6EKRAN_287

Lekcja 11 Moce w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego

Lekcja jedenasta jest kontynuacją wprowadzenia do analizy obwodów sinusoidalnie zmiennych.

W lekcji tej zostały omówione pozostałe rodzaje mocy definiowane w obwodach prądu zmiennego tj moc bierna pozorna oraz symboliczna.

Przedstawiono również tak fundamentalne zagadnienie dla systemu elektroenergetycznego jakim jest kompensacja mocy biernej. Lekcja zawiera szereg przykładów.

6EKRAN_288

Moc w obwodach prądu sinusoidalnego.

Podejście klasyczne

II Prawo Kirchhoffa

Załóżmy że odpowiedzią na wymuszenie napięciowe jest prąd

Można wykazać, że napięcie na zaciskach odbiornika RLC wynosi:

Komentarz-EKRAN_288

Wyprowadzimy wzór na napięcie u(t) przy założeniu, że prąd

Napięcie na cewce wynosi:

gdzie

Z kolei na kondensatorze:

gdzie

a na rezystorze:

6EKRAN_289

Dalej wykażemy, że wzór z ekranu 288 można przedstawić:

gdzie:

W dalszym ciągu przyjmujemy że:

Czyli moc chwilowa

Komentarz-EKRAN_289

Tym razem wykorzystano następującą własność matematyczną:

Gdzie:

Jeżeli α = 0 to:

W rozpatrywanym przypadku przyjęto, że

6EKRAN_300

Korzystając z przekształcenia trygonometrycznego:

Wzór na moc chwilową:
możemy przekształcić do postaci:

Komentarz-EKRAN_300

Wykres otrzymanej mocy chwilowej wynika z dwóch składowych funkcji p(t): składowej stałej niezależnej od czasu (
) oraz składowej zmiennej:

Indeksy „s” oznaczają wartości skuteczne.

6EKRAN_301

Pamiętając, że Moc czynna = średnia wartość mocy chwilowej za okres (patrz ekran 264)

Obliczmy tę moc w przypadku naszej funkcji p(t)

Zatem rozwiązując powyższy przypadek:

Komentarz-EKRAN_301

Zauważ, składowa zmienna funkcji p(t) czyli
jest funkcją przemienną czyli całka za okres z tej składowej równa się zero.

6EKRAN_302

Otrzymany wzór:

to moc czynna pobierana przez odbiornik lub wydawana przez źródło, przez które przepływa prąd sinusoidalny o wartości skutecznej I_S i panuje na nim napięcie U_S sinusoidalne przesunięte o kąt 

Komentarz-EKRAN_302

Pamiętaj, że kąt przesunięcia fazowego  jest argumentem zespolonej impedancji Z, nie zależy więc od napięcia zasilania. Uwaga w dalszym ciągu brak indeksów będzie oznaczał, że wielkości U,I są wielkościami skutecznymi.

6EKRAN_303

Moc czynna pobierana przez Z

Z wykresu wskazowego wynika

Zatem

Wniosek: moc czynna w obwodzie jest pobierana tylko przez elementy rezystancyjne.

Komentarz-EKRAN_303

Przypomnij sobie, że moc czynna pobierana przez idealną cewkę i kondensator jest równa zero (ekrany: 268,272), stąd możemy powiedzieć, że moc czynna pobierana przez impedancję Z tak naprawdę jest pobierana tylko przez jej rezystancję,

6EKRAN_304

Moc pobierana przez elementy reaktancyjne.

Wykorzystując związki z ekranu 288, możemy napisać:

Wówczas suma mocy chwilowych pobierana przez elementy reaktancyjne wynosi:

Komentarz-EKRAN_304

Zwróć uwagę, że moc chwilowa pobierana przez elementy reaktancyjne jest przemienną funkcją sinusoidalną o amplitudzie równej
, którą nazwaliśmy Q. Wielkość ta nazywana będzie w dalszym ciągu mocą bierną.

6EKRAN_305

Moc bierna = amplituda oscylacji mocy chwilowej pobieranej przez elementy reaktywne.

