WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Wykład VIII

Hipotezy wytrzymałościowe. Wytrzymałość złożona

1. Przestrzenny (trójkierunkowy) stan naprężenia

Niesprężyste zachowanie się materiału (jego uplastycznienie) w elemencie konstrukcyjnym może nastąpić nawet wtedy, gdy żadna ze składowych stanu naprężenia nie osiągnie granicy plastyczności przy jednokierunkowym rozciąganiu (σ = σ_pl). A zatem w trójkierunkowym stanie naprężenia uplastycznienie materiału (w większości przypadków równoznaczne z utratą nośności danego elementu konstrukcyjnego) zależy od pewnej wielkości fizycznej będącej funkcją wszystkich składowych stanu naprężenia. Wielkość tę nazywamy naprężeniem zredukowanym.

Ponieważ w większości przypadków ważnych z punktu widzenia praktyki inżynierskiej mamy do czynienia ze złożonym stanem obciążenia, który powoduje powstanie trójkierunkowego stanu naprężenia w konstrukcji, znalezienie funkcji określającej w takim przypadku kryterium uplastycznienia materiału (lub ogólniej-kryterium wytężenia) jest jednym z podstawowych zagadnień wytrzymałości materiałów. Kryteria te określane są jako hipotezy wytrzymałościowe.

Główną ideą, stosowaną przy sformułowaniu takiej hipotezy jest porównanie trójkierunkowego, ogólnego stanu naprężenia ze stanem jednokierunkowego rozciągania/ściskania, w którym możemy ściśle określić, kiedy nastąpi uplastycznienie materiału, tj. kiedy σ = σ_pl.

Sprowadza się to do znalezienia funkcji

f (σ_ij) = σ_pl

gdzie σ_ij są składowymi stanu naprężenia tworzącą macierz zwaną tensorem naprężenia.

Warunek wytrzymałościowy: f (σ_ij) = σ_red < σ_dop

W wytrzymałości materiałów sformułowano cztery główne hipotezy dotyczące jednorodnego materiału izotropowego .

2. Hipotezy wytrzymałościowe

2.1. Hipoteza największych naprężeń normalnych (σ_max)

Wiliam Rankine (1820-1872)

Według tej hipotezy o uplastycznieniu (wytężeniu) materiału decyduje największe naprężenie normalne występujące w najbardziej zagrożonym punkcie ciała materialnego.

f = max (σ₁, σ₂, σ₃ ) = σ_pl (1)

gdzie σ₁, σ₂, σ₃ są naprężeniami głównymi w trójkierunkowym stanie naprężenia. Ponieważ w wytrzymałości materiałów przyjęto konwencję σ₁,> σ₂,> σ₃ , zatem

σ₁ = σ_pl (1a)

σ_red = σ₁

Hipoteza powyższa jest bardzo mało dokładna i obecnie ma znaczenie tylko historyczne, aczkolwiek stosowana bywa czasem do materiałów kruchych (skała, kamień, beton).

2.2.Hipoteza największego wydłużenia względnego (ε_max)

Barre de Saint-Venant (1797-1886)

Hipoteza ta stwierdza, że za uplastycznienie (wytężenie) materiału odpowiedzialne jest największe wydłużenie względne. Zatem uplastycznienie w trójkierunkowym stanie naprężenia nastąpi , kiedy wydłużenie względne w tym stanie osiągnie wartość taką jak odpowiednie wydłużenie przy jednokierunkowym rozciąganiu/ściskaniu, które wynosi ε_max =σ_pl /E.

Zatem naprężenie zredukowane przyjmuje postać:

σ_e = max [ σ_i - ν (σ_j + σ_k) ] (2)

i ≠j ≠ k

Hipoteza ε_max daje znacznie lepszą zgodność z wynikami eksperymentów niż metoda σ_max i była powszechnie stosowana jeszcze w początkach XX-tego wieku. Obecnie bywa stosowana dla materiałów kruchych (kamień, beton, żeliwo).

2.3 .Hipotaza największych naprężeń stycznych (τ_max)

Coulomb(1730 - 1806), (Tresca (1864)

Według tej hipotezy uplastycznienie materiału następuje w punkcie, w którym maksymalne naprężenie styczne osiąga wartość taką, jak maksymalne naprężenie styczne przy jednokierunkowym rozciąganiu/sciskaniu. W trójkierunkowym stanie naprężenia maksymalne naprężenie styczne wynosi:

(wynika to z koła Mohra dla trójkierunkowego stanu naprężenia - słuchacz wykładu znajdzie wyjaśnienie tej kwestii)

podczas gdy przy jednokierunkowym rozciąganiu τ_max = σ_pl/2. Zatem kryterium uplastycznienia (wytężenia) materiału przyjmuje postać:

(3)

zaś naprężenie zredukowane ma postać:

σ_red = σ₁ - σ₃ = 2k (3a)

gdzie

k =
jest granicą plastyczności przy czystym ścinaniu.

Hipoteza τ_{max ,} zwana też hipotezą Tresci, jest obecnie powszechnie stosowana w obliczeniach inżynierskich, na równi z hipotezą Hubera (omówioną niżej), która daje wyniki najbardziej zgodne z doświadczeniem.

2.4. Hipoteza Hubera (największej energii odkształcenia postaciowego)

Huber (1904), von Mises (1913)

Hipoteza ta stwierdza, że uplastycznienie materiału następuje w punkcie, w którym energia odkształcenia postaciowego osiągnie wartość równą energii odkształcenia postaciowego pręta poddanego jednokierunkowemu rozciąganiu/ściskaniu potrzebną do jego uplastycznienia. Innymi słowy, energia odkształcenia postaciowego ciała materialnego jest odpowiedzialna za uplastycznienie materiału tego ciała. Całkowita energia odkształcenia sprężystego U₀ przypadająca na jednostkę objętości składa się z dwu części:

gdzie U_v = jest energią odkształcenia objętościowego

zaś drugi składnik

(a)

jest energią odkształcenia postaciowego [G = E/ (1+ν)].

Energia odkształcenia postaciowego dla jednokierunkowego rozciągania wynosi

(b)

Porównując prawe strony (a) i (b) otrzymujemy

[ (σ₁ -σ₂)² + (σ₂ - σ₃)² + (σ₃ - σ₁)²] = σ_pl ² (4a)

Zatem naprężenie zredukowane według hipotezy Hubera wynosi

(4)

3. Podstawowe przypadki płaskiego stanu naprężenia (σ₁ > σ₂ > σ₃)

1. σ₂ = 0, σ₃ <0

- hipoteza Tresci ,hipoteza de Saint-Venanta

- hipoteza Hubera

2. σ₃ = 0, σ₁ > σ₂ >0

- hipoteza Tresci, hipoteza hipoteza de Siant-Venanta

- hipoteza Hubera

4. Podstawowy przypadek wytrzymałości złożonej - wał o przekroju kołowym, poddany zginaniu i skręcaniu

4.1. Hipoteza Treski (τ_max)

(5)

gdzie σ - naprężenie gnące, τ - naprężenie skręcające w przekroju poprzecznym wału

(5a)

gdzie M_zast =
- moment zastępczy.

4.2. Hipoteza Hubera

(6)

lub

(6a)

gdzie M_zast =
- moment zastępczy.

---