„Wyznaczanie modułu Younga przy skręcaniu”.

Temperatura - 21ºC

Wilgotność - 73%

I CZĘŚĆ TEORETYCZNA

SPRĘŻYSTOŚĆ:

jest to zdolność powracania ciał do kształtu pierwotnego (lub objętości pierwotnej), gdy działanie sił odkształcających (naprężeń nie przekraczających pewnej wartości tzw. granicy sprężystości) ustaje.

δ_x= E·є_x

E - współczynnik proporcjonalności, czyli stała sprężystości (moduł Younga).

Є - odkształcenie liniowe.

Największe naprężenie statyczne przy skręcaniu jest równe stosunkowi momentu skręcającego do wskaźnika przekroju na skręcanie :

τ_max=
[Mpa]

Całkowity kąt skręcania wału jest proporcjonalny do momentu skręcającego i odwrotnie proporcjonalny do modułu sprężystości postaciowej i biegunowej momentu bezwładności przekroju.

φ=
[º]

MOMENT SKRĘCAJĄCY:

Skręcanie zachodzi wtedy, gdy na końcach elementu są przyłożone przeciwne co do znaku pary sił, leżące w płaszczyznach prostopadłych do osi elementu. Moment pary sil zewnętrznych czynnych nazywać będziemy momentem czynnym lub obciążającym. Moment pary sił zewnętrznych biernych nazywać będziemy momentem biernym lub obciążającym.

Przez moment skręcający (M_S) w danym przekroju poprzecznym pręta rozumieć będziemy sumę algebraiczną momentów wszystkich par sił zewnętrznych, działających po jednej, dowolnej stronie rozpatrywanego przekroju i leżącym na płaszczyźnie prostopadłej do osi skręcanego pręta.

M_S = F • a

Wartość momentu w każdym przekroju możemy przedstawić za pomocą wykresu. Wykres taki nazywamy wykresem momentów skręcających i oznaczmy M_SI.

NAPRĘŻENIE W PRZEKROJACH KOŁOWEGO PRĘTA SKRĘCANEGO:

Po obciążeniu swobodnego końca pręta momentem skręcającym M_S pręt się odkształca, zachowując się tak, jakby był złożony z wielu oddzielnych, sztywnych krążków, nałożonych na wspólna oś.

Doświadczenia wykazują, że przy małych odkształceniach:

• oś pręta pozostaje linią prostą i zachowuje swoje początkowe położenie

• tworzące, poprzednio równoległe do osi pręta, przyjmują kształt linii śrubowej

• przekrój czołowy pozostaje płaski

• promienie przekroju czołowego po odkształceniu się wału pozostają odcinkami prostymi

• odległość pomiędzy poszczególnymi przekrojami nie zmieniają się

• długość skręcanego pręta nie ulega zmianie

NAPRĘŻENIE STATYCZNE:

Naprężenie styczne w dowolnych punktach przekroju poprzecznego pręta są różne. W środku przekroju są równe zeru, gdyż oś pręta się nie odkształca. Naprężenie styczne podczas skręcania zmieniają się proporcjonalnie do ich odległości od środka przekroju poprzecznego pręta.

Moment skręcający M_S jest równy sumie momentów wszystkich sił działających w płaszczyźnie przekroju względem środka O tego przekroju. Maksymalne naprężenie styczne występuje w warstwie zewnętrznej skręcanego pręta.

Stosunek biegunowego momentu bezwładności J_O do promienia r przekroju kołowego nazywamy wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie.

Maksymalne naprężenie styczne podczas skręcania jest równe stosunkowi momentu skręcającego do wskaźnika wytrzymałości przekroju na skręcanie.

WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCI PRĘTA:

Obliczenia konstrukcji uwzględniają dwa warunki:

• warunek wytrzymałości

• warunek sztywności

Z warunku wytrzymałości pręta na skręcanie wynika, że największe naprężenie styczne nie może przekroczyć naprężenia dopuszczalnego.

M_S

τ = ——

W_O

Wzór ten określa nośność pręta tj. największy moment skręcający.

Najmniejszy wskaźnik wytrzymałości na skręcanie określa się wzorem:

M_S

W_O > ——

K_S

WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCI PRĘTA SKRĘCANEGO:

Warunek ten wyraża, że kąt skręcanego pręta nie może przekroczyć kata dopuszczalnego

M_S • l

J_O > ————

G • φ_dop

M_S - największy moment skręcający

J_O - najmniejszy biegunowy moment bezwładności

PRAWO HOOKE'A:

jest to podstawowe prawo teorii sprężystości i wytrzymałości materiałów : odkształcenie materiału jest proporcjonalne do wywołującego je naprężenia (przy naprężeniach nie większych od tzw. Granicy proporcjonalności, zw. też granicą Hooke'a. Granica ta jest równa w praktyce granicy sprężystości).

„Kąt skręcania φ w żadnym wypadku nie może być większy niż 0,2 - 2º/1m, gdyż zostanie przekroczona granica sprężystości, co spowoduje trwałe odkształcenia próbki (jej zniszczenie)”.

Iloczyn G · J_o występujący w mianowniku nazywamy sztywnością przy skręcaniu. Im większy jest ten iloczyn, tym mniejsze jest odkształcenie, czyli pręt jest bardzo sztywny.

