Pole elektryczne

W otoczeniu ciał rozładowanych występuje pole elektromagnetyczne. Ładunek umieszczony na metalowej przewodzącej kulce o wymiarach tej kulki dążącej do zera (ładunek próbny).

Przemieszczając ten ładunek otrzymamy linie pola styczne w każdym punkcie do wektora natężenia pola.

Natężenie pola elektrostatycznego w punkcie P jako iloraz siły oddziałującej na ten ładunek.

E=k=lim q→0 F/q [k]=[F]/[q]=1N/C=1J/mAs=1VAs/mAs=1V/m

1J=1Ws=1VAs 1C=1As

Prawo Culomba

Rozpatrzmy dwa ładunki punktowe q1 i q2 uwięzione w środowisku jednorodnym w odległości r ładunki te oddziałują na siebie za pośrednictwem wytworzonych pól.

pojemność - C=Q/U=1C/V=1As/V=1P

F=1/4πε*q1q2/r² ε=q1q2/4лFr² ε - stała dielektryczna

1[ε]=1C²/Nm²=1As/Vm=1F/m

Stała dielektryczna ε=εo - εw εw=ε/εo [εw]=1 [εo]=[ε] 1F/m εo=1/4л9*10 -9F/m

Prawo Gaussa

W każdym punkcie pola elektrycznego wektor natężenia pola ma określony zwrot i wartość i kierunek.

Wektor indukcji dielektrycznej - D=f(k) D=εk - w środowiskach izotropowych

[D]=[ε]*[K]=1F/m*V/m=1C/m²

gęstość powierzchniowa ładunku ds=1nds

Strumień dielektryczny przez powierzchnię s - to wektor indukcji D przez tę powierzchnię.

∫sDds=∫sDcosαds=∫sDdsin

Strumień elektryczny przez powierzchnię zamkniętą

K=F/q1=q2/4πεr² F=q1q2/4πεr² ∫sDds=∫sDndy=q/4π*∫dw=q D=Ek= q/4πr²

Def.: sn/r²=ω dsn/r²=dw

strumień wektora indukcji przez powierzchnię zamkniętą = ładunkowi zamkniętemu przez tę powierzchnię.

∫Dds=Σqk

Pole elektryczne jest źródłem strumienia dielektrycznego

Pole wokół rozładowanej kuli

Z prawa Gaussa można zauważyć że jakby zdefiniować wektor indukcji D co do wartości D=dq/ds.

Indukcja dielektryczna D jest gęstością powierzchniową ładunku τ=D

Napięcie i potencjał ładunek q porusza się wzdłuż linii (pomiędzy punktami AB działa na niego siła F)

Z przesunięciem tego ładunku związane jest wykonanie pracy A=∫Fs dl=∫Fdl

Definiuje się napięcie między punktami AB pola elektrycznego jako całkę liniową z wektorami UAB=∫Kdl K=lim q→0 F/q Napięcie jest to iloraz pracy A do ładunku q [U] = [K][l]=1V

Całka liniowa wektora Kdl wzdłuż zamkniętej linii w polu elektrycznym musi się równać zeru ∫Kdl=0

Praca wykonana przez ładunek byłaby różna od zera. Linie nie są zamknięte. ∫Kdl+∫Kdl=0

∫Kdl-∫Kdl=0 UApB=UAQB Napięcie w polu elektrycznym nie zależy od drogi całkowania. Potencjał Vp punktu P w polu elektrycznym nazywamy pracę wykonaną przy przesunięciu ładunku z punktu P do N , w którym potencjał Vn =0 podzielony przez ten ładunek. Vp= lim q→0 A/q= ∫Kdl

Przykłady pól elektrycznych:

