Ćwiczenia 6. Weryfikacja

Zadanie. Niech Y_t = α₀ + α₁X_1t + α₂X_2t + α₃X_3t + α₄X_4t + ξ_t, gdzie:

Y_t - zmiany produkcji w przedsiębiorstwie [mld zł],

X_1t - zatrudnienie [tys. osób],

X_2t - wartość maszyn i urządzeń [mld zł],

X_3t - czas przestoju maszyn [l. dni],

X_4t - nakłady inwestycyjne [mln zł],

t € [1991 - 2000].

Lata	Yt	X1t	X2t	X3t	X4t
1991	10	6	8	14	12
1992	10	6	8	14	12
1993	16	10	12	18	12
1994	16	10	12	18	14
1995	12	8	8	18	10
1996	14	10	8	18	12
1997	20	12	14	24	14
1998	20	12	16	24	12
1999	20	12	16	26	12
2000	22	14	18	26	10

Parametry modelu oszacowano klasyczną metodą najmniejszych kwadratów. Rezultaty poniżej.

Ordinary Least Squares Estimation

***************************************************************************

I.

Dependent variable is Y

10 observations used for estimation from 1991 to 2000

II.

Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]

C -3.97930 1.022100 -3.8933[0.011]

X1 0.86241 0.105200 8.1979[0.000]

X2 0.37075 0.061860 5.9935[0.002]

X3 0.16983 0.066925 2.5377[0.052]

X4 0.29246 0.070716 4.1357[0.009]

***************************************************************************

III.

1. R-Squared 0.99785 6. R-Bar-Squared 0.99614

2. S.E. of Regression 0.27483 7. F-stat. F(4,5) 581.2805[0.000]

3. Mean of Dependent Variable 16.0000 8. S.D. of Dependent Variable 4.4222

4. Residual Sum of Squares 0.37766

5. DW-statistic 2.87240

***************************************************************************

IV. Diagnostic Tests

***************************************************************************

* Test Statistics * LM Version * F Version *

***************************************************************************

* A:Serial Correlation *CHSQ(1)= 3.1360[0.077]**************F(1,4)= 1.8275[0.248] *

* B:Functional Form *CHSQ(1)= 0.64114[0.423]*************F(1,4)= 0.27402[0.628]*

* C:Normality *CHSQ(2)= 0.80713[0.668]*************Not applicable *

* D:Heteroscedasticity*CHSQ(1)= 0.48283[0.487]*************F(1,8)= 0.40586[0.542]*

***************************************************************************

A: Lagrange multiplier test of residual serial correlation

B:Ramsey's RESET test using the square of the fitted values

C:Based on a test of skewness and kurtosis of residuals

D:Based on the regression of squared residuals on squared fitted values

V. Residuals and Fitted Values of Regression

***************************************************************************

Based on OLS regression of Y on: C X1 X2 X3 X4

10 observations used for estimation from 1991 to 2000

***************************************************************************

Observation Actual Fitted Residual

1991 10.0000 10.0484 -0.048359

1992 10.0000 10.0484 -0.048359

1993 16.0000 15.6603 0.339670

1994 16.0000 16.2453 -0.245250

1995 12.0000 11.8676 0.132410

1996 14.0000 14.1773 -0.177320

1997 20.0000 19.7306 0.269430

1998 20.0000 19.8872 0.112840

1999 20.0000 20.2268 -0.226830

2000 22.0000 22.1082 -0.108230

***************************************************************************

Z łatwością zauważymy istotną wadę oszacowanego modelu, wystarczy przyjąć założenie o niezmienność w czasie zatrudnienia, wartości majątku produktywnego oraz nakładów inwestycyjnych by stwierdzić, że przyrost liczby dni przestoju maszyn powodował równoczesny wzrost wielkości produkcji, teza trudna do obrony.

