Zestaw XV

Zad 1

Przekształcamy wzór funkcji do postaci y=ax+b

2x-3y+6 = 0 -3y = -2x -6 |: (-3) y = 2/3*x+2

aby prosta była prostopadła to współczynnik "a" nie może się zmienić, czyli a=2/3

Podstawiamy nasz punkt A=(-2,4) do wzoru na funkcję liniową:

y=ax+b, gdzie -2 to x, a 4 to y czyli: 4=-2*2/3+b b=4+4/3 b=5/1/3

Funkcja równoległa do y = 2/3*x+2 ma wzór: y=2/3*x+5*1/3

Zad 2

A= (-4, -6), B= (2,-4) -6=-4a+b -4=2a+b I *(-1) -6=-4a+b 4=-2a-b

-2=-6a |(-6) a=1/3 b=-6+4a b=-6+4*(1/3) b=-6+(4/3) b=-4²/₃ y=ax+b y=(1/3)x – 4(2/3)

(-4+2)/2=-1 (-6-4)/2=-5 S(-1,-5) a₂=-1/a₁ a₂=-3y=-3x+b -5=-3*(-1)+b -5=3+b b=-8 y=-3x-8

Zad 3

dorysowywujemy trójkaty prostokatne do bokow i obliczamy wychodzi:

b=Ѵ26, c=Ѵ26, a=Ѵ52

odwrotnosc do tw. pitagorasa:a^2=b^2+c^2!

(Ѵ52)^2=(Ѵ26)^2+(Ѵ26)^2

52=52

Zad 4

A = (-4;1) , B = (0; 5), C = ( 2 ; -2) Najpierw wyznaczę równanie prostej AB:

y =ax+b 1=-4a+b 5=0*a+b -> b=5 czyli 1=-4a + 5 4a = 5-1=4 a = 1 pr. AB ma równanie y = x + 5

Wysokość tego Δ poprowadzona z wierzchołka C będzie zawarta w prostej prostopadłej do pr. AB i przechodzącej przez punkt C.

y= a1 x + b1 a1*a =-1 , czyli 1*a1 = -1 -> a1=-1 y=-x+b1 oraz C = ( 2; -2) , zatem -2 = - 2+b1-> b1=-2+ 2 = 0

czyli pr CD ma równanie: y = - x Odp. Tą prostą jest prosta o równaniu y = - x.

Zad 5

Jeśli dwa punkty są symetryczne względem osi Ox to znaczy, że ich pierwsze współrzędne są równe, a drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi, np. P=(3,4) to P'=(3,-4) ogólnie jeśli P=(x,y), to P'=(x,-y).

Mamy dane dwa punkty: A'=(-a+2,4) i A=(-5,b+3) symetryczne względem osi Ox: pierwsze współrzędne są równe, więc -a+2= -5, stąd a= 2+5= 7 drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi, więc b+3= -4,

stąd b= -4-3= -7 Możemy to sprawdzić dla a=7 i b=-7: A'=(-a+2,4)=(-7+2,4)=(-5,4) A=(-5,b+3)=(-5,-7+3)=(-5,-4) ich pierwsze współrzędne są równe, a drugie współrzędne

są liczbami przeciwnymi, więc A' i A są symetryczne względem osi Ox. Odp. a=7, b=-7

Zad 6

P = (2 ; 7) na osi OX wyznaczamy punkt R taki, że I PR I = p ( 74 ) Punkt R leży na osi OX zatem R = ( x : 0)

Oraz I PR I²=(x-2)²+(0-7)²= x²-4x+4+49=x²-4x+53, ale |PR| ²=74 zatem mamy x² -4x+53=74 x²-4x-21=0 delta = 16 - 4*1*(-21) = 16 + 84 = 100 p(delty ) = 10

x = [ 4 - 10]/2 = -6/2 = -3 lub x = [ 4 + 10]/2 = 14/2 = 7

Odp.Mamy dwa rozwiązania: R1 = ( -3 ; 0) oraz R2 = (7 ; 0)

Zad 7

A = (-1;3) ,B = (1;-1) środkiem okręgu będzie środek odcinka AB S = ( (-1 +1)/2 ; (3 +(-1))/2 ) = ( 0 ; 1) S = ( 0 ; 1) r = IASI r² = IAS I² = (0-(-1))²+(1-3)²=1²+(-2)²=1+4=5 r² = 5

Równanie okręgu :(x-0)² +(y–1)² =5 lub x²+(y-1)² = 5

Zad 8

Skoro ramiona to AC i BC, więc ich długości są równe. |AC|=√((-3-0)²+(4-0)²)=5

Niech B=(a,b) Podstawa AB leży na prostej y=2x, więc współrzędne punktu B spełniają równanie tej prostej. Zatem: b=2a. |AC|=|BC|=5 |BC|=√((-3-a)²+(4-b)²)

Mamy układ równań: { b=2a, (-3-a)²+(4-b)²=25}, czyli 9+6a+a²+16-8b+b²=25 a²+6a-16a+4a²=0

5a²-10a=0 a²-2a=0 a(a-2)=0

1. a=0, to b=0 - punkt B nie może się pokrywać z punktem A, sprzeczność

2. a-2=0

a=2, to b=4, więc B=(2,4)

Podstawą może być odcinek BC, a wysokością jego odległość od punktu (0,0), zatem

P=(1/2)*5*4=10

Zad 9

y=x+4x²+y²=25 x²+(x+4)²=25 x²+x²+8x+16=25 2x²+8x-9=0 Δ = 64 - 4*2*(-9) = 64 + 72 = 136 = 4*34

√Δ = 2√34 x1 = [-8 -2√34]/4=-2- 0,5√34 x2 = [-8 +2√34]/4 = -2+ 0,5√34 y1 = x1 +4 = 2-0,5√34

y2 = x2 +4 = 2+0,5√34 A =(-2 -0,5√34; 2-0,5√34) B =(-2+0,5√34; 2+0,5√34)

wektor AB = [-2+0,5√34 +2+0,5√34;2+0,5√34 -2+0,5√34] =[ √34; √34]

IABI²=(√34)²+(√34)²=34+34=68=4*17 IABI = √4*√17=2√17 Odp. Długość odcinka AB jest równa 2√17

Zad 10

więc tak, z tego układu równań podstawiamy za y x+5, otrzymujemy: x+5=1/3x+4 to x= -3/2 podstawiamy x i wychodzi: y= 1/3 * (-3/2) + 4 y= 3,5

zaznaczamy w uładzie współrzędnych te punkty i możemy obliczyć że wysokosć =1,5 a podstawa = 9

więc pole: P=1,5*9 * 1/2= 6,75