ROBOTY I MANIPULATORY LABORATORIUM

Temat: Wyznaczenia macierzy Jacobiego, określenie osobliwości mechanizmu.

Nazwisko i imię: Nessel Paweł Oleksy Łukasz Pałka Joanna	Grupa: 12M5	Data: 8.04.2013	Ocena:

1. Przedstawienie obiektu badań FANUC S420F :

• Producent FANUC ROBOTICS, model: S420F.

• Masa robota: ok. 1600 [kg].

• Liczba stopni swobody: 6,

• Sześć osi obrotowych CNC.

• Powtarzalność: +/- 0.5 [mm].

• Udźwig: 120 [kg].

• Zasięg ramienia robota: 2410 [mm].

• Zasięg ramienia w pionie: 2731 [mm].

• Prędkość końcówki roboczej: 0-1500 [mm/s]

• Wyłączniki krańcowe na każdej osi.

• Wyposażony w szafę sterowniczą dla 6 osi.

1. Analiza strukturalna

Pary kinematyczne	Oznaczenie	Liczba stopnie swobody	Więzy	Klasa
Obrotowy		1	5	5

Tab.1 Analiza strukturalna

Rys.1 Schemat strukturalny

Ruchliwość manipulatora

Ruchliwość jest równoważna liczbie napędów manipulatora, określa ona ile niezależnych par należy podać aby jednoznacznie określić położenie całego łańcucha kinematycznego.

$w = 6*(n - 1) - \sum_{i = 1}^{i}i*p_{i}$ , gdzie:

w- ruchliwość

n – liczba ogniw

i – klasa pary kinematycznej

pi – liczba par kinematycznych klasy i

w = 6*(7-1) – 5*6 = 6

2. Określenie położenia członu roboczego względem układu podstawy manipulatora (wektor pozycji, macierz orientacji).

2. Kąty Eulera określa się względem ruchu układu odniesienia.

Kąty Eulera — układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych.

Kąty Eulera są określone względem ruchu układu odniesienia.

Prawo składania obrotów:

B_{x − y^′ − z^″}(α,β,γ) = B_x(α) B_y^′(β) B_z^″(γ)

X – Y – Z

$B_{x}\left( \alpha \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \text{cosα} & - sin\alpha \\ 0 & \text{sinα} & \text{cosα} \\ \end{bmatrix}$ $B_{y'}\left( \beta \right) = \begin{bmatrix} \text{cosβ} & 0 & \text{sinβ} \\ 0 & 1 & 0 \\ - sin\beta & 0 & \text{cosβ} \\ \end{bmatrix}$ $B_{z''}\left( \gamma \right) = \begin{bmatrix} \text{cosγ} & - \text{sinγ} & 0 \\ \text{sinγ} & \text{cosγ} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

B_{x-y’-z’’} = $\begin{bmatrix} \cos() & 0 & - \sin() \\ - \sin\left( \alpha \right)*\sin() & \cos(\alpha) & - \sin\left( \alpha \right)*\cos() \\ \cos\left( \alpha \right)*\sin\left( \right) & \sin(\alpha) & \cos\left( \alpha \right)*\cos() \\ \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} \cos() & - \sin() & 0 \\ \sin() & \cos() & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

B_{x’-y’-z’’} = $\left\lbrack - \begin{matrix} c\left( \right)c() & - c()s\left( \right) & - s\left( \right) \\ s\left( \alpha \right)s\left( \right)c\left( \right) + c\left( \alpha \right)s\left( \right) & s\left( \alpha \right)s\left( \right)s\left( \right) + c(\alpha)c() & - s\left( \alpha \right)c() \\ c\left( \alpha \right)s\left( \right)c\left( \right) + s\left( \alpha \right)s\left( \right) & - c\left( \alpha \right)s\left( \right)s\left( \right) + s\left( \alpha \right)c() & c(\alpha)c() \\ \end{matrix} \right\rbrack$

1. Wyznaczenie macierzy Jacobiego, określenie osobliwości mechanizmu.

Macierz Jacobiego – to wielowymiarowa postać pochodnej funkcji wielu zmiennych (pochodne zmiennych kartezjańskich po zmiennych konfiguracyjnych). Pozwala nam wyznaczyć miejsca osobliwe manipulatora(Gdy wyznacznik macierzy Jacobiego zmierza do 0 to znaczy ze zbliżamy się do miejsca osobliwego). Miejsca osobliwe to takie miejsca w których może nastąpić zmiana konfiguracji i manipulator staje się niesterowalny. Siła przyłożona do części roboczej rośnie do nieskończoności.

1. Macierz Jacobiego przedstawia się następująco:

Współrzędne kartezjańskie: $\overrightarrow{k} = \lbrack x,y,z,\alpha,\beta,\gamma\rbrack$

Współrzędne konfiguracyjne: $\overrightarrow{q} = \lbrack\theta_{1},\ \theta_{2},\ \theta_{3},\ \theta_{4},\ \theta_{5},\ \theta_{6}\rbrack$

