja z=f(x,y)ϵC_D² w punkcie stacjonarnym (xo,yo) spełnia warunek: I W(xo,yo)=W(x,y)|_(xo,yo)=$\left| \begin{matrix} \frac{\partial^{2}f}{{\partial x}^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} \\ \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^{2}f}{{\partial y}^{2}} \\ \end{matrix} \right|$|_(xo,yo)>0, to w punkcie stacjonarnym(xo,yo) występuje ekstremum lokalne: a)$\ \frac{\partial^{2}f}{{\partial x}^{2}}$|_(xo,yo)>0 minimum lokalne b)$\text{\ \ }\frac{\partial^{2}f}{{\partial x}^{2}}$|_(xo,yo)<0 maksimum lokalne II W(xo,yo)<0 to w pkt stacjonarnym nie występuje ekstremum lokalne III W(xo,yo)=0 nie wiadomo czy występuje ekstremum Przykład z=x²+y² 1)punkty stacjonarne $\left. \ \begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \\ \end{matrix} \right\}$ $\left. \ \begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \\ \frac{\partial z}{\partial y} = 2y \\ \end{matrix} \right\}$ $\left. \ \begin{matrix} 2x = 0 \\ 2y = 0 \\ \end{matrix} \right\}$=> x=0, y=0 P(0,0) – pkt stacjonarny 2)sprawdzić warunek wystarczający $\frac{\partial^{2}z}{{\partial x}^{2}}$=2, $\frac{\partial^{2}z}{\partial y\partial x}$=0, $\ \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}$=0,$\ \frac{\partial^{2}z}{{\partial y}^{2}}$=2 W(x,y)=$\left| \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right|$|_(0,0)=4>0 jest ekstremum, ponieważ $\frac{\partial^{2}z}{{\partial x}^{2}}$=2 to w pkt stacjonarnym (0,0) występuje minimum lokalne Całka podwójna Całka podwójna w prostokącie: Mamy w prostokącie P: $\left. \ \begin{matrix} a \leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \\ \end{matrix} \right\}$ określoną funkcje z=f(x,y) ograniczoną. Oznaczmy przez {π_n} podział prostokąta P na n podprostokątów:∆x1,∆x2,…,∆xn: :∆x1u∆x2u…u∆xn=P, poszczególne podprostokąty mogą mieć co najwyżej wspólny brzeg. W każdym z podprostokątów ∆xi wybieramy punkt pośredni Aiϵ∆xi. Oznaczmy przez |∆xi| pole i-tego podprostokąta. Tworzymy sumy całkowe Sn=f((A1)|∆x1|+f(A2)|∆x2|+…+f(An)|∆xn|) def. Oznaczmy przez δu średnicę podziału π_n: δu to największa z długości przekątnych podprostokątów ∆xi def. Mówimy, że ciąg podziałów{π_n} jest normalny jeżeli δn = 0 def.(Całka podwójna) Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów {π_n­} prostokąta P istnieje skończona granica ciągu sum całkowitych: Sn = S zawsze taka sama, niezależnie od wyboru ciągu normalnego{π_n} i wyboru punktów pośrednich Ai, i=1,…,n, to granicę tą nazywamy całką podwójną funkcji z=f(x,y) w prostokącie P i piszemy∬_Pf(x,y)dxdy=Sn. o funkcji z=f(x,y) mówimy, że jest całkowalna(w sensie Biermanna) w prostokącie P. Jeżeli funkcja z=f(x,y) jest ograniczona w obszarze ograniczonym D to: Zamykamy obszar D w prostokącie P i określamy funkcje f*(x,y)=$\left\{ \begin{matrix} f\left( x,y \right),\ \ \left( x,y \right)\text{ϵD} \\ 0\ \ \ \ \ \ \left( x,y \right)\epsilon P - D \\ \end{matrix} \right.\ $