Zmieniamy założenie o zbiorze zmiennych objaśniających, pozostawimy zmienne {
, a to rezultat zmiany założenia:

Ordinary Least Squares Estimation

***************************************************************************

Dependent variable is Y

10 observations used for estimation from 1991 to 2000

***************************************************************************

Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]

C -2.74760 1.242000 -2.2122[0.069]

X1 1.03880 0.109020 9.5292[0.000]

X2 0.44660 0.074785 5.9718[0.001]

X4 0.25000 0.094873 2.6351[0.039]

***************************************************************************

R-Squared 0.99509 R-Bar-Squared 0.99264

S.E. of Regression 0.37949 F-stat. F(3,6) 405.3708[.000]

Mean of Dependent Variable 16.0000 S.D. of Dependent Variable 4.4222

Residual Sum of Squares 0.86408 Equation Log-likelihood -1.9460

Akaike Info. Criterion -5.9460 Schwarz Bayesian Criterion -6.5512

DW-statistic 2.6175

***************************************************************************

Diagnostic Tests

***************************************************************************

* Test Statistics * LM Version * F Version *

***************************************************************************

* A:Serial Correlation*CHSQ(1)= 1.9691[0.161]*F(1,5)=1.2259[0.319]*

* B:Functional Form *CHSQ(1)=0.013243[0.908]*F(1,5)=0.0066304[0.938]*

* C:Normality *CHSQ(2)=0.20934[0.901]* Not applicable *

* D:Heteroscedasticity*CHSQ(1)=0.75721[0.384]*F(1,8)=0.65540[0.442]*

Residuals and Fitted Values of Regression

***************************************************************************

Based on OLS regression of Y on:

C X1 X2 X4

10 observations used for estimation from 1991 to 2000

***************************************************************************

Observation Actual Fitted Residual

1991 10.0000 10.0583 -0.058252

1992 10.0000 10.0583 -0.058252

1993 16.0000 16.0000 0.00000

1994 16.0000 16.5000 -0.50000

1995 12.0000 11.6359 0.36408

1996 14.0000 14.2136 -0.21359

1997 20.0000 19.4709 0.52913

1998 20.0000 19.8641 0.13592

1999 20.0000 19.8641 0.13592

2000 22.0000 22.3350 -0.33495

Zmiana założenia, w rezultacie której ze zbioru zmiennych objaśniających została usunięta zmienna X_3t, pozwoliła usunąć tę widoczną wadę modelu jaką była oczywista sprzeczność opisu zmian wielkości produkcji w wyniku zmian między innymi liczby dni przestoju maszyn.

1. Dopuszczalność modelu ze względu na R²:

Niech wartość dopuszczalna
jest równa 75%, to ponieważ
zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
co oznacza iż model jest wystarczająco zgodny.

2. Wyrazistość modelu V:

Ustalmy dopuszczalną wartość współczynnika wyrazistości V₀ na poziomie 10%. Wartość parametru V jest równa:
, co oznacza, że
. Nie ma więc podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, tzn. rzeczywisty udział standardowego błędu oceny w stosunku do wartości przeciętnej
zmiennej objaśnianej jest mniejszy od dopuszczalnego.

3. Istotność ocen parametrów strukturalnych:

Z tablic rozkładu t - Studenta dla parametrów rozkładu (
, wyznaczamy wartość krytyczną statystyki t_kr. Jeśli więc
a liczba stopni swobody n-(k+1)=6, to t_kr=2,447:
,
,
, w każdym przypadku wartości statystyki
dla i=1,2,4 są większe od wartości t_kr, co oznacza, iż nie można przyjąć hipotezy H₀, należy przyjąć hipotezę alternatywną
a to znaczy, że otrzymane oceny parametrów strukturalnych są istotnie różne od zera. W konsekwencji wszystkie trzy zmienne objaśniające
istotnie wpływają na zmiany zmiennej objaśnianej Y_t.

4. Symetria składnika losowego:

Parametry modelu oszacowano na bazie danych o zmiennych modelu z lat 1991-2000. Próba licząca 10 obserwacji jest małą próbą, zatem można przyjąć, że
ma rozkład dwumianowy o parametrach
/m jest liczbą reszt dodatnich/. Dla weryfikowanego modelu m=5. Z tablic do sprawdzania hipotezy symetrii w przypadku małej próby statystycznej określamy wartości m₁=2 oraz m₂=8. Stąd wobec tego, że prawdziwa jest relacja
, nie więc podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, składnik losowy jest symetryczny.