$$J = \begin{bmatrix} \begin{matrix} \frac{\partial x}{\theta_{1}} & \frac{\partial x}{\theta_{2}} & \frac{\partial x}{\theta_{3}} \\ \frac{\partial y}{\theta_{1}} & \frac{\partial y}{\theta_{2}} & \frac{\partial y}{\theta_{3}} \\ \frac{\partial z}{\theta_{1}} & \frac{\partial z}{\theta_{2}} & \frac{\partial z}{\theta_{3}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{\partial x}{\theta_{4}} & \frac{\partial x}{\theta_{5}} & \frac{\partial x}{\theta_{6}} \\ \frac{\partial y}{\theta_{4}} & \frac{\partial y}{\theta_{5}} & \frac{\partial y}{\theta_{6}} \\ \frac{\partial z}{\theta_{4}} & \frac{\partial z}{\theta_{5}} & \frac{\partial z}{\theta_{6}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{\partial\alpha}{\theta_{1}} & \frac{\partial\alpha}{\theta_{2}} & \frac{\partial\alpha}{\theta_{3}} \\ \frac{\partial\beta}{\theta_{1}} & \frac{\partial\beta}{\theta_{2}} & \frac{\partial\beta}{\theta_{3}} \\ \frac{\partial\gamma}{\theta_{1}} & \frac{\partial\gamma}{\theta_{2}} & \frac{\partial\gamma}{\theta_{3}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{\partial\alpha}{\theta_{4}} & \frac{\partial\alpha}{\theta_{5}} & \frac{\partial\alpha}{\theta_{6}} \\ \frac{\partial\beta}{\theta_{4}} & \frac{\partial\beta}{\theta_{5}} & \frac{\partial\beta}{\theta_{6}} \\ \frac{\partial\gamma}{\theta_{4}} & \frac{\partial\gamma}{\theta_{5}} & \frac{\partial\gamma}{\theta_{6}} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

1. Osobliwość mechanizmu

Konfiguracje osobliwe to takie wartości współrzędnych wewnętrznych manipulatora roboczego, przy których układ zaczyna się zachowywać w inny sposób niż przewidziano. Przykładowo efektor robota może znaleźć się w takim położeniu, w którym pozostanie pomimo ruchów silników.
Osobliwości mechanizmu pojawiają się gdy wyznacznik z macierzy Jacobiego jest równy zeru. det J = 0

Jeżeli natomiast wyznacznik z macierzy Jacobiego jest różny od zera to mechanizm jest mniej osobliwy, tak więc czym jest większa rozbieżność od 0 na + albo na – tym mechanizm jest mniej osobliwy. det J ≠0

1. Wykonanie pomiaru:

Wykonanie pomiaru polegało na ustawieniu chwytaka robota w początkowym położeniu P1 a następnie jego zapisaniu w pamięci układu sterującego. Ustalony punkt P1 był punktem odniesienia dla kolejnych pomiarów. Kolejno zmieniane były współrzędne konfiguracyjne θ₁ do θ₆. Prędkość ruchów efektora ustalona była na 5%. Zmiana współrzędnych konfiguracyjnych polegała na zmianie kąta o 1⁰ ,następnie zapisywano współrzędne kartezjańskie (x, y, z, α, β, γ) po dokonaniu zmiany tego kąta, po czym wracano do punktu początkowego P1. Czynność powtarzana była dla kolejnych współrzędnych konfiguracyjnych aż do θ_6. Otrzymane współrzędne wpisano w macierz, a następnie zróżniczkowano po zmianie współrzędnych konfiguracyjnych, w wyniku czego powstała macierz Jacobiego, której wyznacznik mówi czy ten mechanizm posiada osobliwość lub jest mniej osobliwy.

	X	Y	Z	alfa	beta	gamma
O0	83,132	1574,497	901,462	179,285	-3,357	87,989
O1+1	55,274	1574,376	902,117	179,285	-3,394	89,002
O2+1	83,718	1590,09	911,005	179,284	-3,594	87,99
O3+1	82,979	1570,106	933,444	179,282	-4,608	87,989
O4+1	90,639	1567,548	909,872	178,122	-3,71	87,953
O5+1	82,791	1558,375	906,733	179,257	-2,771	87,976
O6+1	79,108	1562,307	912,303	179,182	-3,865	89,024
Δ1	27,858	0,121	-0,655	0	0,037	-1,013
Δ2	-0,586	-15,593	-9,543	0,001	0,237	-0,001
Δ3	0,153	4,391	-31,982	0,003	1,251	0
Δ4	-7,507	6,949	-8,41	1,163	0,353	0,036
Δ5	0,341	16,122	-5,271	0,028	-0,586	0,013
Δ6	4,024	12,19	-10,841	0,103	0,508	-1,035

$$J = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 27,858 & - 0,586 & 0,153 \\ 0,121 & - 15,593 & - 4,391 \\ - 0,655 & - 9,543 & - 31,982 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} - 7,507 & \ \ \ 0,341 & 4,024 \\ 6,949 & 16,122 & 12,19 \\ - 8,41 & - 5,271 & - 10,841 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0,001 & 0,003 \\ 0,037 & 0,237 & 1,251 \\ - 1,013 & - 0,001 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1,163 & 0,028 & 0,103 \\ 0,353 & - 0,586 & 0,508 \\ 0,036 & 0,013 & - 1,035 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

detJ=14168,33 (12539.82428)

detJ ≠ 0

1. Wnioski

Celem zajęć laboratoryjnych było stworzenie macierzy Jacobiego i określenie osobliwości mechanizmu. 
Jak zauważono wyznacznik detJ jest różny od zera co oznacza, że mechanizm jest mniej osobliwy czyli manipulator znajduje się w pozycji znacznie oddalonej od położenia osobliwego.
Patrząc na zapisaną powyżej macierz można stwierdzić, że każda zmiana kąta theta wpływa na przemieszczenie poszczególnych osi, jak też na zmianę orientacji. Małe przemieszczenia kątów theta mają znikomy wpływ na zmianę orientacji chwytaka natomiast większy na zmianę położeń względem układu współrzędnych. 
Dodatkowo ruchliwość badanego obiektu równa jest liczbie napędów (6) co sugeruje, że charakterystycznym dla niego układem jest układ szeregowy.