Zestaw I

1)Jednorodny walec o promieniu R i masie m leży powierzchnią boczną na płaszczyżnie poziomej. Oblicz moment bezwładności walca względem osi przechodzącej wzdłuż lini jego styku z powierzchnią. Długość h gęstość ρ = const..

Dane: R,m,h

V= Πr²h m=ρV

dV=2Πrh dm=ρdV

I=
r²dm =
r²ρdV =
r²ρ2ΠrhdV = ρ2Πh
r³dV ==
ρ2Πh 0,25 r⁴
=
Πρh r⁴ =
ΠρhR⁴ =
ΠρhR²R² =

=
mR²

2)Znaleść natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez jednorodną cienką powłokę kulista o promieniu R i gęstości powierzchniowej ρ - a) wewnątrz powłoki b) na jej powierzchni c) na zewnątrz powłoki

Dane : R, ρ szuka: E₁, E₂,E₃

a) r<R ρ=
=

ρ=
m₁=
Πr₁³ ρ

Eds = 4ΠGM₁

4ΠMG = 4Πr²E M=δ*S

E4Πr²=4ΠδSG :S=4Πr²

E4Πr²=4ΠδSG 4Πr²

E=4ΠδG

b) dla r=R

4ΠR²=4ΠMG M=δ4ΠR²

4ΠR²=4ΠG δ4ΠR²

E=4ΠδG

c) dla r>R

E 4Πr²=4ΠMG M=δS

E 4Πr²=4ΠG δS S=4ΠR²

E=4ΠGSR²/r²

Wnętrzu kuli rośnie liniowo, na powierzchni jest stałe, na zewnątrz maleje ze wzrostem odległości

3)W ciągu t=5min. Energia drgań tłumionych zmniejszyła się

4 - krotnie po jakim czasie od chwili początkowej ampituda zmniejszy się 8 razy? Jaka jest wartość dekrementu tłumienia jeżeli częstotliwość f = 1000 Hz.

Dane :t₁= 5 min. , f = 1000 Hz , A₂ =
,
=
A₂= A₀e^βt2
= (
)²

8 = e
2= e^βt1 3 ln 2 = βt₂

t₂=
i β=
ln2 = βt₁

β=
t₂= 3t₁ t₂ = 15 min.

Λ= βT Λ= β
, β=

Λ=
Λ=
Λ= 2,3 * 10^-6

4) Jaka musi być gęstość kuli drewnianej o promieniu R, aby wypłynęła ona z wody o gęstości ρ ze stałą prędkością V, jeżeli współczynnik lepkości wynosi η?

Dane : R, ρ_w,η, V szukane : ρ

M = ρV , V =
ΠR³ , gm = - 6ΠηRV

ΠR³(ρ_w - ρ_k)g = 6 ΠηRV
2ΠR³ρg - ρ_kg2ΠR³ = 9 ΠηRV

-ρ_k =

ρ_w =
[
] = [
]

Zestaw II

1)Oblicz moment bezwładności jednorodnego płaskiego krążka o promieniu R i gęstości powierzchniowej σ względem osi prostopadłej do płaszczyzny krążka i przechodzącej przez jego środek.

Dane R σ I=?

I=x²dm σ=m/ΠRr² σ=m/I d=2Πxdx

dm=σ 2Πxdx
d=2dm=x²2Πσxdx=2Πσx³dx

I=∫₀^R2Πσx³dx=2Πσ R⁴/4= ½ ΠσR⁴= ½ΠR²σR²=½mR²

2)Znaleźć natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego przez jednorodnie naładowaną płaszczyznę o gęstości powierzchniowej ładunku σ.

Dane σ szukane E_δ=?

E=F_q/m E=G M/R² E_σ =G M/R² =G σR/R²=G σ2ΠR/R=Π2σG

3)W czasie t=20s amplituda drgań tłumionych w okresie T=0,2 zmniejszyła sie 2 razy. Po jakim czasie amplituda zmaleje 16 razy? Jak zmieni się wówczas energia całkowita oscylatora? Ile wynosi wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia?

t₁ =20s T=0,2s

A₁=A₀/2 A₂=A_o/16

A₁=A₀ e^-βt ½= e^-βt 2= e^βt ln2=βt₁ β=ln2/t₁ A₂=A₀ e^-βt 1/16= e^-βt 16= e^βt 4ln2=βt₂

t₂ =4ln2/β[s] t₂ =4ln2⋅20/ln2=80 t₂=80s λ=βt λ=ln2⋅0,2⋅1/20=6,9⋅10^-3

E/E₀=(A₂/A₀)² E/E₀=1/16²

4)Dźwięk z ulicy o poziomie natężenia dźwięku 90 dB, słychać w mieszkaniu z poziomem natężenia 60 dB. Znaleźć stosunek natężeń dźwięku na ulicy i w mieszkaniu.

p₁=90dB poziom natężenia dźwięku na ulicy

p₂=60dB poziom natężenia dźwięku w mieszkaniu

p₁-p₂=30dB

p₁=10log I₁/I­₀ p₂=10log I₂/I­₀ 10log I₁/I­₀ - 10log I₂/I­₀=30

log I₁/I­₀ - log I₂/I­₀=3 log I₁/I­₂=3 I₁/I­₂=10³

Zestaw III

1)Oblicz moment bezwładności jednorodnego cienkiego pierścienia o promieniu R i gęstości liniowej masy τ względem osi przechodzącej przez środek pierścienia i prostopadłej do płaszczyzny na której leży pierścień.