- (wolto-amper reaktywny)

Ponieważ
czyli impedancja Z może mieć charakter pojemnościowy bądż indukcyjny stąd rozpatruje się dwa przypadki:

1. Q > 0 ϕ > 0 moc bierna indukcyjna

2. Q < 0 ϕ < 0 moc bierna pojemnościowa

Komentarz-EKRAN_305

Zwróć uwagę że wymiar mocy biernej jest taki sam jak mocy czynnej VA, ale dla rozróżnienia od mocy czynnej, którą podajemy w watach [W] moc bierną określamy w warach [var]. Jeżeli moc bierna pobierana prze impedancję jest ujemna to mówimy, że jest to moc bierna pojemnościowa, lub, że impedancja wydaje moc bierną.

Zapis np.:

1. Q = 150 var ind. albo Q = 150 var

2. Q = 180 var poj albo Q = -180 var

6EKRAN_306

Moc pozorna S

Obliczmy czemu się równa:

Przyjmując oznaczenie, że
otrzymamy:

S - jest definiowana jako największa moc czynna jaka może być pobrana przy danym napięciu U na odbiorniku i płynięciu prądu I (cosϕ = 1). Moc S zwana jest mocą pozorną.

Moc pozorna:

Komentarz-EKRAN_306

Moc pozorna ma także wymiar VA (jak czynna i bierna) i w takich jednostkach się ją podaje.

6EKRAN_307

Współczynnik mocy definiujemy jako stosunek mocy czynnej do pozornej. W przypadku

obwodów prądu sinusoidalnego jest on równy kosinusowi kąta impedancji obciążenia

współczynnik mocy-

Z powyższego wzoru wynika, największą wartość współczynnik mocy mieć równą 1 i jest to najczęściej pożądana sytuacja. Najmniejsza jego wartość to zero.

6EKRAN_308

Wzory na moc bierną w zależności od reaktancji:

Z prawa Ohma:
stąd

Komentarz-EKRAN_308

Znak minus pojemnościowej mocy biernej liczonej dla zastrzałkowania odbiornikowego oznacza że moc bierna jest wydawana prze kondensator.

6EKRAN_309

Moc bierna indukcyjna

Z prawa Ohma:
stąd

Komentarz-EKRAN_309

Zauważ, że moc bierną cewki i kondensatora można przedstawić podobnie jak moc czynną rezystora

6EKRAN_310

Postać zespolona mocy pozornej - moc symboliczna:

Komentarz-EKRAN_310

Mocą symboliczną nazywamy iloczyn zespolonego napięcia oraz sprzężonego prądu. Moc ta jest równa sumie mocy czynnej i zespolonej biernej.

Dowód:

Zauważ, że moc czynną i bierną łatwo można obliczyć dzięki wzorom:

6EKRAN_311

Kompensacja mocy biernej Q.

Komentarz-EKRAN_311

Obserwując wykres wskazowy dla powyższego obwodu widać, że prąd źródła przed zamknięciem łącznika jest jednocześnie prądem odbiornika I₀. Po włączeniu kondensatora prąd ten maleje do wartości I. Można dobrać tak pojemność kondensatora aby prąd I przyjął najmniejszą możliwie wartość. Wówczas prąd I i napięcie U będą w fazie.

6EKRAN_312

Wzór na pojemność kompensującą do ϕ`

Wzór na pojemność poprawiającą współczynnik mocy z cos na cos` można wyprowadzić następująco:

6EKRAN_313

Kompensacja pełna :

wówczas

Kompensacja mocy biernej powoduje zmniejszenie prądu wypływającego ze źródła przy niezmienionej sytuacji dla odbiornika. Jest to bardzo istotne z punktu widzenia systemu elektroenergetycznego, gdyż z powodu zmniejszenia prądów wystąpią mniejsze straty przy przesyle energii.

6EKRAN_314

Dobroć obwodu - q

Dobroć obwodu pokazuje ile razy napięcia na indukcyjności lub pojemności w stanie rezonansu są większe od napięcia zasilania.

