Zbiory i zdarzenia

Doświadczenia - procesy obserwacji i pomiarów

Przykład doświadczeń:

obserwacja czy światło jest zapalone czy zgaszone, określenie ilości braków w beli tkaniny, ustalenie ilości wadliwych jednostek produktu w wylosowanej próbie, przeprowadzenie ankiety na określony temat itp.

Przeprowadzając doświadczenia otrzymujemy wyniki doświadczeń. Wynikiem może być odpowiedź "tak" lub "nie", odczyt pomiarów przyrządowych, wartość z określonego przedziału itp.

Wyniki doświadczenia nazywane są też zdarzeniami elementarnymi i oznaczane symbolem “"

Wyniki doświadczeń możemy prezentować graficznie (za pomocą punktów) i symboli graficznych, lub też algebraicznie. Wariantom wyników doświadczenia możemy przypisywać oznaczenia w postaci liczb typu 1,2,3,...,n, liter a, b, c, ..., lub innych symboli

Przykład

Doświadczenie polega na przeprowadzeniu ankiety przedwyborczej, w której ankietowani mogą wybrać jedną z trzech możliwości odpowiedzi.

1. Popieram kandydata P

2. Jestem niezdecydowany

3. Popieram kandydata Q

Graficzna prezentacja zbioru wszystkich możliwych wyników ankiety przedwyborczej

Zapis algebraiczny

Przykłady dla dwu osób (2,1); (2.2), (3,3); dla czterech osób (2,1,1,3); (2,3,1,1) itp.

Zbiór punktów przedstawiający wszystkie możliwe wyniki doświadczenia nazywamy przestrzenią próby doświadczenia lub przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy symbolem " ". Przestrzeń zdarzeń elementarnych może być przestrzenią skończoną lub nieskończoną (np. w przypadku pomiarów przyjmujących wartości ciągłe).

Zdarzenie losowe - podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych , który może stanowić także podzbiór pusty (zdarzenie niemożliwe) oraz całą przestrzeń (zdarzenie pewne). Do oznaczenia zdarzeń wykorzystuje się zwykle duże litery alfabetu A, B, C, X, Y, Z itp.

Przykład graficznej prezentacji zdarzeń:

X - zdarzenie, że co najmniej jeden z uczestników ankiety jest niezdecydowany,

Y - zdarzenie, że obaj respondenci dają taką samą odpowiedź,

Z - zdarzenie polegające na tym, że jedna osoba popiera kandydata P, a druga kandydata Q

X i Z oraz Y i Z to zdarzenia wzajemnie wykluczające się.

XZ oznacza zdarzenie w którym obydwie osoby odpowiadają tak samo lub każda z nich popiera innego kandydata. Zdarzeniu takiemu odpowiada następujący podzbiór

XZ = {(1,1);(2,2);(3,3);(1,3);(3,1)}

XY oznacza zdarzenie w którym obie osoby odpowiedziały tak samo i co najmniej jedna z nich była niezdecydowana. Zdarzeniu takiemu odpowiada podzbiór jednoelementowy XY={(2,2)}

YZ = XZ =

Przestrzenie prób i zdarzenia oraz związki pomiędzy nimi przedstawiane są często w postaci diagramów Venna, w których do oznaczenia przestrzeni próby używa się prostokąta, a do zdarzeń koła lub jego fragmentu. Zacieniowany obszar ilustruje rozważane zdarzenie.

Przykłady diagramów Venna

Funkcja zbioru - jest to funkcja przypisująca liczby różnym podzbiorom zbioru. Liczby te mogą odpowiadać np. liczbie elementów zbioru.

Dla powyższego przykładu funkcja zbioru przedstawia się następująco:

N() = 9; N(X) = 5; N(Y) = 3; N(XZ ) = 5; N(XY) = 1; N(XZ) = N(YZ) = 0 itd.

Własności funkcji zbioru:

1. Liczby przyporządkowane poszczególnym zbiorom są zawsze dodatnie lub równe zeru,

2. Wszystkie liczby są równe lub mniejsze od liczebności całej przestrzeni zdarzeń elementarnych N(),

3. Jeżeli dwa podzbiory nie posiadają wspólnych elementów, to liczba przyporządkowana sumie tych podzbiorów jest równa sumie liczb przyporządkowanych poszczególnym podzbiorom.

