Janusz Wywiał

Katedra Statystyki

Akademia Ekonomiczna w Katowicach

Wykład 7

Elementy rachunku prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω

Zdarzenie losowe - dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych

Przykład:

Zbiór zdarzeń elementarnych otrzymywanych w wyniku jednokrotnego rzutu kostką do gry:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 3, 5}

- zd. losowe

B = {3}

- zd. losowe i elementarne

Zdarzenie niemożliwe

∅

1

Zdarzenie pewne

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ciało zdarzeń - taki zbiór F, który spełnia warunki

1) Ω ⊂ F

2) A1, A2, ..., ∈ F ⇒ A1 ∪ A2 ∪ ... ∈ F

3) ∅∈F

Definicja (klasyczna, Laplace’a)

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A k

P(A) = n ,

Definicja statystyczna (częstościowa Mises’a) k

P(A) = lim

n→∞ n

Definicja geometryczna

2

µ(A) S(A)

P(A) =

=

µ(Ω) S(Ω)

Definicja aksjomatyczna (Kołmogorowa) Prawdopodobieństwem jest każda funkcja P

określona na zbiorze F, taka że dla każdego A ∈ F spełnia aksjomaty:

1) P(A) ≥ 0

2) P(Ω) = 1

3) Jeżeli A1, A2, ... ∈ F i A1 ∩ Aj = ∅ dla każdego i≠j, to P(A1 ∪ A2 ∪ ...)= P(A1) + P(A2) + ...

(aksjomat przeliczalnej addytywności).

Niektóre własności tej funkcji:

P(∅) = 0

dopełnienie zdarzenia A

P(A’) = 1 - P(A)

gdzie A’ = Ω - A

3

P(A1 ∪A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∩ A2)

Prawdopodobieństwo zdarzeń warunkowych

{

P A ∩ B

P A / }

{

}

B =

{

∧ P B > 0

P

}

{ }

B

Niezależność zdarzeń:

Zdarzenia A i B są od siebie niezależne, jeśli zachodzi jedna z następujących równości: 1) P{A | B} = P{A}

2) P{B | A} = P{B}

3) P{A ∩ B} = P{A} ⋅ P{B}

4) A = ∅ ∨ B = ∅

Przykład zdarzeń zależnych A i B

(1) P{A | B} = 0,02 P{A} = 0,1

4

Wystąpienie zdarzenia B zmniejsza prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A.

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Założenie: A1, ..., Ak - ciąg zdarzeń taki, że: 1) Λ Ai ∩ Aj ≠ ∅

i≠ j=1...k

k

2) U Ai = Ω

- suma daje zdarzenie pewne

i=1

3) Λ P(Ai) > 0

i =1...k

k

P{ }

B = ∑ P{B|A } ⋅ P{A

i

i }

Teza:

i=1

Twierdzenie Bayes’a

Założenie: (patrz twierdzenie poprzednie) 4) P{B} > 0

Λ {

P B|A

⋅ P A

j

j

P A |B =

j

} { } { }

k

i=1...k

∑ {

P B|A

⋅ P A

i }

{ i}

i=1

5

wykorzystuje się np. w teorii niezawodności

k - przyczyna zepsucia się telewizora (A1 -

opornik, A2 - kineskop...)

B - fakt zepsucia się telewizora

Poszukujemy prawdopodobieństwa, że powodem zepsucia jest j-ta przyczyna.

P(Ai) - prawdopodobieństwo a priori przyczyny P(Ai|B) - prawdopodobieństwo a posteriori przyczyny

6