Gdzie:

ρ - impedancja falowa, lub charakterystyczna

Komentarz-EKRAN_314

Stan rezonansu dla połączenia szeregowego RLC i równoległego został przedstawiony już w lekcji 10 (ekrany 282 i286).

Drgania wymuszone

Rezonans zachodzi gdy
gdzie:ω₀ - pulsacja rezonansowa

Przypomnijmy:

Rezonansem fazowym lub krótko rezonansem nazywamy taki stan dwójnika, w którym reaktancja X lub susceptancja B są równe zero przy założeniu, że występują w nim elementy reaktancyjne. Stąd warunkiem wystąpienia rezonansu jest:

6EKRAN_314

Przykład

Wyznaczymy wykorzystując program Mathcad następujące charakterystyki częstotliwościowe (dokładnie w funkcji dla szeregowego obwodu RLC):

Komentarz-EKRAN_314

Poniżej przedstawiono charakterystyki otrzymane dla danych E=1000V L=1H C=1F R=1k

Zwróć uwagę że funkcja prądu przyjmuje swoje maksimum dla pulsacji rezonansowej. Mówimy wówczas, że rezonans fazowy pokrywa się z amplitudowym tak nie musi być dla innego obwodu.

6EKRAN_315

Szerokość pasma przepuszczania:

Poniżej przedstawiono charakterystyki częstotliwościowe prądu względnego
dla różnych dobroci (Q=1,2,3,4).

Komentarz-EKRAN_314

Szerokością pasma przepuszczania: nazywamy przedział pulsacji w otoczeniu pulsacji rezonansowej w którego końcach wartość skuteczna prądu względnego I_w zmniejsza się do wartości

6EKRAN_315

Przykładowe zadania -obwody prądu sinusoidalnego.

Przykład 1

W poniższym obwodzie przy zasilaniu napięciem sinusoidalnym, przyrządy wskazują I₁= 3 A; I₂= 4 A. Obliczyć wskazania amperomierza A₃.

I₃ I₁ I₂

R C

Komentarz-EKRAN_315

Jedynym rozsądnym sposobem rozwiązania tego zadania jest narysowanie wykresu wskazowego

6EKRAN_316

Prąd płynący przez kondensator wyprzedza napięcie o kat π/2 , natomiast prąd płynący przez rezystor jest w fazie z napięciem .Wykres wektorowy napięcia i prądów

Odpowiedź: Prąd płynący przez amperomierz A₃ wynosi I₃= 5 A.

Komentarz-EKRAN_316

Wartość prądu I₃ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa

I₃² =I₁² + I₂² I₃=
I₃=
I₃=

6EKRAN_317

Przykład 2

W układzie przedstawionym poniżej obliczyć wskazanie amperomierza,

wykonać bilans mocy oraz narysować wykres wskazowy.

Schemat:

Komentarz-EKRAN_317

Dane:

R = 10Ω L = 0.1 H C = 19 μF ω = 314

6EKRAN_318

Po przejściu na wartości zespolone, skuteczne ( amplituda napięcia /
) otrzymamy :

Zwróć uwagę, że prąd płynący prze rezystancję można obliczyć formułując II prawo Kirchhoffa po drodze zamkniętej. Wówczas prąd płynący przez R można obliczyć:

Komentarz-EKRAN_318

Operacja odejmowania jest łatwiejsza na postaci algebraicznej liczb zespolonych. Z drugiej strony zamieniając końcowy wynik na postać wykładniczą otrzymujemy moduł liczby zespolonej która jednocześnie jest wartością skuteczną danej wielkości ( w tym przypadku prądu I_R)

W dolnej gałęzi, tam gdzie jest amperomierz, prąd musi być identyczny jak I_R, wynika to z I prawa Kirchhoffa (suma prądów wpływających do węzła musi być równa sumie prądów wypływających z węzła). To znaczy, że amperomierz pokaże wartość skuteczną prądu taką jak I_R, czyli 8,76 A.

