Estymacja punktowa i przedziałowa
Estymacja wartości średniej
zad. 1 W celu polepszenia jakości reklam lokalna stacja radiowa chce określić przeciętny wiek swoich słuchaczy. Wybrano losowo 150 słuchaczy i otrzymano średnią wieku równą 38,6 lat oraz wariancję z próby równą 25 lat 2. Znaleźć przedział ufności dla wartości oczekiwanej wieku słuchaczy (współczynnik ufności 0,94). Jaka interpretację ma znaleziony przedział?
zad. 2 Pośrednik w handlu nieruchomościami chce oszacować średnią wartość domu mieszkalnego o określonej powierzchni w pewnej dzielnicy. Pośrednik jest przekonany, że standardowe odchylenie wartości domu wynosi 5500 dolarów i że rozkład wartości domów jest w przybliżeniu normalny. W losowej próbie 16 domów średnia wyniosła 89 673,12 dolarów. Wyznacz 95% przedział ufności dla średniej wartości domu w tej dzielnicy.
zad. 3 Pewna firma chce podjąć decyzję o wybudowaniu w województwie X nowego browaru specjalizującego się w produkcji piwa pszennego. Przedtem jednak chce uzyskać informacje na temat przyzwyczajeń konsumentów w tym rejonie. W tym celu wylosowano prostą próbę składającą się z 900 gospodarstw domowych. W wybranych gospodarstwach domowych przeciętne spożycie piwa na tydzień wynosiło 2,8 litra, natomiast wariancja spożycia piwa - 1,25 litra 2. Wyznaczyć 92% przedział ufności dla przeciętnego spożycia piwa na tydzień w gospodarstwach domowych tego rejonu.
zad. 4 Firma telefoniczna chce oszacować przeciętną długość rozmów międzymiastowych w czasie weekendu. Z losowej próby 30 rozmów otrzymano średnią 14,5 minuty przy odchyleniu standardowym 5,6 minuty. Wyznacz 95% przedział ufności dla średniej długości rozmów międzymiastowych w czasie weekendu.
Estymacja wariancji i odchylenia standardowego
zad.5 Wariancja w pewnej prostej próbie losowej o liczebności 10 obserwacji zmiennej losowej o rozkładzie normalnym wynosi s2(x)=29,83. Podać przedział ufności dla odchylenia standardowego w populacji generalnej (przyjąć współczynnik ufności 0,9).
zad. 6 Czas obsługi w okienku bankowym nie powinien mieć dużej wariancji, gdyż w przeciwnym przypadku kolejki maja tendencję do rozrastania się. Bank regularnie sprawdza czas obsługi w okienkach, by oceniać jego wariancję. Obserwacja 22 czasów obsługi losowo wybranych klientów wariancję równą 8 minut2. Wyznacz 95% przedział ufności dla wariancji czasu obsługi w okienku bankowym.
zad. 7 Firma transportowa chce oszacować odchylenie standardowe czasu, jaki towar znajduje się w tranzycie przez pewien kraj. W pobranej losowo próbie 50 przesyłek średni czas równa się 2,6 dnia, a odchylenie standardowe 0,4 dnia. Jaki jest 99% przedział ufności dla odchylenia standardowego czasu znajdowania się towaru w tranzycie?
zad. 8 W losowej próbie 60 kont bankowych stwierdzono wariancję stanu kont równą 1228. Wyznacz 99% przedział ufności dla wariancji stanów kont.
Estymacja wskaźnika struktury
zad. 9 Aby ocenić jakość partii towaru wybrano 140 sztuk i okazało się, że 6 miało pewne braki. Na poziomie ufności 0,9 ocenić, jaki procent całej produkcji stanowią produkty uszkodzone.
zad. 10 W pewnym banku szef działu obsługi klientów przeprowadził ankietę, aby zorientować się w jakości usług świadczonych przez swoich podwładnych. Ankietowani mieli odpowiedzieć na pytanie, czy są zadowoleni z jakości usług. Na 432 zapytanych klientów 384 było zadowolonych. Oszacować jaki procent wszystkich klientów klienci zadowoleni z obsługi na wybranym przez siebie poziomie ufności.
zad. 11 Instytut Badań Marketingowych chciał uzyskać od mężczyzn, na podstawie próby prostej 400 osobowej, informacje na temat przyzwyczajeń dotyczących golenia. 240 ankietowanych przyznało, że regularnie używa do golenia maszynki elektrycznej. Wyznaczyć 99% przedział ufności dla frakcji panów golących się za pomocą maszynki elektrycznej.
zad.12 Spośród 400 losowo wybranych klientów pewnego banku 112 stwierdziło, że mają zastrzeżenia do pracowników obsługujących bezpośrednio klientów.
Wyznaczyć 98% przedział ufności dla frakcji niezadowolonych klientów.
Sprawdzić, czy długość 98% przedziału ufności - przy zachowaniu dotychczasowych założeń - wzrośnie:
gdy zwiększymy liczebność próby n;
gdy zmniejszy się poziom błędu α.
Wyznaczanie liczebności próby
zad.13 Wysokość stypendiów ma rozkład normalny. Ilu studentów należy wylosować niezależnie do próby, aby przy współczynniku ufności 0,98, zbudować przedział ufności o rozpiętości co najwyżej 100 zł dla średniego stypendium pobieranego przez nich, jeżeli wiadomo, że odchylenie standardowe wielkości stypendium wynosi 180 zł. Jak zmieni się ta liczba, gdy zwiększymy współczynnik ufności?
zad. 14 Znajdź minimalną wymaganą liczebność próby do oszacowania frakcji błędnie zaksięgowanych rachunków z dokładnością do 0,02, przy 95% poziomie ufności. Wstępny szacunek tej frakcji wynosi 0,10.
zad. 15 Firma jest przekonana, że jej udział w rynku pewnego produktu wynosi ok. 14%. Znajdź minimalną wymagana liczebność próby do oszacowania rzeczywistego udziału z dokładnością do 5%, przy 90% poziomie ufności.
zad. 16 (cd. zad. 12) Dla danych z zadania 12 wyznaczyć udział procentowy klientów niezadowolonych z obsługi w próbie, dla którego długość 98% przedziału ufności jest maksymalna przy tej samej liczebności próby.
zad. 17 W wybranej losowo grupie 1154 dorosłych Polaków, 785 opowiedziało się za przystąpieniem Polski do Unii Europejskiej. Proszę oszacować za pomocą przedziału ufności nieznany odsetek ludności Polski popierający akcesję Polski do UE. Przyjmujemy, że poziom ufności jest równy 0,95.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
2/2