def ∬_Df(x,y)dxdy=∬_Pf^*(x,y)dxdy Tw. Jeżeli funkcja z=f(x,y) jest ciągła w prostokącie P:a≤x≤b, c≤y≤d, to $\iint_{\begin{matrix} a \leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \\ \end{matrix}}^{}{f\left( x,y \right)\text{dxdy}}$=∫_a^b(∫_c^df(x,y)dy)dx=∫_c^d(∫_a^bf(x,y)dx)dy zamiana całki podwójnej na iterowaną Przykład $\iint_{\begin{matrix} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 2 \\ \end{matrix}}^{}{\left( x^{2} + 2y \right)\text{dxdy}}$=∫₀¹(∫₀²(x²+2y)dy)dx=$\int_{0}^{1}{(x^{2}y + 2*\frac{y^{2}}{2}})|$₀²dx=∫₀¹(x²*2+4-0)dx=($\frac{2x^{3}}{3}$+4x)|₀¹=2/3+4-0=14/3 def.(obszar normalny względem osi OX) Obszar postaci$\left. \ \begin{matrix} a \leq x \leq b \\ f1\left( x \right) \leq y \leq f2\left( x \right) \\ \end{matrix} \right\}$ f1(x),f2(x) są ciągłe xϵ<a,b> nazywamy obszarem normalnym względem osi OX analogicznie względem osi OY Tw. Jeżeli funkcja z=f(x,y) jest ciągła w obszarze normalnym $\begin{matrix} a \leq x \leq b \\ f1\left( x \right) \leq y \leq f2\left( x \right) \\ \end{matrix}$, to $\iint_{\begin{matrix} a \leq x \leq b \\ f1\left( x \right) \leq y \leq f2\left( x \right) \\ \end{matrix}}^{}{f\left( x,y \right)dxdy = \int_{a}^{b}{(\int_{f1(x)}^{f2(x)}{f\left( x,y \right)dy)dx}}}$ Przykład $\left. \ \begin{matrix} 0 \leq x \leq 1 \\ x^{2} \leq y \leq x \\ \end{matrix} \right\}$ $\iint_{\begin{matrix} 0 \leq x \leq 1 \\ x^{2} \leq y \leq x \\ \end{matrix}}^{}{\left( \text{xy} \right)dxdy = \int_{0}^{1}{(\int_{x^{2}}^{x}{xydy)dx = \int_{0}^{1}{(\frac{xy^{2}}{2}}}}}$|²_x^2)dx=$\int_{0}^{1}{(\frac{x^{3}}{2}} - \frac{x^{5}}{2})dx = (\frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{6}}{12})$|¹₀=1/8-1/12 własności całki podwójnej def. obszar regularny – można go rozbić na skończoną ilość podobszarów normalnych wzgl. poszczególnych osi. Tw. Jeżeli funkcje z=f1(x,y), f2(x,y) są całkowalne w obszarze regularnym D, to: 1),2) ∬_D[f1(x,y)∓f2(x,y)]dxdy = ∬_Df1(x,y)dxdy ∓ ∬_Df2(x,y)dxdy 3)∬_Dc * f1(x,y)dxdy = c∬_Df1(x, y)dxdy c ∈ R 4)Jeżeli obszar D rozbijemy na dwa podobszary D=D1uD2, gdzie D1 i D2 nie mają wspólnych pkt wewnętrznych: ∬_Df1(x,y)dxdy = ∬_D1f1(x,y)dxdy + ∬_D2f1(x,y)dxdy

