Przestrzeń liniowa - algebra, jaką tworzy zbiór V oraz ciało S, gdzie:

S - ciało przemienne <S,+,*,0,1> zwane ciałem skalarów (zazwyczaj R lub C)

V - zbiór, w którym określone są następujące działania:

⊕∈Fun(V×V,V)

∈Fun(S×V,V)

takie, że

1. <V, ⊕,Θ> - grupa abelowa z elementem neutralnym Θ (theta)

2. r,s ∈S ∧ v∈V mamy

1v = v

r(sv) = (r*s)v

3. r,s ∈S ∧ v,u∈V mamy

(r+s)v = (rv) ⊕ (sv)

s(v ⊕ u) = (sv) ⊕ (su)

Własności wektorów w przestrzeni liniowej:

1. v∈V: 0v = Θ, Θ - wektor zerowy

2. v∈V ω∈V: v ⊕ ω = Θ, ω = -v ω - wektor przeciwny

3. sv = Θ ⇒ s = 0 ∨ v = Θ, s∈S, v∈V

Podprzestrzeń liniowa X przestrzeni liniowej Y - podzbiór przestrzeni liniowej Y.

X⊂Y

69. Kombinacja liniowa wektorów, powłoka liniowa.

Kombinacja liniowa - v = s₁v₁ ⊕ s₂v₂ ⊕ ... ⊕ s_nv_n, s_i∈S, i =

Powłoka liniowa (rozpięta nad wektorami v₁ do v_n ) - zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v₁ do v_n należących do przestrzeni V.

span{v₁ ... v_n} = {v∈V: v = s₁v₁+s₂v₂+...+s_nv_n, s₁, ... , s_n ∈ S}

O powłoce liniowej mówi się też, że jest to przestrzeń rozpięta na wektorach v₁ ... v_n .

70. Liniowa niezależność wektorów, układy liniowo równoważne i liniowo niezależne, twierdzenie Steinitza.

Liniowa niezależność wektorów - wektory v₁ do v_n należące do przestrzeni V są liniowo niezależne jeżeli

s_iv_i = Θ ⇔ s₁ = s₂ = ... = s_n = 0

Wniosek: Θ∈V ⇒ V - liniowo zależny

Układy liniowo równoważne - układy wektorów są liniowo równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzenie rozpięte na wektorach obu układów są sobie równe (zbiory wszystkich kombinacji liniowych wektorów obu układów są sobie równe)

XY ⇔ span(Y) = span(X) X,Y - zbiory wektorów

span(X), span(Y) - przestrzenie rozpięte na wektorach ze zbioru X, Y

Układy liniowo niezależne - układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wektory układu są liniowo niezależne (→liniowa niezależność wektorów).

Twierdzenie Steinitza: Jeżeli X i Y są układami liniowo niezależnych wektorów oraz span(X)⊂span(Y), lecz span(X)≠span(Y) to układ X można uzupełnić do układu wektorów Z takiego, że Z jest liniowo niezależny, X⊂Z i span(Z)=span(Y).

Jeżeli X i Y są układami liniowo niezależnych wektorów oraz liniowo równoważnymi to są one równoliczne.

71. Baza przestrzeni liniowej, wymiar, współrzędne wektora w bazie, macierz przejścia z bazy do bazy, przekształcenie współrzędnych wektora.

Baza przestrzeni liniowej - układ liniowo niezależnych wektorów B, taki że span(B) = V;

inaczej maksymalny układ wektorów liniowo niezależnych, tzn. taki układ, że dodanie do niego innego wektora spowoduje utratę liniowej niezależności.

Jeżeli wektory bazowe uznać za wiersze lub kolumny pewnej macierzy, to utworzą one macierz kwadratową. Układ wektorów jest bazą, jeśli macierz kwadratowa z nich utworzona jest nieosobliwa ( det(A)≠0 ).

Wymiar przestrzeni V - liczba wektorów bazowych przestrzeni V, oznaczenie dim(V).