- Pole naładowanej kuli elektrycznej - w każdym punkcie mamy wektor k styczny do linii pola

vr - warstwa k=const K=D/ε Kr=q/4лεr² Vp=∫Kdr= q/4лε*∫dr/r² =q/4лεr K=V/r

wykres natężenia pola elektrycznego

Napięcie między punktami A i B z różnicy potencjałów UAB=VA-VB= q/4лε(1/r1-1/r2)

- pole naładowanego bardzo długiego walca (długość L >> a - średnica)

D=q/s= q/2лrl K=D/ε=q/2лεlr Vp=∫Kdr= q/2лεr*∫dr/r=q/2лεr*ln*N/r A→r = ro

B→r = r2 VAB=q/2лεr*ln* r2/ro K= UAB/ rln* r2/ro - wyprzedzenie natężenia pola w punkcie P

• pole równomierne - wtedy gdy linie pola są równoległe , a K jest stałe na tej samej odległości (kondensator płaski)

l >> δ - można pominąć + δ UAB==∫Kdr= K∫dr=Kδ K= UAB/δ

Pojemność elektryczna

Układ dwóch ciał przewodzących tzw. elektrod oddzielonych środowiskiem dielektrycznym nazywamy kondensatorem.

UAB=VA-VB def.: C=q/U C=q/V - w przypadku pojedyńczego układu

Kula r=r0 V0= q/4лεr0 C=q/V0=4лεr0

Pojemność kuli ziemskiej r0=6378 km E0=1/4лg*10-9 C=709*10-6 F=709 µF

Połączenie równoległe kondensatorów

q=q1+ q2+ q3+...+ qn

C=C1+ C2+...+ Cn q=CU q1=C1U q2=C2U ... qn=CnU

Połączenie szeregowe kondensatorów

U=U1+ U2+...+ Un U=q/C U1=q/C1 U2=q/C2 ... Un=q/Cn 1/C=1/C1+1/ C2+...+1/ Cn

C=1:1/C1+1/ C2+...+1/ Cn

• Kondensator płaski

K= U/δ D=εK=ε*U/δ D=q/s q/s=ε*U/δ C=q/U=εs/δ

• Kondensator płaski uwarstwiony

C=1:1/C1+1/ C2 C1=ε1s/ δ1 C2=ε2s/ δ2

• Kondensator walcowy cylindryczny

U=UAB=q/2лεl*ln* r2/ro C=q/U=2лεl/ln* r2/ro

• Kondensator walcowy uwarstwiony

Szeregowe C1i C2 C=1:1/C1+1/ C2 C1=2лε1l/ln* r1/ro C2=2лε2l/ln* r2/r1

C=

Energia kondensatora

t - czas ładowania kondensatora

dt - dopływa do kondensatora ładunek dq → UC+∆UC w tym czasie dostarczana jest energia równa

dw=Ucdq=UCCdUC C=dq/dU - niejednorodna W=∫UcdUC=½CE² W=½qE

Energia pola elektrycznego

dwr=½KDdr - energia na jednostkę objętości gęstość energii w polu w=dw/dv=½Kd

v - objętość w=w/v - w polu równomiernym w=½KD=½εk² D=εk k=D/ε w=½*D²/ε

Pole przepływowe - pole elektryczne wytworzone we wnętrzu przewodnika przez przepływ prądu. Jeżeli w przewodniku płynie prąd stały to pole przepływowe jest niezmienne w czasie i nazywamy je stałym , jeżeli do dowolnego obszaru pola przepływowego dopływa ładunek to taki sam ładunek musi odpłynąć tzn. gęstość statyczna ładunku w stałym polu jest stała. Statyczne pole przepływowe jest podobne do pola elektrostatycznego. Up=∫Kdl=∫Kdr Liniami pola przepływowego nazywamy linie w przestrzeni których styczne w dowolnym punkcie mają kierunek i zwrot do wektora K.

