I prawo Kirchoffa

Prąd jest przepływem ładunków, a w węźle ładunek elektryczny nie może być wytworzony, nie może ulec zniszczeniu, ani też nie może gro­madzić się.

Wobec tego suma prądów dopływających do węzła musi równać się sumie prą­dów odpływających, czyli

I prawo Kirchhoffa można sformułować w sposób następujący: suma prądów dopły­wających do węzła równa się sumie prądów od niego odpływających .

Otrzymujemy sumę algebraiczną prądów, w której prądy dopływające mają znak plus, a prądy odpływające — znak minus. Wobec tego I prawo Kirchhoffa możemy ogólniej sformułować następująco: suma algebraiczna prądów w węźle równa się zeru,

Ze względu na to, że I prawo Kirchhoffa dotyczy prądów, równania otrzymane na pod­stawie tego prawa nazywane są prądowymi.

II Prawo Kirchoffa

Napięcie miedzy dwoma punktami obwodu równa się różnicy potencjałów tych punktów, wobec czego dla wszystkich napięć w rozpatrywanym obwodzie zamkniętym otrzymujemy zależności:

Potencjał każdego punktu występuje w powyższych wyrażeniach dwukrotnie: raz ze znakiem plus, a drugi raz ze znakiem minus. Wobec tego po dodaniu stronami powyższych równań. mamy:

Zmieniając zwrot napięcia U_FA, otrzymujemy napięcie U_FA, przy czym

Podstawiając U_AF=-U_FA do równania otrzymujemy

Na podstawie powyższych rozważań formułujemy II prawo Kirchhoffa dotyczące do­wolnej drogi zamkniętej w obwodzie elektrycznym: suma algebraiczna wszystkich napięć wzdłuż drogi zamkniętej w obwodzie elektrycznym równa się zeru

TW. O wzajemności : Maxwella

Twierdzenie o wzajemności oczkowe: jeżeli w obwodzie liniowym roz­gałęzionym, jedyne źródlo napięcia znajdujące się w gałęzi k-tej wywołuje w gałęzi l-tej tego obwodu prąd /, to po przeniesieniu tego źródła do gałęzi l-tej, w gałęzi k-tej popłynie również prąd I. W obwodzie pokazanym na rys. 7.9a działa jedno źródło napięcia włączone do gałęzi k. Korzystając z metody oczkowej wy­znaczymy prąd w gałęzi

Ze wzoru (7.49) wynika, że

Ponieważ zgodnie z założeniem działa tylko jedno źródło napięcia włączone do gałęzi k, zatem wszystkie napięcia źródłowe oczkowe z wyjątkiem E_kk = E są równe zeru. Uwzględniając powyższe, wzór przyjmie postać

Przenosimy obecnie źródło napięcia E z gałęzi k do gałęzi l i obliczamy prąd I'_k

Ponieważ jedyne źródło napięcia działa tylko w gałęzi l, zatem wszystkie napięcia źródłowe oczkowe z wyjątkiem E_n = E są równe zeru

TW O IDEALNYM ŹRÓDLE

W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie zmianie, jeżeli do wszystkich gałęzi należących do tego samego węzła włączyć po jednym idealnym źródle idealnym o tej samej wartości i tej samej fazie napięcia i o tym samym zwrocie i o tym samym zwrocie w stosunku do rozpatrywanego węzła (tzn. wszystkie włączane napięcia źródło muszą mieć jednocześnie zwroty do lub od rozpatrywanego węzła. W obwodach o różnych rozmieszczeniach źródeł napięcia w poszczególnych gałęziach takich, że oczkowe napięcia źródłowe są jednakowe i rozpływ prądów jest taki sam. Twierdzenie to pozwala na przeniesienie idealnego źródła napięcia z jednej gałęzi do wszystkich pozostałych gałęzi należących do tego samego węzła. Na przykład, aby przenieść idealne źródło napięcia z gałęzi nie zawiera­jącej impedancji do wszystkich pozostałych gałęzi należących do tego samego węzła, tj. do gałęzi o impedancji Z_l i Z₂ (1) włączamy do wszystkich gałęzi należących do węzła l po jednym idealnym źródle napięcia (2), o takiej wartości napięcia źródłowego E i o takim zwrocie, aby wypadkowe

napięcie źródłowe w gałęzi nie zawierającej impedancji było równe zeru. Po usunięciu kompensujących się idealnych źródeł napięcia z gałęzi nie zawierają­cej impedancji otrzymamy obwód, którego schemat elektryczny przedstawiono rys(

METODA OCZKOWA

Metoda postępowania przy obliczaniu prądów za pomocą metody prądów oczkowych jest następująca:

1) wyodrębniamy w obwodzie m=α —a+1 oczek i ustalamy (dowolnie) zwroty prą­dów oczkowych we wszystkich oczkach,

2) wyznaczamy rezystancje własne i wzajemne oczek oraz oczkowe siły elektromotorycz­ne, otrzymując macierz rezystancji oczkowych oraz macierze I₀ i E₀,

3) rozwiązujemy równania oczkowe, znajdując prądy oczkowe,

4) wyznaczamy prądy gałęziowe obwodu.

