POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT FIZYKI	Sprawozdanie z ćwiczenia nr 2
TOMASZ DĄBROWSKI SYLWIA PARKITNA	TEMAT: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.
Wydział: IZ Rok: 2	DATA: 29.10.1997 OCENA:

Cel wykonywanego ćwiczenia:

Poznanie budowy i zasady działania wahadła rewersyjnego, wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego w oparciu o wahadło rewersyjne.

Plan sprawozdania:

Część teoretyczna

Opis doświadczenia

Wnioski

Część teoretyczna

W celu przystąpienia do przeprowadzania pomiarów przyspieszenia ziemskiego zapoznamy się najpierw z niezbędnymi przyrządami i ich właściwościami. Pod pojęciem wahadła matematycznego rozumiemy jednostkowy punkt materialny o masie m zaczepiony na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l. Dla tak określonych danych okres drgań tego wahadła wyraża się oczywiście wzorem:

Jeżeli natomiast będziemy mieć do czynienia z dowolnego kształtu ciałem sztywnym, mogącym się wahać wokół osi poziomej umieszczonej powyżej środka masy, to mówić będziemy o wahadle fizycznym. Oba opisane powyżej wahadła wykonują ruch drgający pod wpływem działania siły ciężkości. Dla małych amplitud ruch ten traktować będziemy jako harmoniczny prosty. Równanie takiego ruchu wygląda następująco:

gdzie:

I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu;

- kąt wychylenia z położenia równowagi;

d - odległość punktu zawieszenia od środka ciężkości.

Okres liczymy ze wzoru:

Korzystając z własności, że dla każdego wahadła fizycznego możemy dobrać wahadło matematyczne o takiej długości (długość zredukowana
), która zapewnia nam równość okresów ich wahań, możemy porównać oba wzory na okresy:

więc:

Potrzebną wielkość długości zredukowanej wyznaczamy wiedząc, że każde wahadło rewersyjne posiada dwa punkty zawieszenia, którym odpowiada ten sam okres drgań, gdzie odległość pomiędzy tymi punktami jest właśnie długością zredukowaną. Własność tą możemy w łatwy sposób udowodnić korzystając z twierdzeń Steinera, odnoszących się do momentów bezwładności.

Znając długość zredukowaną oraz wykorzystując opisane własności okresów drgań wahadeł, możemy po krótkich przekształceniach otrzymać związek na przyspieszenie ziemskie g postaci:

z którego skorzystamy w dalszych rozważaniach.

Opis doświadczenia

Wykorzystywany w ćwiczeniu układ pomiarowy składał się z podstawy umożliwiającej wypoziomowanie przyrządu, osadzonej w podstawie kolumny z dwoma wspornikami (górnym - służącym do zamocowania wahadła, i dolnym - wyposażonym w czujnik fotoelektryczny umożliwiający precyzyjne przeprowadzenie doświadczeń), wahadła wyposażonego w dwa zwrócone ku sobie noże oraz dwie metalowe soczewki, które można przemieszczać wzdłuż osi pręta i unieruchamiać w dowolnym położeniu. W celu ułatwienia pomiarów długości wahadła zostało ono wyposażone w poziome nacięcia. Schemat takiego wahadła wygląda następująco:

W pierwszej części doświadczenia wyznaczać będziemy długość zredukowaną wahadła rewersyjnego przesuwając łożyskiem B. Łożysko A mocujemy na końcu pręta, pierwszy dysk w środku, łożysko B w 1/4 długości pręta od jego końca B, drugi dysk na drugim końcu pręta. Przez
oznaczymy okres drgań dla wahadła zawieszonego na łożysku A, przez
natomiast okres drgań wahadła na łożysku B. W celu zwiększenia dokładności pomiarów mierzyć będziemy czas 30 drgań. Ponieważ po pierwszym pomiarze zauważyliśmy, że
<
, więc w trakcie dalszych pomiarów łożysko B przesuwać będziemy w kierunku końca B pręta. Przez d oznaczymy odległość pomiędzy łożyskami. Otrzymane wyniki kształtują się następująco:

Czas A [s]	[s]	Czas B [s]	[s]	d [cm]
39,150	1,305	93,920	3,131	39
39,151	1,305	64,891	2,163	40
39,153	1,305	52,635	1,755	41
39,156	1,305	46,223	1,541	42
39,163	1,305	42,040	1,401	43
39,164	1,305	39,240	1,308	44
39,166	1,306	37,139	1,238	45
39,172	1,306	35,645	1,188	46
39,176	1,306	34,647	1,155	47
39,181	1,306	33,875	1,129	48
39,183	1,306	33,331	1,111	49
39,186	1,306	33,011	1,100	50

Z powyższych pomiarów widać, że szukana długość zredukowana w granicach dokładności naszych pomiarów wynosi 44cm. Korzystając ze znanej zależności na wartość przyspieszenia ziemskiego g mamy :

=10,176

pod T podstawiamy wartość średnią z
,
(1,3065).

