Wstęp teoretyczny 7

Aby opisać ruch bryły sztywnej wprowadzamy dwa układy odniesienia, inercyjny XYZ („nieruchomy") względem, którego bryła zmienia swoje położenie i drugi układ xyz, który jest w sposób trwały związany z bryłą i który bierze udział we wszystkich jej ruchach. Jeśli jeden punkt bryły, np. O, unieruchomimy, to wówczas będzie ona mogła zmieniać tylko orientację w przestrzeni, a więc będzie mogła wykonywać jedynie ruch obrotowy wokół tego punktu. W ruchu obrotowym prędkość kątowa wszystkich punktów bryły jest taka sama. Prędkość liniową V dowolnego i-tego punktu bryły wiąże z j ej prędkością kątową a» zależność.

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu.

gdzie:

m - masa punktu;

r - odległość punktu od osi obrotu

Momenty bezwładności wybranych brył:


Twierdzenie Steinera:



Onaczenia:
I - moment bezwładności;
I₀ - moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy;
m - masa ciała;
a - odległość nowej osi od osi przechodzącej przez środek masy;

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar ML². Zwykle mierzy się go w kg·m².

gdzie:

m - masa punktu;

r - odległość punktu od osi obrotu

Wahadło skrętne jest uproszczonym modelem cząsteczki chemicznej zbudowanej z dwu atomów (np. HCI, NaCl itp.). Cząsteczki takie mogą wykonywać w ośrodku ruchy rotacyjne, np. pod wpływem pola elektrycznego fali elektromagnetycznej. Drgania takie obserwuje się przy użyciu spektrofotometrów pracujących w podczerwonej części widna fal elektromagnetycznych, jako charakterystyczne widma pasmowe. Częstości rezonansowe v drgań cząsteczek są skwantowane (przybierają wartości dyskretne, będące wielokrotnością stałej Plancka h).

Gdzie h - stała Plancka, I - moment bezwładności cząsteczki, J - liczba kwantowa rotacji, J = 0, 1, 2, 3 ...

Mierząc przy pomocy spektrometru te częstości drgań, które odpowiadają kolejnym wartościom liczby K, można wyznaczyć moment bezwładności cząsteczki I, względem osi przechodzącej przez jej środek masy, prostopadłe do prostej łączącej środki mas obu atomów (lub jonów). Jeśli masy obu atomów nie są jednakowe, to moment bezwładności takiej cząsteczki wynosi

Gdzie μ jest tzw. masą zredukowaną, którą określa wzór:

M1 i M2 oznaczają masy atomów tworzących cząsteczkę.

Znając wartość momentu bezwładności cząsteczki I można wyznaczyć bardzo ważny parametr cząsteczki: odległość d środków mas tworzących ją atomów.

Można symulować zachowanie się takiej cząsteczki za pomocą prostego modelu mechanicznego. Zamiast sił pola elektromagnetycznego, na parę kulek działają siły sprężystości drutu stalowego, na którym kulki te są zawieszone. W tym celu kulki nasunięto na pręt stalowy o średnicy 0.4 cm i długości 30 cm. Pręt ten jest zawieszony na stalowym, sprężystym drucie, napiętym na ramie. Odległości kulek od osi obrotu można zmieniać, przesuwając je symetrycznie na pręcie. Układ stanowi więc skrętne wahadło fizyczne, którego okres drgań jest równy:

Gdzie:

I - moment bezwładności układu złożonego z pręta i nasadzonych na niego kul.

D - tzw. moment sił kierujących (lub moment kierujący) powstający w wyniku skręcania drutu.

Moment bezwładności badanego układu jest sumą momentów bezwładności I_p pręta (względem osi prostopadłej do pręta, i przechodzącej przez jego środek), oraz momentu bezwładności I_k obu kul (względem tej samej osi).

I = Ip + Ik

Dlatego wzór na okres drgań badanego układu ma postać

Żeby wyznaczyć wartość momentu kierującego D wahadła potrzebny nam jest okres drgań wahadła pręta T_p oraz moment bezwładności samego pręta I_p, który ma postać:

gdzie m - masa pręta, l - jego długość

Okres drgań T_p takiego pręta jest równy:

A stąd otrzymujemy:

Wahadło torsyjne - ciało wykonujące wahadłowy ruch obrotowy, siłą kierującą jest siła sprężystości.

Może to być ciało, zawieszone na sprężystym drutcie. Okres drgań takiego wahadła wynosi:

gdzie:

I -jest momentem bezwładności,

D -momentem siły skręcającej przypadającym na jednostkowy kąt skręcenia.

Pomiar okresu wahadła torsyjnego działającego w oparciu o skręcanie drutu, pozwala na wyznaczenie modułu sprężystości materiału, z którego wykonany jest drut.

Wahadłem torsyjnym jest również balans, stosowany jako podstawowy element odmierzający czas w mechanicznych zegarkach ręcznych i kieszonkowych oraz w większości zegarów stołowych. Oś balansu obraca się na dwóch łożyskach, elementem sprężystym jest sprężyna zwana włosem. W tzw. zegarach rocznych, wymagających nakręcania tylko raz w roku, wahadło torsyjne ma postać ciężkiego metalowego pierścienia lub ozdobnych kul zawieszonych na sprężystym drucie.

---