Zastosowania całki podwójnej 1)Obliczanie pola figur płaskich: Jeżeli D jest obszarem płaskim regularnym, to |D|=∬_D1dxdy - pole obszaru D Przykład D: $\left. \ \begin{matrix} 0 \leq x \leq 1 \\ x^{2} \leq y \leq x \\ \end{matrix} \right\}$ |D|=$\iint_{\begin{matrix} 0 \leq x \leq 1 \\ x^{2} \leq y \leq x \\ \end{matrix}}^{}{1dxdy = \int_{0}^{1}{(\int_{x^{2}}^{x}{dy)dx = \int_{0}^{1}{(y}}}}$|^x_x^2)dx=$\int_{0}^{1}{\left( x - x^{2} \right)dx = (\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3})}$|¹₀=1/2-1/3=1/6 2) Objętość brył $\left. \ \begin{matrix} V:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x,y) \in D \\ f1(x,y) \leq z \leq f2(x,y) \\ \end{matrix} \right\}$D-obszar płaski regularny f1(x,y), f2(x,y) są ciągle w obszarze D. V jest od góry ograniczony powierzchnią z=f2(x,y) od dołu z=f1(x,y) z boku pow. walcową o tworzących równoległych do osi OZ. |V|=∬_D[f2(x,y)−f1(x,y)]dxdy Przykład V: $\left. \ \begin{matrix} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 2 \\ \end{matrix} \right\}\text{D\ }\left. \ 0 \leq z \leq x^{2} + y^{2} \right\}$ |V|=$\iint_{\begin{matrix} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 2 \\ \end{matrix}}^{}{\left( x^{2} + y^{2} - 0 \right)dxdy = \int_{0}^{1}{(\int_{0}^{2}{\left( x^{2} + y^{2} \right)dy)dx}}}$=$\int_{0}^{1}{(x^{2}y + \frac{y^{3}}{3}}$)|²₀dx=$\int_{0}^{1}{\left( 2x^{2} + \frac{8}{3} - 0 \right)dx = \left( \frac{2x^{3}}{3} + \frac{8x}{3} \right)}$|¹₀=2/3+8/3=10/3 3)Obliczanie pola płata powierzchni $\left\{ \begin{matrix} \left( x,y \right) \in D - obszar\ plaski\ regularny \\ z = f(x,y) \in C_{D}^{1} \\ \end{matrix} \right.\ $ (f(x,y)ϵCⁿ_D ma ciągłe pochodne cząstkowe aż do rzędu n-tego włącznie w obszarze D |S|= $\iint_{D}^{}\sqrt{1 + ({\frac{\partial z}{\partial x})}^{2} + ({\frac{\partial z}{\partial y})}^{2}}$dxdy Przykład (x,y)ϵD: $\left. \ \begin{matrix} 0 \leq x \leq 1 \\ x^{2} \leq y \leq x \\ \end{matrix} \right\}$ z=2x+3y+7 |S|=$\iint_{}^{}\sqrt{1 + 4 + 9}$ Równania różniczkowe def. Równanie o zmiennych rozdzielonych y’=$\frac{f(x)}{g(y)}$, f(x),g(x) są ciągłe odp w przedziałach a<x<b, c<y<d, g(y’)≠0 przy powyższych założeniach równanie to ma rozwiązania ∫g(y)dy=∫f(x)dx + C tzn. przez każdy punkt obszaru a<x<b, c<y<d} przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie należące do tej rodziny krzywych. Przykład: $\frac{y^{2}}{x^{3}}$y’=1, x≠0, rozdzielamy zmienne $\frac{y^{2}}{x^{3}}\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$=1 /x³dx => y²dy=x³dx /∫=>∫y²dy∫x³dx => $\frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{4}}{4}$ +C – całka ogólna y³=x⁴*(3/4)+3C y=… Równanie jednorodne def, Równanie postaci y’=f(y/x) gdzie f jest funkcją ciągłą w przedziale I, zależną tylko od stosunku y/x Rozwiązanie: Stosujemy podstawianie $\frac{y}{x}$=z(x)=z po tym podst. uzyskujemy równanie o zmiennych rozdzielonych z=y/x => y=zx => y’=z’x+z; z’x+z=f(z) – równanie o zmiennych rozdzielonych => $\frac{\text{dz}}{\text{dx}}$x=f(z)-z /:f(z)-z≠0, *dx, :x≠0 uwaga: sprawdzamy czy warunek