METODA WĘZŁOWA

Metoda postępowania przy obliczaniu rozpływu prądów za pomocą metody potencja­łów węzłowych jest następująca:

1) przyjmujemy (dowolnie) jeden węzeł jako zależny, uziemiając go,

2) wyznaczamy konduktancję własne i wzajemne wszystkich węzłów niezależnych w obwodzie, otrzymując macierz konduktancji węzłowych G,

3) dla każdego węzła niezależnego wyznaczamy sumę ∑GE, otrzymując macierz Iw

4) rozwiązujemy układ równań węzłowych, wyznaczając potencjały węzłów niezależ­nych,

5) obliczamy prądy gałęziowe obwodu.

TW THEVENINA

Do zacisków A, B dołączamy opornik o rezystancji R, zamykając wyłącznik w (rys. 2.41), wskutek czego w tym oporniku popłynie prąd /. Celem naszych rozważań jest obli­czenie tego prądu.

Do gałęzi zawierającej opornik R włączymy idealne źródło napięcia o sile elektromo­torycznej E₀ = U₀,. Łatwo sprawdzić, że napięcie na otwartym wyłączniku w równa się zeru, wobec czego po zamknięciu tego wyłącznika prąd I w oporniku R równa się zeru

W wyniku tego przekształcenia otrzymuje się dwójnik pasywny P zawarty w obwodzie podanym na rys. 2.43.Dwójnik pasywny nie zawierający żadnych źródeł energii można zastąpić opornikiem o rezystancji jR₀ otrzymując w wyniku obwód z rys. 2.44. Wielkość R₀ jest zatem rezy­stancją dwójnika pasywnego P między zaciskami A, B. Prąd I' w oporniku R obliczamy na podstawie układu z rys. 2.44, otrzymując

Po dokonaniu superpozycji prądów /, /' płynących w obwodach podanych na rys. 2.41 i 2.43, mamy

bowiem prąd w oporniku R zawartym w obwodzie na rys. 2.42 równa się zeru. Wobec tego otrzymujemy

Udowodniliśmy twierdzenie Thevenina: Każdy liniowy dwójnik aktywny można przed­stawić w postaci źródła napięcia. Tytułem przykładu wyznaczymy zastępcze źródło napięcia dla połączenia równoległego dwóch źródeł napięcia o siłach elektromotorycznych ei , E₂ i rezystancjach wewnętrznej R_wi, R_W2 (rys. 2.46). Silą elektromotoryczna zastępczego źródła napięcia równa się napięciu U₀ między punktami A, B, przy czym

zgodnie ze wzorem (2.48). W celu wyznaczenia rezystancji wewnętrznej /?₀ zastępczego źródła napięcia zwieramy idealne źródła napięcia, otrzymując dwójnik pasywny pokazany na rys. 2.47 o postaci równoległego połączenia oporników, wobec czego rezystancja tego dwójnika wynosi

Wielkości E₀, R₀ są parametrami zastępczego źródła napięcia. Również połączenie równoległe n źródeł napięcia (rys. 2.29) można zastąpić jednym źródłem napięcia. Na podstawie rozważań przeprowadzonych w punkcie 2.10 stwierdza­my, że siła elektromotoryczna zastępczego źródła napięcia równa się

a rezystancja wewnętrzna tego źródła równa się rezystancji równoległego połączenia oporników R_wi, R_w2, R_m, czyli

TW NORTONA

Zgodnie z twierdzeniem Thevenina, każdy liniowy dwójnik aktywny można przedsta­wić w postaci źródła napięcia o sile elektromotorycznej E₀ i rezystancji wewnętrznej Eo (rys. 2.53). Natomiast źródło napięcia można przedstawić w postaci źródła prądu, jak na rys. 2.54. Prąd źródłowy tego źródła prądu jest równy prądowi zwarcia źródła napięcia, wobec czego

Podstawiając jR=0 do wzoru (2.59) stwierdzamy, że prąd źródłowy 7₀ jest równy prądom wi płynącemu w bezoporowym przewodzie zwierającym zaciski A, B dwójnika aktywnego z rys. 2.40. Rezystancja wewnętrzna źródła prądu jest taka sama jak źródła napięcia Otrzymujemy stąd twierdzenie Nortona: Każdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić w postaci źródła prądu. Twierdzenie Nortona znajduje zastosowanie przy wyznaczaniu prądu I płynącego przez opornik dołączony do punktów A, B obwodu (rys. 2.55). Na podstawie twierdzenia Nortona zastępujemy dwójnik aktywny źródłem prądu (rys. 2.36). Prąd I płynący przez opornik R wynosi

przy czym G=1/R. Napięcie U na oporniku R wynosi zatem

---