G=
[Mpa]

Wskaźnik przekroju na skręcanie :

W_o=

Moment bezwładności :

J_o=
[mm⁴]

Jednostkowy kąt skręcania :

φ/M_s [º/Nm]

II CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

1)Treść zadania :

Przyrząd ćwiczeniowy służy do pomiaru odkształceń przy skręcaniu w granicach stosowalności prawa Hooke ̀a, a więc można wyznaczyć moduł sprężystości poprzecznej w skręcaniu. Pręt znanej długości l, o średnicy d zamocowany jest na stałe w uchwycie 1. Drugi koniec spoczywa na drugim uchwycie. Na obudowie łożyska zamocowana jest skala z podziałką kątową. Wskazówka osadzona na pręcie w każdej chwili skręcania wyznacza wartość kąta skręcania. Moment skręcający uzyskuje się przez nałożenie na pręt koła, do którego zaczepiona jest linką strzałka. Znając wartość promienia koła oraz obciążenia znajdującego się na szalce możemy określić wartość momentu skręcającego.

M_S = P• R_kGcm

Przed przystąpieniem do ćwiczenia należy wyznaczyć :

l - długość skręcanego pręta w cm

d - średnica skręcanego pręta w cm

r - promień koła obciążającego pręt momentem skręcającym w cm

Jo- biegunowy moment bezwładności

Do ćwiczenia będą nam potrzebne trzy odpowiednie pręty wykonane z odpowiednich materiałów:

1)ALUMINIUM

2)STAL

3)MIEDŹ

2)Sprawdzane przedmioty i wymiary (szkic mierzonego przedmiotu i wymiary symbolowe, schemat urządzenia itp.).

Powyższe rysunki przedstawiają próbki wykorzystane w doświadczeniu.

3)Sprzęt mierniczy:

• suwmiarka

• metr

• maszyna wytrzymałościowa

4)Wyniki pomiarów (tabela zestawieniowa wyników):

Lp.	Oznaczenie	Próbka			Obciążenie			Kąt skręcania φº	Jednostkowy kąt skręcania φ/Ms [º/Nm]
				do	Lo	Jo	P			Ms	G
				mm	mm	mm^4	N			Nm	MPa
1)	Pręt 1	6,19	290	144	3	450N*mm= 0,45N*m	81,2	0,64	1,42
2)	Pręt 2	8,2	290	443,6	5	750N*mm= 0,75N*m	43,9	0,64	0,85
3)	Pręt 3	10,3	290	1104,4	8	1200N*mm= 1,2N*m	28,2	0,64	0,53
WARTOŚĆ ŚREDNIA φ/Ms= 0,93

Objaśnienia symboli :

P - obciążenie w N.

M_s - moment skręcający.

G - moduł sprężystości.

L_o - długość skręcanego pręta.

d_o - średnica skręcanego pręta.

J_o - biegunowy moment bezwładności przekroju.

5)Obliczenia:

1 kg = 9,81 N

1 kg/cm² = 98066,5 Pa

Kąt skręcania próbek:

320 mm /1000 mm (1m) = 3,125 mm - taką część 1 m stanowi 1 badana próbka, stąd 2º/3,125 mm = 0,64º

0,64º = 40`

Pręt 1:

J_O =
=
= 144 mm⁴

M_S = F * a =3N * 150 mm = 450 N mm=0,45N*m

G=
=
=
=81,2 MPa

φ/M_s=
= 1,42^º N*m

J_O - biegunowy moment bezwładności przekroju

M_S - moment skręcający

G - moduł sprężystości

φ/M_s- jednostkowy kąt skręcania

Pręt 2:

J_O =
=
= 443,6 mm⁴

M_S = F *a= 5N * 150 mm = 750 N mm=0,75N*m

G=
=
=
=43,9 MPa

φ/M_s =
= 0,85^ºN m

J_O - biegunowy moment bezwładności

M_S - moment skręcający

G - moduł sprężystości

φ/M_s- jednostkowy kąt skręcania

Pręt 3:

J_O =
=
= 1104,4 mm⁴

M_S = F * a =8N * 150mm = 1200 N mm=1,2N*m

G=
=
=
=28,2 MPa

φ/M_s =
= 0,53º N m

J_O - biegunowy moment bezwładności

M_S - moment skręcający

G - moduł sprężystości

φ/M_s- jednostkowy kąt skręcania

6)Uwagi i wnioski końcowe:

Po przeprowadzonej próbie skręcania na trzech różnych próbkach można zauważyć między nimi istotne różnice. Duże znaczenie na te zmiany mają nie tylko grubość próbki, ale również materiał z jakiego zostały wykonane. Porównując np. : próbkę aluminiową, która jest grubsza z próbką stalową można jednoznacznie stwierdzić, iż szybciej odkształceniu ulegnie próbka aluminiowa co można wywnioskować z obliczeń znajdujących się w tabeli na str. 7. Ponieważ ze skręcaniem spotykamy się bardzo często na co dzień ( wałki w skrzyniach biegów, wały odbioru mocy, niektóre rodzaje sprężyn, klucze do zamków drzwi), dlatego dobór materiału oraz grubość danego elementu są bardzo istotne i muszą być brane pod uwagę w trakcie ich wytwarzania.

9

---