Zajmiemy się teraz liczeniem błędów korzystając z metody różniczki logarytmicznej. Błąd pomiaru ΔT liczymy w następujący sposób:

lnT = lnt - lnn

Błąd pomiaru okresu wynika z dokładności stopera podzielonej przez ilość drgań (zgodnie z poleceniem).

0,000025 = 0,0025%

Natomiast błąd bezwzględny ΔT = 0,000033

Błąd pomiaru długości zredukowanej przyjmiemy jako wielkość najmniejszej jednostki przedziałki, będzie on więc wynosić 0,001m.

Przechodzimy do obliczenia błędu pomiaru g:

lng = 2ln(2π) + ln
- 2lnT

0,002 = 0,2%

Błąd bezwzględny wynosi więc:

= 0,023

Wykres zależności T = f (d) oparty na danych z powyższej tabeli kształtuje się następująco:

Z powodu znikomości wyliczonych powyżej błędów pomiaru okresu nie jesteśmy w stanie w sposób wiarygodny nanieść ich na wykres.

W kolejnej części doświadczenia wyznaczać będziemy długość zredukowaną wahadła posługując się przesuwanym dyskiem. Ustawienia początkowe są następujące: łożysko A na końcu pręta, dysk pierwszy w pobliżu łożyska A, drugi dysk w środku pręta, łożysko B na drugim końcu. W trakcie doświadczenia zmieniać będziemy wyłącznie położenie dysku B. Oznaczenia przyjmujemy analogiczne do poprzednich, z wyjątkiem x, który w tym wypadku oznaczać będzie odległość dysku B od łożyska B.

Wyniki zestawione zostały w poniższej tabeli:

Czas A [s]	[s]	Czas B [s]	[s]	x [cm]
31,321	1,044	38,203	1,273	26
31,696	1,057	38,153	1,272	25
32,103	1,070	38,111	1,270	24
32,481	1,083	38,082	1,269	23
32,852	1,095	38,072	1,269	22
33,241	1,108	38,058	1,269	21
33,653	1,122	38,063	1,269	20
34,074	1,136	38,069	1,269	19
34,468	1,149	38,098	1,270	18
34,900	1,163	38,154	1,272	17
35,293	1,176	38,203	1,273	16
35,705	1,190	38,282	1,276	15
36,122	1,204	38,366	1,279	14
36,518	1,217	38,429	1,281	13
36,915	1,231	38,584	1,286	12
37,321	1,244	38,723	1,291	11
37,727	1,258	38,880	1,296	10
38,133	1,271	39,051	1,302	9
38,538	1,285	39,246	1,308	8
38,939	1,298	39,502	1,317	7
39,341	1,311	39,707	1,324	6
39,738	1,325	39,987	1,333	5
40,130	1,338	40,238	1,341	4
40,513	1,350	40,544	1,351	3

Wszystkie pomiary zostały wykonane ponownie dla n=30. Pomimo, że nie osiągnęliśmy (co widać z poniższego wykresu) przecięcia obu krzywych (niemożność przesunięcia dysku), to różnica w pomiarach okresów dla najbardziej korzystnego przypadku jest znacznie mniejsza niż podczas doświadczenia pierwszego, co skłoniło nas do wykorzystania tych danych w celu ponownej próby wyznaczenia wielkości przyspieszenia ziemskiego g.

Wykres zależności T = f (x) wygląda następująco:

Przystąpimy następnie do liczenia przyspieszenia i związanych z nim błędów, używając procedur analogicznych do poprzednich. W tym doświadczeniu długość zredukowana jest stała i wynosi ona
=52cm.

= 11,256

pod T podstawiamy wartość średnią z
,
(1,3505).

Zajmiemy się teraz liczeniem błędów.

0,000025

Natomiast błąd bezwzględny ΔT = 0,000034

Jest to wartość zbliżona do analogicznej z poprzedniego doświadczenia i równie niewielka, więc ponownie o wielkości błędu decydować będzie błąd pomiaru
.

Tak więc:

0,002 = 0,2%

Błąd bezwzględny wynosi więc:

= 0,022

3. Wnioski

Podsumowując zauważyć należy, że pierwsze z doświadczeń dało nam wynik bardziej zbliżony do rzeczywistej wartości przyspieszenia ziemskiego g = 9,80665m/s . Obie uzyskane przez nas wartości, nawet po uwzględnieniu błędów, odbiegają od prawdy, choć spełnione zostały warunki zadania, tzn. różnica w pomiarach okresów uzyskiwanych dla różnych zawieszeń wahadła (łożysko A, łożysko B) była znacznie mniejsza od górnej proponowanej granicy wynoszącej 0,5%. Miało to szczególnie miejsce podczas drugiej serii pomiarów, choć jak się okazało nie wystarczyło to do precyzyjnego wyznaczenia g. Domniemać możemy jedynie, że skonstruowane w wyniku poszukiwania odpowiednich położeń dysków A i B wahadło nie jest prawdziwym wahadłem rewersyjnym (nie jesteśmy pewni, czy już osiągnęliśmy moment zrównania się amplitud), a więc nie są, w tym wypadku, w pełni uzasadnione i prawdziwe wzory obowiązujące dla tego typu wahadeł, co na pewno odbiło się na jakości otrzymanych wyników.

---