PS na RF W10/04/12/2012
notatki Sandry Conradi

Portfel akcji dwóch spółek

• Najprostszym, a zarazem klasycznym przypadkiem teorii portfela jest przypadek portfela dwuskładnikowego, tzn. zawierającego akcje dwóch spółek

Oczekiwana stopa zwrotu portfela akcji z dwóch spółek

R_p=w₁R₁ + w₂R₂

Gdzie:

R_p – oczekiwana stopa zwrotu portfela akcji

w₁, w₂ – udziały akcji w portfelu

R₁, R₂ – oczekiwane stopy zwrotu akcji wchodzących w skład portfela

Z powyższego wzoru wynika, że oczekiwana stopa zwrotu portfela dwóch akcji jest średnią ważoną oczekiwanych stóp zwrotu akcji, przy czym wagami są udziały akcji w portfelu.

Wariancja stopy zwrotu portfela (5)

V_p= w₁²s₁² + w₂²s₂² + 2w₁w₂s₁s₂ ρ₁₂

Gdzie:

V_p - wariancja portfela akcji

w₁,w₂ – udziały akcji w portfelu

s₁,s₂ – odchylenia standardowe stóp zwrotu akcji wchodzących w skład portfela

ρ₁₂ – współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji

Z powyższego wzoru wynika, ze ryzyko portfela zależy od ryzyka akcji wchodzących w skład portfela oraz od współczynnika korelacji tych akcji, czyli od stopnia powiązania stóp zwrotu tych akcji.

Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela

s_p=(V_p)^0,5

Gdzie:

s_p-odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela

V_p-wariancja portfela akcji

Wpływ korelacji akcji na ryzyko portfela (przypadek 1), ρ12=1

• Taka sytuacja oznacza doskonałą korelację dodatnią akcji. Po podstawieniu tej wartości współczynnika korelacji do wzoru (5) i uproszczeniu otrzymuje się:

V_p = (w₁s₁ + w₂s₂)²

Gdzie:

V_p - wariancja portfela akcji

w₁,w₂ – udziały akcji w portfelu

s₁,s₂ – odchylenia standardowe stóp zwrotu akcji wchodzących w skład portfela

Wynika z tego, ze w przypadku doskonałej korelacji dodatniej akcji ryzyko portfela (mierzone za pomocą odchylenia standardowego) jest ważoną średnia ryzyka pojedynczych akcji wchodzących w skład portfela przy czym wagami są udziały tych akcji w portfelu. Ryzyko to można wyznaczyć w następujący sposób:

s_p= w₁s₁ + w₂s₂

Gdzie:

w₁,w₂ – udziały akcji w portfelu

s₁,s₂ – odchylenia standardowe stóp zwrotu akcji wchodzących w skład portfela

Wpływ korelacji akcji na ryzyko portfela (przypadek 2), ρ12= -1

• Taka sytuacja oznacza doskonałą korelację ujemną akcji. Po podstawieniu tej wartości współczynnika korelacji do wzoru (5) i uproszczeniu otrzymuje się:

V_p = (w₁s₁ - w₂s₂)² (9)

Wobec tego ryzyko portfela można wyznaczyć jako:

S_p = | w₁s₁ - w₂s_{2| (10)}

Wynika z tego, że w przypadku doskonałej korelacji ujemnej akcji ryzyko portfela może zostać całkowicie wyeliminowane, tzn sp=0. Stanie się tak, kiedy udziały akcji w portfelu kształtują się następująco:

W₁= s₂/(s₁+s₂) (11)

W₂=s₁/(s₁+s₂) (12)

Wpływ korelacji na ryzyko portfela (przypadek 3), ro=0

• Taka sytuacja oznacza brak korelacji stóp zwrotu akcji dwóch spółek. Po podstawieniu tej wartości współczynnika korelacji do wzoru (5) i uproszczeniu otrzymuje się:

Vp = w₁²s₁² + w₂²s₂²

Gdzie:

V_p - wariancja portfela akcji

w₁,w₂ – udziały akcji w portfelu

s₁,s₂ – odchylenia standardowe stóp zwrotu akcji wchodzących w skład portfela

Wobec tego ryzyko portfela można wyznaczyć w następujący sposób:

s_p=( w₁²s₁² + w₂²s₂²)^0,5

Przykład:

Przedmiotem analizy są akcje dwóch spółek:

