Gdy i < N to trzeba inwestować ( i - ilość dostępnych środków

N - niedosyt)

Dla większej liczby kompleksów

Gdy kilka obiektów, a istnieje niedosyt środków (nie można wszędzie doprowadzić do q_opt) to musimy dokonać odpowiedniego podziału środków, aby efekt był maksymalny.

Rys.1

Kompleks 1

q_akt Z₁ q_opt

Rys.2

Kompleks 2

q_akt Z₁ q_opt

Założenie:

Mamy tyle środków, aby zwiększyć zagęszczenie dróg o . Dostępne środki dzielimy tak, aby uzyskać maksymalną korzyść (maksymalnie zmniejszyć ogólne koszty transportu).

Użyć możemy metody Lagrange'a, gdzie: przyrost zysków z inwestycji (przydziału ostatniej złotówki) w dwu przypadkach jest równy w miejscu, gdzie styczna do wykresu Kompleks1 i wykresu Kompleks 2 będzie pod tym samym kątem.

Metodę Lagrange'a stosujemy gdy:

1. ilość nakładów jest mniejsza niż potrzeby

2. obiektów do doinwestowania jest więcej niż jeden

3. poszczególne obiekty różnią się poziomem efektywności (różne pochylenie krzywych na wykresie)

Opis metody Lagrange'a

Mamy dwie funkcje:

F_(x,y,z)⇒ ekstremum -funkcja posiada ekstremum

G_(x,y,z)=0 -funkcja bilansowa - musimy po rozdziale

pieniędzy mieć 0

na podstawie tych równań otrzymujemy trzecie (Lagrange'a)

L= F_(x,y,z)-λG_(x,y,z)=ekstremum

liczymy pochodne cząstkowe

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   ⇒ G_(x,y,z)=0 Końcowe równanie bilansowe

Przypomnienie wzorów:

pierwsza pochodna Ej

gdzie:

X₁ - o ile zwiększymy gęstość w stosunku do poniesionych nakładów w Kompleksie 1

X₂ - o ile zwiększymy gęstość w stosunku do poniesionych nakładów w Kompleksie 2

F₁ - powierzchnia kompleksu 1

F₂ - powierzchnia kompleksu 2

V₁ - wielkość zrywki (m³) w kompleksie 1

V₂ - wielkość zrywki (m³) w kompleksie 2

DANE POMOCNICZE:

N=(q_opt-q_akt)*F*J gdzie:

N - niedosyt środków inwest.

F - wielkość kompleksu

J - kosz jednostkowy budowy drogi

i=(q_x-q_akt)*F*J

nakłady inwest. nakłady inwest. środki inwestycyjne, którymi

na kompleks 1 na kompleks 2 dysponujemy

Funkcja Lagranege'a dla naszych przykładowych komplesków:

oznaczamy, że : q_a czyli q₁+x₁=z₁

q₂+x₂=z₂

wtedy

pochodne:

z rozwiązania powyższego układu otrzymamy punkt o współrzędnych Z₁,Z₂,λ.

Na ykresie ( np. rys.1 i rys.2) λ=tg α

Zależności:

przypadek 1. i<N ⇒ λ<0

przypadek 2. i=N ⇒ λ=0

oznacza to, że w każdym wypadku (sposobie rozdysponowania) dojdziemy do q_opt. (czyli do rozwiązania optymalnego).

przypadek 3. i>N ⇒ λ>0

q_a

q_a>q_opt. - mamy optymalne zagęszczenie dróg, więc nie warto inwestować w dalsze ich zagęszczanie

Ćwiczenia 3 2001r

str. 4 z 4

---