Pojęcie prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo jest umowną miarą szansy zajścia w rzeczywistości pewnego zdarzenia.

Pewniki prawdopodobieństwa oraz odpowiadające im zasady

1. Prawdopodobieństwo jest rzeczywistą liczbą dodatnią lub zerem

. P(A) 0 dla każdego zdarzenia A

2. Jeśli stanowi przestrzeń próby doświadczenia, jego prawdopodobieństwo wynosi 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego, czyli zdarzenia obejmującego cały zbiór zdarzeń elementarnych równe jest jedności.

P() = 1

3. Jeżeli A i B są zdarzeniami wzajemnie się wykluczającymi, to prawdopodobieństwo zdarzenia AB równa się sumie poszczególnych prawdopodobieństw zdarzeń A i B.

P(AB) = P(A)+P(B)

Ogólnie: Jeżeli A1, A2, ..., Ak są zdarzeniami wzajemnie wyłączającymi się, to

P(A1A2...Ak) = P(A1­) + P(A2) +...+P(Ak)

Z pewników tych wypływają następujące wnioski:

dla każdego zdarzenia A P(A) 1,

P() = 0,

P(A') = 1 - P(A)

Prawo wielkich liczb. Jeśli ilość powtórzeń doświadczenia rośnie nieograniczenie, frakcja ilości przypadków w którym otrzymano dany wynik (częstość względna danego wyniku) dąży do prawdopodobieństwa pojawienia się tego wyniku w jednym doświadczeniu.

Prawo wielkich liczb określa sposób estymacji wartości prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo jest rozumiane wówczas jako ilość razy jego zajścia w długiej serii doświadczeń.

Jest to tak zwana definicja częstościowa prawdopodobieństwa

gdzie

n - liczba wykonanych doświadczeń

n(A) liczba doświadczeń w których zrealizowało się zdarzenie A.

klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli doświadczenie posiada n wyników jednakowo prawdopodobnych (możliwych) i jeśli m z pośród nich tworzy zdarzenia A, to P(A) = m/n

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia A równa się sumie prawdopodobieństw wyników należących do A

A- zdarzenie, polegające na tym że pierwsza osoba jest niezdecydowana

P(A) = 8/16 = 1/2

B - zdarzenie polegające na tym, że co najmniej jedna z osób poprze kandydata P (tzn. wszystkie pary w których występuje 1)

P(B) = 7/16

Ogólna zasada dodawania dla dowolnych dwóch zdarzeń A i B

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Niech X będzie zdarzeniem polegającym na tym, że co najmniej jedna z osób jest niezdecydowana, a

Y - zdarzeniem, że obie osoby odpowiedzą tak samo. Obliczyć P(XY)

P(X) = 12/16; P(Y) = 6/16

P(XY) = 12/16 + 6/16 - 4/16 = 14/16

Prawdopodobieństwo warunkowe

Jeżeli A i B są zdarzeniami należącymi do pewnej przestrzeni oraz jeżeli P(B) 0, to prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem B jest określane wzorem

, P(B) > 0 stąd P(AB) = P(A)*P(A/B)

podobnie

stąd P(AB) = P(A)*P(B/A)

Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń niezależnych

Jeżeli A i B są zdarzeniami niezależnymi, to wówczas

P(A/B) = P(A) oraz P(B/A) = P(B) oraz P(AB) = P(A)*P(B)

Prawdopodobieństwo zupełne i wzór Bayesa

Jeżeli A1, A2, ..., Ak są zdarzeniami wykluczającymi się parami, to wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia B, mogącego się zrealizować pod warunkiem zajścia poszczególnych zdarzeń Ai, można obliczyć w sposób następujący

Jeżeli A1, A2, ..., Ak są zdarzeniami wykluczającymi się parami, oraz P(B) > 0, to wówczas prawdopodobieństwo zajścia dowolnego zdarzenia Ai pod warunkiem że zaszło B, można obliczyć ze wzoru:

---