• Spółki A, o oczekiwanej stopie zwrotu równej 8% i odchyleniu standardowym 3%

• Spółki B, o oczekiwanej stopie zwrotu równej 16% i odchyleniu standardowym 7%

Stopa zwrotu portfela jest równa zatem:

R_p=w₁8% + w₂16%

Z kolei po podstawieniu do wzorów 7,9 i 13 otrzymujemy wzory na odchylenie standardowe portfela:

Dla ρ=1

s_p = w₁3% + w₂7%

Dla ρ=-1

s_p=|w₁3%-w₂7%|

Dla ρ=0

s_p=(w₁(3%) + w₂(7%)²)^0,5

Portfel akcji dwóch spółek – trzy przypadki współczynnika korelacji

Na osi x, czyli osi odciętych oznaczone są wartości ryzyka (odchylenia standardowe), a na osi y (rzędnych) wartości oczekiwanej stopy zwrotu. Podstawiając różne wartości w₁ i w₂ (nie ujemne i sumujące się do 1), czyli zmieniając skład portfela uzyskuje się oczekiwane stopy zwrotu i ryzyko wszystkich możliwych portfeli akcji dwóch spółek.

Punkty A i B obrazują portfele jednoskładnikowe zawierające akcje tylko jednej spółki. Wprowadzenie do portfela akcji drugiej spółki odpowiada na rysunku przesuwanie się w punktu A do B.

W przypadku ρ=1 przy zmianie składu portfela (czyli od A do B), uzyskuje się wzrost stopy zwrotu, co łączy się jednak ze wzrostem poziomu ryzyka. W przypadku współczynnika korelacji równego -1.

Na odcinku od A do C zmiana składu portfela powoduje jednocześnie wzrost stopy zwrotu i spadek poziomu ryzyka. Taka sytuacja jest najbardziej pożądana.

W punkcie C znajduje się portfel o zerowym ryzyku. Zgodnie ze wzorami 11 i 12 skład tego portfela jest następujący: w₁=70%, w₂=30%, natomiast oczekiwana stopa zwrotu jest wyliczana wg formuły czwartej

R_p=w₁R₁ + w₂R₂ = 70% * 8% + 30% * 16% = 10,4

W przypadku ρ = 0 na odcinku A do D zmiana składu portfela powoduje jednoczesny wzrost oczekiwanej stopy zwrotu i spadek ryzyka. Jednakże nie ma możliwości osiągnięcia portfela o ryzyku zerowym.

• Powyższy przykład wskazuje, że umiejętna konstrukcja akcji dwóch spółek może prowadzić do znacznego zmniejszenia ryzyka, czasem przy jednoczesnym wzroście oczekiwanej stopy zwrotu portfela.

• Takie działanie nazywa się dywersyfikacją portfela

Pojęcie granicy efektywnej

• Zbiór możliwości – zbiór wszystkich możliwych kombinacji wartości oczekiwanej stopy zwrotu i ryzyka, które mogą wystąpić przy różnych udziałach akcji spółek w portfelu.

• Inwestor powinien wybrać ten portfel, dla którego:

• Nie istnieje alternatywa w postaci innego portfela, który przy tym samym poziomie ryzyka ma wyższą oczekiwaną stopę zwrotu

• Nie istnieje alternatywa w postaci innego portfela, który przy tej samej wartości oczekiwanej stopy zwrotu ma mniejsze ryzyko

Portfel akcji wielu spółek

• Podzbiór zbioru możliwości określający te portfele, dla których nie można wskazać portfeli lepszych, nazywa się granicą efektywną lub zbiorem efektywnym

• Portfel efektywny jest to zatem taki portfel, który:

• Ma minimalne ryzyko wśród portfeli o danej oczekiwanej stopie zwrotu

• Ma maksymalną oczekiwaną stopę zwrotu wśród portfeli o danym poziomie ryzyka. (na kolokwium umieć wskazać cos z rysunku)

Pojęcie portfela różnych instrumentów finansowych

• Właściwa dywersyfikacja portfela akcji umożliwia znaczną redukcje ryzyka, w praktyce nie ma jednak możliwości całkowitej jego eliminacji

• Można jednak wprowadzić do portfela instrumenty finansowe wolne od ryzyka, np. obligacje skarbowe o stałym oprocentowaniu lub bony skarbowe.

• Uwzględnienie instrumentów wolnych od ryzyka w portfelu można potraktować jako utworzenie portfela dwuskładnikowego, przy czym pierwszy składnik to instrumenty wolne od ryzyka, a drugi to portfel efektywny zawierający ryzykowne akcje.