; dm=τ*dl

; dl=r*df

2)Znaleźć natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez jednorodną kulę o promieniu R i gęstości p: a) wewnątrz, b) na jej powierzchni, c) na zewnątrz kuli.

a) r<R m=4Πr²*b E=(GM)/r²=(G⁴Πr²*b)/R²=4ΠGb

b) r=R E=(GM)/R²=(G⁴ΠR²b)/R²=4ΠGb

c)r>R E=(GM)/r²=(G⁴ΠR²b)/r²

3)W ciągu czasu t₁=1 min energia drgań tłumionych zmniejszyła się 9 razy. Po jakim czasie licząc od chwili początkowej amplituda zmniejszy się 27 razy? Jak jest wartość dekrementu tłumienia jeśli częstotliwość drgań wynosi f=2000Hz.

t₁=60s


t₂=?

E₁/E₂=1/9 E₁/E₀=(A₁/A₀)² 1/3=A₁/A₀
A₁=A₀e^-βt1 1/3=(A₀e^-βt1)/A₀

3=e^-βt1 ln3=βt₁ β=ln3/t₁ A₂=A₀e^-βt2
A₀/27=A₀e^-βt2 27=e^βt2 3³=e^βt2
3ln3=βt₂ t₂=3ln3/β β=ln3/t₁

t₂=3ln3/(ln3/t₁) t₂=3t₁ [s] t₂=180s

Λ=βT Λ=β/f Λ=ln3/(t₁*f)
Λ=ln3/(60*2000) Λ=9,155*10^-6

4)O ile przesunie się tłok strzykawki o przekroju poprzecznym S₁=1 cm² , aby ciecz wypłynęła z niej ruchem jednostajnym po czasie t = 3s, jeśli działamy na niego siłą F=10N, a przekrój otworu wynosi S₂=1 mm².

S₁=1 cm² S₂= 1 mm² t=3 s F=10N

p₁=p₂

F=ma

Zestaw IV

1)Wdrążony jednorodny walec o promieniu zewnętrznym R, wew r i masie m leży powierzchnią boczną na płaszczyźnie poziomej. Oblicz korzystając z def momentu bezwładności walca względem osi przecgodziącej prze jego środek symetrii. Oblicz także moment bezwładności względem osi styku z płaszczyzna. Przyjąć że długość walca wynosi h a jego gęstość p jest stała.

V=Π(R²-r²)²h M=ρV
dV=2Πhx dm=ρdv=ρ2Πh_x V=Πx²h

I=x²dm I=∫x²ρ2Πhxdx

a)I=2Πρh∫x³dx=2Πρh*x⁴/4=2Πρh*(R²-r²)²/4=2ΠR²-r²*(R²-r²)/4=2m(R²/4-r²/4)=1/2m(R²-r²)

b)I=I₀+mR²=1/2m(R²-r²)+mR²=m(1/2R²-1/2r²+R²)=m(3/2R²-1/2 r²)=1/2m(3R²-r²)

odp.moment bezwladniosci walca wzgledem osi przechodizacej przez jego srodek symetri wynosi I=1/2m(R²-r²) natomiast moment bezwladniosci walca wzgledem osi styku z plaszyzna wynosi I=1/2m (3R²-r²).

2)Znaleźć natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez cienką jednorodna nieskonczenie dluga nic o gęstości liniowej r w punkcie odleglym o R od nici.

τ = M/l l = 2R E = GMR²
E = Gτ2/R odp. Natęzęnie pola grawitacyjnego wynosi E = G2τ/R

3)Częstotliwość drgań tłumionych układu wynosi f. Oblicz okres drgań własnych jeżeli logarytmiczny dekrement tlumienia wynosi A. Ile razy zmaleje energia układu po czasie t=10/f

Λ= βT β= Λ/T β = Λρ

E/ E_o = ( A/A₀)² = A₀ e^{- βt} / A₀ ) = Λ / e^2βt = Λ / e ^{2Λf 10/ f} ₌ Λ/ e ^20Λ

odp. okres drgań wynosi Λ/ e ^20Λ

4)Kulka o promieniu R i gęstości x opada w cieczy o gestości y ze stałą prędkością v. Wyznacz współczynnik lepkości czieczy n.

F = GΠR_ηV mρ GΠR_ηV
m = ρV m = ρ4/3ΠR³
ρ = ( ρ_k - ρ_w) ρ 4/3 Π R³ρ = GΠR_ηV_k
( ρ_{k­ -} ρ_w)4/3ΠR³ρ = GΠR
2(ρ_k - ρ_w)R²ρ = ρ_η V_k

η= 2( ρ_k - ρ_w)R²ρ/ ρV_k

odp. Wsp. lepkości cieczy wynosi ρ = .........

---