6EKRAN_319

Przez kondensator popłynie prąd:

Z kolei prąd cewki:

6EKRAN_320

Zastrzałkujmy źródłowo (zgodnie z zwrotem sił SEM) oba źródła prądami odpowiednio I₁, I₂ i zastosujmy I prawo Kirchhoffa:

Komentarz-EKRAN_320

Zauważ, że wartość prądu np. I2=9.136 nie jest równa sumie wartości prądów składowych IR=4.755 IC=7.8 ta suma byłaby równa 12.555. Dlatego pamiętaj że dodawanie prądów i napięć w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego może być przeprowadzane tylko na postaciach zespolonych.

6EKRAN_321

Bilans mocy polega na upewnieniu się że moc pobierana przez odbiorniki jest taka sama jak moc wydawana przez źródła.

Moc symboliczna źródeł

Komentarz-EKRAN_321

Część rzeczywista wyniku - to moc czynna [W], a część urojona wyniku - to moc bierna [var]

6EKRAN_322

Moc czynna odbiorników

Moc bierna

Wartości skuteczne prądów płynących w gałęziach:

Komentarz-EKRAN_322

Bilans mocy się zgadza, ponieważ moc czynna pobierana przez rezystor jest równa mocy czynnej wydawanej przez źródła (część realis mocy symbolicznej). Podobnie zgadza się bilans mocy biernej. Zauważ, że do bilansu mocy biernej można zastosować reaktancje symboliczne które zapewniają odejmowanie się mocy biernej pojemnościowej od indukcyjnej.

6EKRAN_323

Wykres wskazowy

Komentarz-EKRAN_323

Przy rysowaniu wykresu wskazowego pamiętaj, że o wyprzedzaniu o 90^o prądu przez napięcie na cewce i napięcia przez prąd na kondensatorze. W rozpatrywanym przypadku kąt prosty jest pomiędzy E1 i I_L oraz I_c i E2

6EKRAN_324

Przykład 3

W układzie przedstawionym na rysunku wskazania przyrządów wynoszą:
= 2 A,
= 100 V,
= 150 V,
= 200 V.

Obliczyć rezystancję R, indukcyjność L i pojemność C jeżeli częstotliwość napięcia zasilania wynosiła f = 50 Hz.

Komentarz-EKRAN_324

Pamiętaj, że podobnie ja w obwodach prądu stałego, jeżeli nie podane są impedancje wewnętrzne to w ten sam sposób traktujemy idealne mierniki (woltomierz=przerwa, amperomierz=zwarcie). Wskazania mierników są wartościami skutecznymi.

6EKRAN_325

Znając wartość prądu
oraz napięcie
na kondensatorze obliczono jego pojemność:

stąd

Komentarz-EKRAN_325

Zwróć uwagę, że prawo Ohma obowiązuje zarówno dla wielkości zespolonych jak i modułowych. Stąd możemy wykorzystać wskazania.

6EKRAN_326

Aby wyliczyć indukcyjność L cewki i rezystancję R sporządzono wykres wskazowy impedancji:

Wartości modułów impedancji Z całego układu oraz Z₁ układu rezystora i cewki wynoszą odpowiednio:

6EKRAN_327

Stosując twierdzenia Pitagorasa do wykresu wskazowego możemy sformułować układ równań:

Z² = R² + ( X_L - X_C)²

Z₁² = R² + X_L²

Po rozwiązaniu powyższego układu otrzymamy wartość reaktancji cewki:

Komentarz-EKRAN_327

Niewiadomą X_L najlepiej wyznaczyć odejmując równania stronami.

6EKRAN_328

Teraz obliczymy indukcyjność cewki:

X_{L =} ωL

Ostatecznie wyliczamy rezystancję R:

Odpowiedź: szukane wartości parametrów to R=36 W, C=31.8 F, L=0.209 H

6EKRAN_329

Przykłady zrealizowane w programie Mathcad:

Przykład 4

Dla obwodu na rys 1. obliczyć rozpływ prądów metodą potencjałów węzłowych. Wykonać bilans mocy. Listing programu zrealizowanego Mathcadzie w postaci, „camera ready” zawarty jest pomiędzy wyrażeniami: Start programu oraz Koniec programu.

