3EKRAN_-1

3.Obwody prądu stałego

Lekcja 2 -Wprowadzenie do teorii obwodów prądu stałego

Lekcja 2 przedstawia podstawowe zagadnienia będące wprowadzeniem do teorii obwodów prądu stałego takie jak: rodzaje strzałkowania dwójników i wynikające stąd konsekwencje, definicje idealnych elementów obwodu. W niniejszej lekcji przedstawiono również podstawowe definicje i własności topologiczne obwodu oraz prawa Kirchhoffa.

3EKRAN_2

3.Obwody prądu stałego

 Praktyczne przykłady (odpowiedniki) strzałkowania

Napięcie i jednocześnie prąd w dwójniku (elemencie posiadającym dwa zaciski) można zastrzałkować odbiornikowo (napięcie przeciwnie do prądu) rys. 3.1a, albo źródłowo (napięcie i prąd zgodnie) rys. 3.2 b.

Rys. 3.1 Dwójnik zastrzałkowany odbiornikowo

Odbiornikowemu zastrzałkowaniu w praktyce może odpowiadać włączenie amperomierza i woltomierza jak na rysunku 3.1 b.

3EKRAN_3

Gdyby zamienić zaciski amperomierza to taki układ odpowiadałby zastrzałkowaniu odbiornika jak na rysunku 3.2 a (zastrzałkowanie źródłowe).

Inną interpretacją zastrzałkowania w praktyce może być obserwacja napięcia i prądu na elemencie przy pomocy oscyloskopu. Na rysunku 3.2b podano sposób pomiaru odpowiadający zastrzałkowaniu źródłowemu.

Rys.3.2 Dwójnik zastrzałkowany źródłowo

3EKRAN_4

Zastrzałkowanie dwójnika odbiornikowe bądź źródłowe nie określa jeszcze charakteru jego pracy. Na rysunku 3.3 przedstawiono możliwe przebiegi napięcia i prądu przy czym z rysunku 3.3a wynika, że dwójnik zastrzałkowany odbiornikowo (rys. 3.2) pobiera energię, natomiast w przypadku przebiegów otrzymanych jak na rys. 3.3b wydaje energię.

Rys.3.3 Przykładowe przebiegi uzyskane z pomiaru napięcia i prądu oscyloskopem dla układu z rys. 1.2

3EKRAN_5

Podsumowując: jeżeli dwójnik jest zastrzałkowany źródłowo to iloczyn napięcia i prądów otrzymanych dla takiego zastrzałkowania (czy to z pomiarów, czy z obliczeń) będziemy nazywać mocą wydawaną, natomiast dla napięcia i prądu uzyskanych dla zastrzałkowania odbiornikowego ich iloczyn określa moc pobieraną. Oczywiście dopiero znak tej mocy decyduje czy odbiornik pracuje w charakterze źródła czy odbiornika.

UI>0 źródło UI>0 odbiornik

UI<0 odbiornik UI<0 źródło

Rys. 3.4 Interpretacja znaku mocy i zastrzałkowania dwójnika.

3EKRAN_6

Moc dwójnika

Iloczyn napięcia i prądu określa moc elektryczną pobieraną (lub oddawaną przez dwójnik). W obwodach prądu stałego jednostką mocy jest wat (W).

(3.1)

Komentarz_EKRAN_6

Podsumowując: jeżeli dwójnik jest zastrzałkowany źródłowo to iloczyn napięcia i prądów otrzymanych dla takiego zastrzałkowania (czy to z pomiarów, czy z obliczeń) będziemy nazywać mocą wydawaną, natomiast dla napięcia i prądu uzyskanych dla zastrzałkowania odbiornikowego ich iloczyn określa moc pobieraną. Oczywiście dopiero znak tej mocy decyduje czy odbiornik pracuje w charakterze źródła czy odbiornika.

Powyżej zdefiniowana moc dla prądu stałego nosi nazwę mocy czynnej. W obwodach prądu zmiennego oprócz mocy czynnej występują inne rodzaje, których definicje podano w lekcji x .

3EKRAN_7

Modele elementów rzeczywistych.

Rezystancja rezystora

Rezystancja dwójnika (idealnego) to wielkość proporcjonalna do przyłożonego napięcia , a odwrotnie proporcjonalna do płynącego prądu. Jednostką rezystancji jest ohm mający wymiar wolta przez amper. Zależność powyższa określana jest mianem Prawa Ohma (3.2).