Współrzędne wektora w bazie - ciąg współczynników kombinacji liniowej wektorów bazowych (każdy element przestrzeni V ma dokładnie jedno przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów bazowych).

dim(V) = n, B = {v_k}

v∈V: v =a_kv_k , a_k∈S

(a₁, a₂, ... , a_k) ∈S_n - współrzędne wektora v w bazie

Macierz przejścia z bazy do bazy - macierz kwadratowa stopnia n równym wymiarowi przestrzeni (liczbie wektorów bazowych przestrzeni) umożliwiająca przeliczenie współrzędnych wektora w jednej bazie na współrzędne w innej bazie.

α: (α₁, α₂, ... , α_n), β: (β₁, β₂, ... , β_n) - bazy nad ciałem S

A - macierz przejścia z bazy α do bazy β

Ma nastepujące własności:

1. Macierz przejścia od dowolnej bazy (α₁, α₂, ... , α_n) do dowolnej bazy (β₁, β₂, ... , β_n) jest nieosobliwa.

2. Jeśli A jest macierzą przejścia z bazy (α₁, α₂, ... , α_n) do bazy (β₁, β₂, ... , β_n), natomiast B jest

macierzą przejścia z bazy (β₁, β₂, ... , β_n) do bazy (γ₁, γ₂, ... , γ_n) to iloczyn B*A jest macierzą przejścia od (α₁, α₂, ... , α_n) do (γ₁, γ₂, ... , γ_n).

3. Jeżeli A jest macierzą przejścia z bazy α do bazy β to macierz A^-1 jest macierzą przejścia od bazy β do bazy α.

72. Przekształcenie liniowe, przekształcenie afiniczne, macierz przekształcenia, wektor własny przekształcenia (macierzy), wartość własna macierzy, wielomian charakterystyczny.

Przekształcenie liniowe - przekształcenie f , takie że:

1. f(u+v) = f(u) + f(v) u,v∈V, c∈S

2. f(c*u) = c*f(u)

Przekształcenie afiniczne - przekształcenie, które można przedstawić za pomocą macierzy nieosobliwej.

Macierz przekształcenia - każda macierz stopnia n równym wymiarowi przestrzeni.

Wektor własny przekształcenia (macierzy) -

Wartość własna macierzy -

Wielomian charakterystyczny -

73. Wektor w przestrzeni trójwymiarowej, iloczyn skalarny wektorów, iloczyn wektorowy, iloczyn mieszany, norma przestrzeni liniowej, tożsamość Jacobiego, tożsamość Laplace'a.

Wektor w przestrzeni trójwymiarowej -

Iloczyn skalarny wektorów - liczba równa iloczynowi długości tych wektorów przez cosinus kąta α zawartego między tymi wektorami.

a*b = b*a =a*bcos α , a*b = b*a = a_xb_x + a_yb_y

Iloczyn wektorowy a×b - wektor c prostopadły do wektorów a, b o długości c=a*bsin α (α - kąt zawarty między wektorami a, b). Do określenia zwrotu stosuje się zasadę prawej dłoni (wszystkie palce wskazują zwrot wektora a, kciuk - wektora b; wektor c ma zwrot z wnetrza dłoni do jej zewnętrza)

c = a×b, a×b = -b×a

, i, j, k - wektory jednostkowe

, ,

Iloczyn mieszany (a×b)*c - liczba równa

Interpretacja geometryczna - objętość równoległościanu, którego krawędziami są a, b, c.

a, b, c są komplanarne (współpłaszczyznowe) ⇔ (a×b)*c = 0

Norma w przestrzeni liniowej - liczba rzeczywista spełniająca następujące warunki:

1. ≥ 0 , = 0 ⇔ v = Θ

2. ≤ +

3. ∀s∈S: = s*

Tożsamość Jacobiego

a×(b×c) + b×(c×a) + c×(a×b) = Θ

Tożsamość Laplace'a

(a×b) * (c×d) = det

---