Komentarz-EKRAN_327

Tekst zawarty pomiędzy wyrażeniami kluczowymi jest w danym programie ignorowany przez środowisko Mathcad.

6EKRAN_330

Start programu

Dane:

Komentarz-EKRAN_330

Liczbę urojoną wygodnie jest zdefiniować, jeżeli przewidujemy rozwiązanie w dziedzinie liczb zespolonych, gdyż wówczas możemy dokonać mnożenia liczby urojonej przez stałą. Jeżeli obliczenia chcemy przeprowadzić z użyciem jednostek to wartość danej wielkości należy pomnożyć przez odpowiadającą jej jednostkę.

6EKRAN_331

Rozwiązanie:

Przewidywana wartość niewiadomych:

-Po słowie given zapisujemy równania:

Komentarz-EKRAN_331

W celu rozwiązania powyższego zadania można posłużyć się jedną z funkcji pozwalających na rozwiązanie układu równań, a także równań i nierówności niekoniecznie liniowych. Procedura ta zaczyna się od słowa given wcześniej jednak należy zdefiniować wielkości poszukiwane poprzez określenie dowolnych wartości w tym przypadku koniecznie wartości zespolonych. Jest to ta sama procedura, którą wykorzystywaliśmy do analizy obwodów prądu stałego.

6EKRAN_331

Rozwiązanie

Komentarz-EKRAN_331

Powyższe zakończenie procedury find powoduje, że niewiadome określone wyżej za pomocą przewidywanych wartości, w dalszej części dokumentu staną się rozwiązaniem powyższego układu równań:

Zażądanie wyniku w postaci jednego wektora powoduje jak widać wygenerowanie komunikatu o niezgodnych jednostkach ze względu na różny wymiar elementów wektora.

6EKRAN_332

napięcia na źródłach prądowych:

-

Moc symboliczna wydawana przez źródła:

Komentarz-EKRAN_333

Indeksy przy S oznaczają tym razem elementy wektora, co jest niestety prawie nierozróżnialne na ekranie z powyżej stosowanym zwykłym indeksowaniem określającym różne wielkości.

6EKRAN_334

Moce symboliczne wydawane przez źródła

-Wektor mocy symbolicznej

definicja wektora mocy czynnej
- wektor mocy czynnej

całkowita moc czynna wydawana obliczona za pomocą symbolu sumy:

Komentarz-EKRAN_334

Dzięki zastosowaniu notacji wektorowej możemy automatycznie wygenerować wyniki dla wszystkich źródeł.

6EKRAN_335

Moc czynna odbiorników

moc czynna pobierana sprawdzenie bilansu.

Uwaga: ponieważ moc czynna jest pobierana przez elementy rezystancyjne stąd należało użyć wzoru Re{Z₁}

Moc bierna

Komentarz-EKRAN_335

Powyższy przykład pokazuje, że Mathcad nie jest programem znającym elektrotechnikę. Użytkownik sam musi sformułować poprawnie wszystkie równania. Dla Mathcada moce S1 i S2 mogłyby być zdefiniowane źródłowo mimo ich odbiornikowego zastrzałkowania i niezgodność bilansu mocy nie zostałaby przez niego zakwestionowana. Jedyną kontrolą wspomagającą poprawność rozwiązania jest kontrola jednostek.

6EKRAN_336

Bardzo często przydatna jest możliwość rozwiązania tego samego problemu dla zmieniającego się parametru. Poniższy przykład rozwiązuje również obwód przedstawiony na ekranie 329 dla źródeł prądowych podanych w funkcji parametru n. Tym razem obwód rozwiązano bez definiowania jednostek.

START

Dane:

Komentarz-EKRAN_337

Należy zwrócić uwagę, że zależne od n źródła prądowe muszą uwzględniać argument w swojej definicji i w dalszym ciągu muszą być w tej samej postaci używane w całym dokumencie (poniżej w procedurze Given-Find)

6EKRAN_338

Przewidywana wartość niewiadomych:

Komentarz-EKRAN_338

Tym razem w procedurze Find pojawia się macierz U(n), której kolejne kolumny odpowiadają poszukiwanym niewiadomym.

