Wyznaczanie parametrów regulatorów metodą reduktów

Jedną z metod wyznaczania parametrów regulatorów typu PID jest zaproponowana przez profesora Janusza Halawę metoda reduktów. Ma ona zastosowanie dla modeli obiektów opisanych transmitancjami postaci:

$G_{12}\left( s \right) = \frac{b_{1}s + b_{0}}{s^{2} + a_{1}s + a_{0}}$ oraz $G_{23}\left( s \right) = \frac{{b_{2}s^{2} + b}_{1}s + b_{0}}{s^{3} + a_{2}s^{2} + a_{1}s + a_{0}}$

Transmitancje te, jako modelu uproszczone, opisują znaczną klasę obiektów spotykanych w praktyce.

Możliwe jest również zastosowanie metody reduktów dla modelu całkującego $G_{02} = \frac{k}{s(Ts + 1)}$ oraz obiektu z opóźnieniem $G\left( s \right) = \frac{L(s)}{M(s)}e^{- st_{0}}$ (gdyż jeśli zastąpimy funkcję e^−st₀ rozwinięciem Padego, otrzymamy G(s) w postaci funkcji wymiernej).

Zakłada się transmitancję regulatora w postaci $G_{r}\left( s \right) = k_{p}(1 + \frac{1}{T_{i}s} + T_{d}s)\ $.

Podstawą metody reduktów jest rozwinięcie w ułamki łańcuchowe – transmitancję układu zamkniętego rzędu trzeciego i wyższych rozwija się w ułamek łańcuchowy typu V i jako model uproszczony przyjmuje się redukt drugiego rzędu.

Mianownik tego reduktu M(s) jest wielomianem, którego współczynniki są funkcjami parametrów obiektu i nieznanych parametrów regulatora:

$$M\left( s \right) = s^{2} + 2ns +_{0}^{2} = s^{2} + 2_{0} +_{0}^{2}$$

Wartości ₀² oraz n=₀ należy założyć. Parametry obiektu są dane, gdyż otrzymuje się je w wyniku identyfikacji.

W ten sposób otrzymujemy układ równań nieliniowych, z którego wyznacza się parametry regulatora – są one funkcjami współczynników a i b transmitancji obiektów. Odpowiednie wzory, pozwalające na wyznaczenie k_p oraz T_i można znaleźć m.in. w pozycji „Symulacja i komputerowe projektowanie dynamiki układów sterowania” Janusza Halawy.

W celu rozwiązania układu równań nieliniowych wykorzystuje się programy komputerowe umożliwiające wykonywanie działań na zmiennych symbolicznych, takie jak Mathematica. Dzięki temu można również eksperymentalnie dobrać odpowiednie wartości parametrów ω₀ oraz ξ – obliczenia wykonujemy dla różnych ich wartości i dobieramy najbardziej odpowiadający nam wykres. Jeśli wykres jest zbyt oscylacyjny, zwiększa się wartość ξ. Przyjmuje się, że metodę reduktów stosuje się do obliczania parametrów regulatorów, dla których odpowiedzi skokowe zamkniętych układów regulacji są funkcjami nieoscylacyjnymi. Dla takich warunków mamy zachowany odpowiedni zapas fazy i amplitudy.

Podsumowując, kolejne kroki metody można zdefiniować następująco:

1. Określamy transmitancję obiektu

2. Wyznaczamy transmitancję układu zamkniętego

3. G(s) rozwijamy w szereg (za pomocą ułamków łańcuchowych)

4. Rozwiązujemy układ równań nieliniowych

Wyniki eksperymentów pokazują, że metoda reduktów daje dobre efekty, dużo lepsze niż na przykład podstawowa metoda wyznaczania parametrów regulatora – metoda Zieglera-Nicholsa.

Ułamki łańcuchowe

Ułamkiem łańcuchowym nazywamy ułamek postaci $a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \frac{1}{a4}}}}$ i tak dalej. a₀ jest liczbą całkowitą, a pozostałe współczynniki a są naturalne dodatnie. Stosuje się też notacje pionową:

oraz notację wprowadzoną przez Pringsheima:

Rozwinięcie liczby niewymiernej w ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne. Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach.

Do rozwijania ułamków łańcuchowych używa się różnych algorytmów, m.in. algorytmu Wiskowatowa (wada - prowadzi do uzyskania dużych liczb).

Przy rozwijaniu w ułamki łańcuchowe otrzymujemy po dwa ułamki łańcuchowe (2 redukty) każdego stopnia. Np. gdy chcemy skończyć na transmitancji 2. rzędu musimy dokonać pięciu rozwinięć.