5. Losowość składnika losowego:

Oznaczmy literą A zdarzenie, że
, natomiast literą B zdarzenie, że
. Dla reszt weryfikowanego modelu otrzymujemy ciąg zdarzeń: {B,B,A,B,A,B,A,A,A,B}. W ciągu zdarzeń występuje tylko jedna seria o maksymalnej długości, liczącej trzy takie same zdarzenia, R₃=1.

Z tablic testu serii wyznaczamy maksymalną liczbę obserwacji n, dla której prawdopodobieństwo
. Dla serii o długości k=5, maksymalna liczba obserwacji n jest nie większa aniżeli 10, ponieważ rzeczywista długość serii równa 3 jest mniejsza aniżeli dopuszczalna równa 5, stąd nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości składnika losowego.

Innym stosowanym rozwiązaniem jest tzw. test liczby serii. Sprawdzianem hipotezy o losowości jest liczba r_k określająca liczbę wszystkich serii, w analizowanym przypadku r_k=7. Z tablic liczby serii, dla wartości n₁ /liczba zdarzeń A/ oraz n₂ /liczba zdarzeń B/ i poziomu istotności
określamy wartość krytyczną
. Ponieważ n₁=5, n₂=5, to dla
,
, stąd
, co oznacza, że przyjmujemy hipotezę o losowości rozkładu składnika losowego. Duża liczba serii potwierdza tezę, że próbkowe obserwacje są losowe.

6. Stacjonarność składnika losowego:

Na tym etapie weryfikacji zależy nam na odpowiedzi na pytanie o to, czy reszty modelu nie wykazują korelacji w czasie?.

Sprawdzianem hipotezy
o stacjonarności składnika losowego jest statystyka:
, dla
, t=0,9042674. Wartość krytyczna
określona z tablic rozkładu t-Studenta dla poziomu istotności
oraz n-2=8, stopni swobody jest równa
. Ponieważ prawdziwa jest nierówność
nie powodów by odrzucić hipotezę o stacjonarności składnika losowego.

7. Weryfikacja założenia o wartości przeciętnej /oczekiwanej/ składnika losowego. Ten element procedury weryfikacyjnej dotyczy modeli nieliniowych, które w rezultacie transformacji postaci analitycznej można przedstawić w równoważnej postaci liniowej. Analizowany tu przykład nie wymaga zatem weryfikacji tej własności.

8. Autokorelacja składnika losowego:

t
1	-0,058252
2	-0,058252	-0,058252
3	0,000000	0,000000
4	-0,500000	-0,500000
5	0,364080	0,364080
6	-0,213590	-0,213590
7	0,529130	0,529130
8	0,135920	0,135920
9	0,135920	0,135920
10	-0,334950	-0,334950

Weryfikacja założenia o braku bądź autokorelacji składnika losowego rzędu pierwszego wymaga analizy dwu szeregów reszt {
, w oparciu o nie wyznacza się statystykę DW, jest równa 2,6175. Jej wartość sugeruje autokorelację ujemną. Z tablic rozkładu Durbina -Watsona, dla poziomu ufności
oraz n i k /k oznacza liczbę zmiennych objaśniających/, określamy wartości d_L oraz d_U oraz korygujemy statystykę DW.

Dla
oraz n=10 i k=3, z tablice rozkładu Durbina-Watsona określamy wartości d_L=0,525 oraz d_U=2,016, skorygowana wartość DW^'=4-DW=1,3825. Test nie pozwala na jednoznaczne przyjęcie hipotezy o braku bądź istnieniu hipotezy o autokorelacji, bowiem prawdą jest, że
, jest to przypadek kiedy test Durbina-Watsona nie wypowiada się jednoznacznie o istnieniu autokorelacji.