Gęstość prądu

Przemieszczenie się ładunków przewodnika odbywa się w kierunku wyznaczonym przez K , a więc zgodnie z liniami pola nadajemy im zwrot odpowiadający ruchowi ładunku, a więc w kierunku spadków potencjałów. Jeżeli w czasie ∆t elementy powierzchni ∆s przepływa ładunek ∆q wtedy prąd płynący przez powierzchnię

i=lim∆t→0*∆q/∆t gęstość prądu w punkcie pola przepływowego P I=lim∆sn→0 ∆i/∆si=di/dsn [I]=[i]/[S]=A/n² di=JcosαdS=Jds α=<(J,S) dSn=cosαS i=∫Jds

Równomiernym nazywamy takie pole, w którym wektor gęstości prądu J jest stały w każdym punkcie J=const.

J=i/Si Prawo Ohma i Jula w polu przepływowym

Dwie rurki ekwipotencjalne

Rurkę możemy przedstawić jako elementarny przewód o rezystancji R=dl/γdS1

di - prąd płynący przez rurkę dU=V-(V+dv)=-dv

Prawo Ohma

-dv=dl/γdSn -dv=dl/γ *di/dSn =dl/γ*J -dv/dl=J/γ def.: K=-dv/dl

k=J/γ - prawo Ohma w polu przepływowym 1/γ=ζ J= γK K= ζ J

Płynący przez rurkę prąd di powoduje przekształcenie energii elektrycznej na cieplną elementarną dp

Dp=dl//γdSn*(di)² di=JdSn dp=dv*J²/γ dl*dSn=dv

Gęstość objętościowa mocy Pv=dp/dv=KJ=γk²=1/ζ k² Pv=KJ

Prawa Kirchoffa w polu przepływowym

I Prąd elektryczny przepływający przez dowolną powierzchnię zamkniętą równą zero ∫Jds = 0

• Elektryczne pole przepływające jest polem bezźródłowym

• Linie prądowe są liniami zamkniętymi

• Statyczne pole przepływowe jest polem potencjalnym

UAB=VA-VB=∫Kdl ∫Kdl=∫Kdl=-∫Kdl ∫Kdl=∫Kdl=0

Napięcie nie zależy od drogi całkowania. Jest to napięciowe prawo Kirchoffa całka zamknięta. Statyczne pole przepływowe jest polem bezwirowym.

Rezystancja przejściowa

Rozpatrzmy pole przepływowe wytworzone w środowisku przewodzącym wskutek przepływu prądu od elektrody A do elektrody B jeżeli są one metalowe, środowisko między elektrodami ma małą konduktywność, a dużą rezystywność - powierzchnie elektrod są powierzchniami ekwipotencjalnymi. UAB=VA-VB Rezystancja przejściowa - Rp=U/b Rp=U0/i - przy zmianie kierunku prądu

Rezystancja izolacji jednożyłowego kabla K=1/γ*J=i/2лγlr J= i/2лlr Rp=U/i=ln* r2/ro : 2лlr

Uziomy

Metalowe elektrody umieszczone w ziemi nazywamy uziomami. Doprowadzony do uziomu prąd wpływa do ziemi wytwarzając wokół pole przepływu. Linie prądowe są prostopadłe do powierzchni uziomu. Rezystancja przejścia jest nazywana rezystancją uziomu jest to opór jaki napotyka prąd od uziomu do miejsca gdzie v=0. Rezystancja uziomu zależy od kształtu uziomu , wymiarów geometrycznych, rezystywności i konduktywności gruntu - są to metalowe rury, taśmy,np.:

J=i/2πr² K=1/γ*J=i/2πγr² Potencjał punktu p Vp=i/2πγr Rp=1/2πγro

W otoczeniu uziomów istnieje pole elektroprzepływowe

Napięcie krokowe l kr - długość kroku

r2=r1+l kr Ukr=VA-VB=2/2πγr1 -2/2πγr2 =1/2πγ*(1/ r1-1/r2)=V0(1- 1:1+lkr/r0) V0=i/2πγro

---