Portfel z uwzględnieniem instrumentów wolnych od ryzyka

Fragment krzywej XY zawiera portfele efektywne. Punkt F odpowiada instrumentowi wolnemu od ryzyka. Poszukiwanie zbiorów optymalnych ze względu na oczekiwaną stopę zwrotu i poziom ryzyka portfeli sprowadza się do poszukiwania takiej półprostej wychodzącej z punktu F i przecinającej zbiór efektywny, która leży najwyżej. Okazuje się, że w warunkach jednorodnych oczekiwań wszystkich inwestorów okazuje się portfel jest taki sam – portfel ten nazywany jest portfelem rynkowym. W rezultacie zbiór portfeli na odcinku od F do M staje się zbiorem efektywnym, natomiast zbiór efektywny wyznaczony dla portfela zawierającego jedynie akcje (między punktami X i Y) przestaje być zbiorem efektywnym po włączeniu do portfela instrumentów wolnych od ryzyka. Każdy portfel Należący do starego zbioru efektywnego ma swojego odpowiednika, czyli lepszy portfel w nowym zbiorze efektywnym np. dla portfela X jest to portfel V. Jedynie portfel M czyli portfel rynkowy należy do obu zbiorów jednocześnie. Wybór konkretnego portfela ze zbioru efektywnego zależy od skłonności konkretnego inwestora do ponoszenia ryzyka.

Oczekiwana stopa zwrotu rozpatrywanego portfela dwuskładnikowego jest równa:

R_p=w_fR_f + (1-w_f)R_e (15)

Gdzie:

R_p- oczekiwana stopa zwrotu portfela dwuskładnikowego

w_f- udział w portfelu instrumentów wolnych od ryzyka

R_f- oczekiwana stopa zwrotu instrumentu wolnego ryzyka

R_e-oczekiwana stopa zwrotu portfela efektywnego

Jest to średnia ważona stopy zwrotu wolnej od ryzyka i stopy zwrotu portfela efektywnego. Ponieważ zazwyczaj R_f>R_e to w miarę wzrostu udziału instrumentów wolnych od ryzyka spada oczekiwana stopa zwrotu tego portfela

Linia rynku kapitałowego

- w ogólnej sytuacji zbiór efektywny jest półprostą – częścią prostej o następującym równaniu:

R_e=R_f + [(R_M-R_f)/s_M]s_e (16)

Gdzie:

R_e – oczekiwana stopa zwrotu portfela efektywnego

R_f- oczekiwana stopa zwrotu instrumentu wolnego od ryzyka

R_M- oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego

s_M-ryzyko (odchylenie standardowe) portfela rynkowego

s_e- ryzyko (odchylenie standardowe) portfela efektywnego

• Zależność określona wzorem 16 zachodzi dla portfeli efektywnych i jest nazywana linią rynku kapitałowego CML (capital market line)

• Z zależności tej wynika, że oczekiwana stopa zwrotu portfela efektywnego jest sumą stopy wolnej od ryzyka oraz premii za ryzyko

Stopa wolna od ryzyka

• Jest to tzw. „cena czasu”

• Każda inwestycja jest wyrzeczeniem się bieżącej konsumpcji na rzecz przyszłych, niepewnych korzyści.

• W zamian za takie wyrzeczenie inwestor chce być wynagrodzony, a jego zapłatą jest właśnie stopa wolna od ryzyka, gdyż co najmniej tyle musi otrzymać ktoś, kto inwestuje.

Premia za ryzyko

• Premia za ryzyko, inaczej „cena ryzyka”

• Cześć inwestorów, oprócz odroczenia bieżącej konsumpcji, poniosła ryzyko, inwestując w instrumenty ryzykowne.

• Oczekują za to wyższej zapłaty niż jedynie stopa wolna od ryzyka. Nadwyżka ta jest iloczynem dwóch składników:

• Wyrażenia (R_M-R_f)/s_M, które określa premię za ryzyko, czyli dodatkowy procent dochodu, jaki można uzyskać na rynku za zwiększenie ryzyka na jednostkę

• Ryzyka portfela efektywnego

Interpretacja linii rynku kapitałowego

• Stopa zwrotu z portfela efektywnego jest sumą tzw. „ceny czasu” oraz iloczynu „premii za ryzyko” i wielkości ryzyka portfela efektywnego