Jednoznaczny w takim przypadku jest test Godfreya, dla zdefiniowania statystyki
, zdefiniujmy macierz M_x=
oraz W, gdzie p=4. w rezultacie otrzymujemy:
, a wartość statystyki
. Ponieważ próba statystyczna jest próbą małą, zatem do weryfikacji hipotezy o autokorelacji wykorzystamy statystykę
, z tablic rozkładu statystyki F dla T₁=(n-p-(k+1))=(10-4-4)=2 oraz T₂=4, określamy
=6,94, ponieważ
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, ostatecznie więc podejrzenie o istnieniu autokorelacji należy odrzucić.

Do weryfikacji hipotezy H₀ można wykorzystać statystykę Prob, jeśli przyjmiemy 5% poziom istotności, hipotezę H₀ odrzucamy dla Prob
, dla wartości Prob>0,05 nie ma podstaw do odrzucenia H₀. Dla analizowanego modelu Prob=0,161, wartość statystyki Prob>0,05, co potwierdza wcześniej otrzymany wynik.

9. Zgodność rozkładu składnika losowego z rozkładem normalnym:

Obliczona wartość statystyki
jest równa 0,20934, wartość odczytana z tablic rozkładu
dla poziomu istotności
oraz 2 stopni swobody jest równa
, ponieważ
, stąd nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, składnik losowy jest zgodny z rozkładem normalnym.

Do weryfikacji hipotezy H₀ można wykorzystać statystykę Prob, jeśli przyjmiemy 5% poziom istotności, hipotezę H₀ odrzucamy dla Prob
, dla wartości Prob>0,05 nie ma podstaw do odrzucenia H₀. Dla analizowanego modelu Prob=0,901, wartość statystyki Prob>0,05, co potwierdza wcześniej otrzymany wynik.

10. Weryfikacja założenia o poprawności przyjętej postaci analitycznej:

Obliczona wartość statystyki
jest równa 0,013245, wartość odczytana z tablic rozkładu
dla poziomu istotności
oraz 1 stopnia swobody jest równa
, ponieważ
, stąd nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, o liniowej relacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi i zmienną objaśnianą modelu.

Bardziej przydatny staje się test F dla małych prób, wartość statystyki obliczonej
jest równa 0,0066304, natomiast wartość statystyki odczytanej
jest równa 6,61, stąd wobec tego, że
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o poprawności przyjętej hipotezy o liniowej relacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi i zmienną objaśnianą modelu.

Do weryfikacji hipotezy H₀ można wykorzystać statystykę Prob, jeśli przyjmiemy 5% poziom istotności, hipotezę H₀ odrzucamy dla Prob
, dla wartości Prob>0,05 nie ma podstaw do odrzucenia H₀. Dla analizowanego modelu Prob=0,908, wartość statystyki Prob>0,05, co potwierdza wcześniej otrzymany wynik /w przypadku małej próby Prob=0,938/.

11. Test na istotność łącznego wpływu zmiennych objaśniających:

Obliczona wartość statystyki F przy parametrach rozkładu (k,n-(k+1)) jest równa 405,3708, wartość odczytana z tablic rozkładu statystyki
jest równa 4,76, ponieważ
, stąd nie ma podstaw do przyjęcia hipotezy H₀, uznajemy hipotezę alternatywną H₁, co oznacza, łączny wpływ zmiennych objaśniających jest statystycznie istotny.

Do weryfikacji hipotezy H₀ można wykorzystać statystykę Prob, jeśli przyjmiemy 5% poziom istotności, hipotezę H₀ odrzucamy dla Prob
, dla wartości Prob>0,05 nie ma podstaw do odrzucenia H₀. Dla analizowanego modelu Prob=0,938, wartość statystyki Prob>0,05, co potwierdza wcześniej otrzymany wynik.

12. Test stabilności parametrów strukturalnych modelu:

Niech
,
, po oszacowaniu modelu na bazie informacji statystycznej opartej na obydwu podzbiorach
oraz
otrzymamy dwa ciągi reszt:
oraz
. Podział na dwa podzbiory tak niewielkiej próby nie da pozytywnych rezultatów, bowiem w obydwu przypadkach wszystkie reszt są równe zero.

---