6EKRAN_339

Koniec programu

Komentarz-EKRAN_339

Stosując definicję globalną (
) dla parametru n można dowolnie obserwować wyniki rozwiązania pod koniec dokumentu dla dowolnie zadawanych wartości n . ( Pamiętaj, że zastosowanie definicji globalnej (:=) wymagałoby zdefiniowania n na początku pliku.

6EKRAN_340

Metoda macierzowa

Równanie macierzowe dla obwodu z ekranu 329 określono na podstawie równań z praw Kirchhoffa przedstawionych poniżej:

U₁-I₄R=E₁+I₁Z₁

-I₃(XL+R) +I₄R-I₅X_c=E₂-E₁

U₂- I₅X_c= E₂

I₃+I₄=I₁

I₃-I₅=-I₂

Gdzie U₁, U₂ - napięcia na źródłach prądowych

Równanie powyższe niech ma postać macierzową:

Komentarz-EKRAN_340

Przedstawione rozwiązanie obwodu z ekranu.329 jest uniwersalne ze względu na zastosowaną procedurę numeryczną Given-Find (można rozwiązać dowolny układ równań nawet nieliniowych). Jednak w przypadku obwodów liniowych wydaje się, że wygodniejszym sposobem jest metoda macierzowa, która jest analityczna w przeciwieństwie do metod numerycznych.

Poniżej przedstawiono listing programu rozwiązującego obwód z ekranu329 z wykorzystaniem metody macierzowej

6EKRAN_341

Start programu

Dane:

Komentarz-EKRAN_341

Macierz A została wyznaczona na podstawie równań sformułowanych w ekranie 340

6EKRAN_342

Koniec programu

Komentarz-EKRAN_342

Porównując prądy (ostatnie trzy wiersze wektora x stwierdzamy identyczność wyników z otrzymanymi metodą given-find. Jednakże pamiętać należy, że w przypadku układów źle uwarunkowanych, każde przybliżenie (np. określona dokładność metody numerycznej może mieć swoje konsekwencje).

6EKRAN_335

Podsumowanie

Przedstawione w tej lekcji przykłady potwierdzają stosowalność wszystkich poznanych metod analizy obwodów prądu stałego do rozwiązywania obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego. Przykład 4 został rozwiązany metodą potencjałów węzłowych, dla której równania były formułowane według tej samej zasady wyprowadzonej w lekcji 6.

Podobnie można sprawdzać rozwiązanie obwodu złożonego poprzez bilans mocy przy czym w przypadku obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego kontrolę warto przeprowadzić zarówno dla mocy czynnej jak i biernej.

1

L

R

C

i(t)

u_L(t)

u_R(t)

u_C(t)

u(t)



ϕ

A

B

C

A

B

U_S

I_S

U_S

Z

I

U

U_R

U_X

U_L

U_C

U_C

ϕ

U

I

U_R

U_X

U_L

U_C

p_X(t)

UI_S sinϕ

t

S

P

Q

ϕ < 0

S

P

Q

ϕ > 0

I

U_C

I

U_C

I

U_L

I

U_L

U

I

Re

+ j

ϕ_i

ϕ

ϕ_u

I

U

Z

I_C

I₀

I

U

Z

I_C

I₀

I_C

ϕ

ϕ'

I

S

P

Q

ϕ

Q_C

ϕ'

C

L

R

I

U

E1(t)

R

E2(t)

L

C

I_C

I_L

I_R

A

E2

U_R

I_R

I_L

I_C

E1

4

I

5

I

3

I

3

V

2

V

1

V

L

X

1

I

U

I

C

R

L

V₁

V₂

A

V

Z

Z₁

R

X_C

X_L

Z

R

c

X

R

1

E

2

E

2

1

I

U

I₃

I₂

I₁

C

R

U

A₁

A₂

A₃

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

2

0

2

4

0

u

t

(

)

i

t

(

)

p

t

(

)

t

---