XIV Twierdzenie o lokalnej odwracalności odwzorowań klasy C1. Dyfeomorfizmy. Twierdzenie o odwzorowaniu uwikłanym.
Definicja
Niech
będzie zbiorem otwartym. Funkcja
nazywa się dyfeomorfizmem, gdy
a). f jest klasy
na G
b). dla każdego
mamy
c). f jest iniekcją (na G) i
jest ciągła (na f[G]).
Definicja
Niech
będzie zbiorem otwartym i niech będzie dana funkcja ciągła
. Dla argumentu
wartość funkcji F będziemy zapisywać jako F(x,y). Każdą funkcję ciągłą postaci
gdzie
jest zbiorem otwartym, taką, że dla każdego
równanie
(*) F(x,y)=0
Ma rozwiązanie y=f(x) nazywamy funkcją uwikłaną wyznaczoną przez równanie (*).
Twierdzenie (o funkcji uwikłanej )
Niech
będzie zbiorem otwartym i niech
będzie funkcją klasy C(1)na G. Oznaczmy
.Załóżmy, że
oraz
gdzie
. Wtedy istnieją zbiór otwarty
taki, że
i otoczenie V punktu x0 oraz funkcja
klasy C(1) taka , że
. Zatem f jest jedyną funkcją uwikłaną generowaną w otoczeniu U punktu
przez równanie F(x,y)=0.
Twierdzenie (różniczkowanie odwzorowania odwrotnego)
Niech
będzie zbiorem otwartym, zaś
- funkcją klasy C(1). Jeśli w każdym punkcie
jakobian Jf(x) nie znika, to
a). zbiór f[G] jest otwarty
b). jeśli funkcja f jest iniekcją na G, to funkcja odwrotna
jest klasy C(1)na f[G] oraz
.