Ekonometria - ćwiczenia I.

Zadanie 1. Niech Y_t = α₀ + α₁X_1t + α₂X_2t + α₃X_3t + α₄X_4t + ξ_t, gdzie:

Y_t - zmiany produkcji w przedsiębiorstwie [mld zł],

X_1t - zatrudnienie [tys. osób],

X_2t - wartość maszyn i urządzeń [mld zł],

X_3t - czas przestoju maszyn [l. dni],

X_4t - nakłady inwestycyjne [mln zł],

t € [1991 - 2000].

Lata	Yt	X1t	X2t	X3t	X4t
1991	10	6	8	14	12
1992	10	6	8	14	12
1993	16	10	12	18	12
1994	16	10	12	18	14
1995	12	8	8	18	10
1996	14	10	8	18	12
1997	20	12	14	24	14
1998	20	12	16	24	12
1999	20	12	16	26	12
2000	22	14	18	26	10

Które ze zmiennych X_1t, X_2t, X_3t, X_4t mają istotny wpływ na zmiany zmiennej Y_t?

1. Eliminowanie zmiennych quasi - stałych

Niech ν_i oznacz poziom zmienności zmiennej, gdzie ν_i = S_i/x_i oraz (i = 1,2, … n),

x_i - średnia arytmetyczna zmiennej X_it, x_i = 1/n Σ X_it,

S_i - odchylenie standardowe zmiennej X_it, S_i = [ 1/n Σ ( X_it - x_i )² ]^1/2,

Niech ν* oznacza wartość krytyczną poziomu zmienności.

H₀ ={ ν_i ≤ ν*; zmienna X_i quasi - stała },

H₁ ={ ν_i ≥ ν*; zmienna X_i istotnie opisuje zmiany Y_t }.

Średnie arytmetyczne zmiennych X_i są równe: x₁ = 10, x₂ = 12, x₃ = 20, x₄ = 12.

Odchylenia standardowe potencjalnych zmiennych są równe: S₁ = 2,51, S₂ =3,688, S₃ =4,382, S₄ = 1,256.

Współczynnik poziomu zmienności: ν₁ = 0,251, ν₂ = 0,307, ν₃ = 0,219, ν₄ = 0,105. Wartość krytyczna współczynnika zmienności ustalmy na poziomie 15%. Zmienna X₄ spełnia H₀, co oznacza, iż nie ma ona wpływu na zmiany Y_t.

2. Analiza macierzy współczynników korelacji.

Należy tu wybrać takie zmienne objaśniające, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i jednocześnie słabo skorelowane pomiędzy sobą. Punktem wyjścia jest macierz U=[R₀ ; R],

gdzie: R₀ = [r_Y,Xi], R = [r_xi,xj].

Dla zadanego poziomu istotności α oraz dla n-2 stopni swobody z tablic rozkładu Studenta odczytujemy wartość krytyczną statystyki I^* a następnie wyznacza tzw. Wartość krytyczną współczynnika korelacji:

r* = [ (I*)² / ((I*)² + n-2) ].

1. Ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się wszystkie zmienne, dla których zachodzi nierówność:

[r_i] ≤ r*;

zmienne X_it są nieistotnie skorelowane ze zmienną objaśnianą.

2. Spośród pozostałych zmiennych jako zmienną objaśniającą wybiera się taką zmienną X_ht, dla której:

[r_h] =max {[r_i]};

zmienna X_ht jest nośnikiem największego zasobu informacji o zmiennej objaśnianej Y_t.

3. Ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się wszystkie zmienne, dla których:

[r_hi] > r*;

są to zmienne zbyt silnie skorelowane ze zmienną objaśniającą X_ht, a więc powielające dostarczone przez nią informacje.

Postępowanie przedstawione w punktach 1, 2, i 3 kontynuuje się aż do momentu wyczerpania zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających.

W przykładzie macierz U jest równa:

1	0,979912	0,956612	0,957427	0,075378
0,979912	1	0,900368	0,938194	0,000000
0,956612	0,900368	1	0,915886	0,000000
0,957427	0,938194	0,915886	1	-0,07217
0,075378	0,000000	0,000000	-0,07217	1

Wartość statystyki I* odczytana z tablic testu t - Studenta jest równa /dla rozkładu (n-2,α); gdzie n = 8 , α = 0,02/ 2,896, stąd r* = 0,09.

---