f(z)-z≠o nie powoduje usunięcia jakiegoś rozwiązania równania początkowego $\frac{\text{dz}}{f\left( z \right) - z}$=$\frac{\text{dx}}{x}$ /∫ Przykład: y’= $\frac{2y - 3x}{x}$=2($\frac{y}{x}$)-3 stosujemy podstawienie (y/x)=z =>y=xz=>y’=z+x*z’ czyli z+xz’=2z-3 równanie o zmiennych rozdzielonych, rozdzielamy zmienne x$\frac{\text{dz}}{\text{dx}}$=z-3 /:z-3≠0 (uwaga), *dx, :x≠0 => $\frac{\text{dz}}{z - 3} = \frac{\text{dx}}{x}$ /∫=>$\int_{}^{}\frac{\text{dz}}{z - 3}\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x}$ => $\int_{}^{}\frac{f^{'}(x)}{f(x)}$dx=ln|f(x)|+C ; ln|z-3|=ln|x|+C, wracamy do starych zmiennych ln|$\frac{y}{x}$-3|=ln|x|+C – całka ogólna dalej ln|(y/x)-3|=ln|x|+lnC1 => ln|(y/x)-3|=ln(|x|+C1) =>|(y/x)-3=|x|C1 => (y/x)-3=FC1x, FC1=C2 => y=3x+C2x² – całka ogóla dana w sp. jawny uwaga z-3=0 – sprawdzamy czy to nie rozwiązanie => (y/x)-3=0 =>y=3x => y’=(2y-3x)/x; y=3x rozwiązanie 3=(2*3x-3x)/x=3 Całka ogóla zawiaracjąca wszystkie rozwiązania y=3x+Cx²

Równanie różniczkowe liniowe rzędu 1-go def. Równanie postaci y’+f(x)*y=g(x), gdzie f(x), g(x) są ciągłe w przedziale I, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu 1-go 1)Jeżeli y(x)≡0, to równanie: y’+f(x)y=0-r.r.liniowe jednorodne 2)Jeżeli y(x)≡0, to równanie y’+f(x)y=g(x) ≡0 –r.r.liniowe niejednorodne Tw. Całka ogólna równania niejednorodnego jest równa całce ogólnej równania jednorodnego plus całka szczególna równania niejednorodnego. 1)całka ogólna równania jednorodnego y’+f(x)y=0 rozdzielamy zmienne $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$+f(x)y=0 =>$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$ =-f(x)y /:y≠0, *dx =>$\frac{\text{dy}}{y}$ =-f(x)dx /∫ ln|y|=-∫f(x)dx + C => y=ce^−∫f(x)dx 2)Całka szczególna równania niejednokrotnego Przewidujemy tą całkę w postaci u=c(x)*e^−∫f(x)dx, wyznaczenie C(x) $\left\{ \begin{matrix} y^{'} = c^{'}(x)e^{- \int_{}^{}{f\left( x \right)\text{dx}}} \\ y = c(x)e^{- \int_{}^{}{f\left( x \right)\text{dx}}} \\ \end{matrix} \right.\ $+c(x)e^−∫f(x)dx*(-f(x)) podstawiamy do równania y’+f(x)y=gx) => i obliczamy c’(x), następnie po scałkowaniu C(x) c’(x)e^−∫f(c)dx + c(x) * e^−∫f(x)dx(-f(x)+f(x)c(x)e^−∫f(c)dx = g(x) => c’(x)*e^−∫f(x)dx = g(x)  /e^∫f(x)dx =>c’(x)=g(x)*e^∫f(x)dx /∫ => c(x) = ∫g(x) * e^∫f(x)dx Przykład y’+y=2e^x (y’+f(x)y=gx), f(x)=1, g(x)=2*e^x) CORN=CORJ+CSRN 1)CORJ y’+y=0 =>y=c*e^−∫f(x)dx =>y=c*e^−∫f(x)dx =>y=c*e^−∫1dx => c * e^−x 2)CSRN y=C(x)*e^-x => y=e^2xe^-x=e^x; y’=c’(x)*e^-x+c(x)e^-x(-1) podstawiamy do równania y’+y=2e^x =>c’(x)-c(x)e^-x+c(x)e^-x=2e^x => c’(x)e^-x=2e^x /*e^x => c’(x)=2e^2x /∫ =>c(x)=2∫e^2xdx = e^2x CSRN: y=e^x 3)CORN = CORJ + CSRN y=Ce^-x+e^x całka ogólna równania niejednorodnego