(3.2)

Rys.3.5 Schemat elektryczny rezystancji zastrzałkowany odbiornikowo

Komentarz_EKRAN_7

Rezystorem nazywamy urządzenie , którego główną cechą jest wielkość elektryczna zwana rezystancją R . Rezystorem idealnym będziemy nazywali urządzenie , które można zamodelować za pomocą tylko rezystancji. Inaczej rezystor idealny to dwójnik w , którym energia elektryczna zamienia się tylko na ciepło (dyssypatywność) stąd rezystancję nazywamy dwójnikiem pasywnym.

3EKRAN_8

Dla rezystora zastrzałkowanego odbiornikowo zawsze
gdyż na podstawie wzorów (3.1) i (3.2)
lub

(3.3)

Rys.3.6 Charakterystyka rezystancji liniowej

Wielkość fizyczna będąca odwrotnością rezystancji , nazywa się przewodnością albo konduktancją . Jednostką konduktacji jest simens

G - konduktancja

Komentarz_EKRAN_8

W dalszym ciągu dwójnik , o którym wiadomo , że jest rezystancją będziemy strzałkować zawsze odbiornikowo . Jeżeli charakterystyka napięciowo-prądowa dwójnika jest dana funkcją liniową (3.3) to mówimy wówczas , że dwójnik jest liniowy

3EKRAN_9

Przewód idealny

Elementy obwodu są połączone przewodami, których rezystancja jest z reguły dużo mniejsza od rezystancji elementów obwodu. Wówczas przewody modelujemy jako elementy bezrezystancyjne (rys. 3.7), to jest takie, na których nie ma spadku napięcia.

Rys.3.7 Przewód idealny (bezrezystancyjny)

Komentarz_EKRAN_9

Podobnie jak w polu elektrostatycznym ta sama wielkość zwana potencjałem elektrycznym może być określona w każdym punkcie obwodu. Jeżeli dwa dowolne punkty obwodu połączone są idealnym bezrezystancyjnym przewodem to punkty te przyjmują tą samą wartość potencjału.

3EKRAN_10

Jeżeli pominięcie rezystancji spowodowałoby zbyt duże błędy to należy przewód zamodelować jako rezystancje, która dla przewodu o stałym przekroju określa wzór:

(3.5)

gdzie:
- odpowiednio rezystywność i konduktywność materiału z którego zrobiono przewodnik

Wówczas przewód rzeczywisty modelujemy jak rezystancję (rys1.8).

Rys.3.7 Przewód rzeczywisty

Komentarz_EKRAN_10

Aby stwierdzić czy modelując obwód elektryczny możemy potraktować przewody jak idealne elementy bezrezystancyjne powinniśmy porównać rezystancje odbiorników z rzeczywistymi rezystancjami przewodów. Warto zatem pamiętać, że przewód miedziany o przekroju 1mm i długości 1m ma rezystancję 0.023

3EKRAN_11

Źródła idealne (niezależne, autonomiczne)

Źródłami napięcia lub prądu elektrycznego nazywa się przetworniki innych rodzajów energii w energię elektryczną. Inaczej źródło to element aktywny w trwały sposób utrzymujący napięcie między zaciskami zewnętrznymi (źródło napięciowe) lub prąd w gałęzi (źródło prądowe).

Schematy źródeł

a) b)

c) d)

Rys.3.8 Schemat źródeł idealnych napięciowych i prądowych: a,c- schematy najczęściej występujące w literaturze b,d- schematy obowiązujące według polskiej normy PN.

Komentarz_EKRAN_11

Schematy idealnych źródeł w obwodach prądu zmiennego mogą mieć też inną postać.

3EKRAN_12

Źródła sterowane

Wśród istotnych elementów występujących zwłaszcza w obwodach elektronicznych , należy wymienić źródła sterowane .

3EKRAN_13

Sterowane źródła prądowe

Zasada działania źródła sterowanego polega na tym , że jego SEM albo SPM zależy od sygnału sterującego , czyli napięcia albo prądu występującego w innym fragmencie obwodu .

Źródła sterowane mają (charakter), strukturę czwórników.

3EKRAN_14

Podstawowe właściwości topologiczne obwodu.

Gałąź- to odcinek obwodu, w którym prąd w dowolnej chwili ma tę samą wartość.

Na rys. 3.9 przedstawiono graf obwodu , a więc schemat uwzględniający tylko gałęzie.

Rys.3.9 Graf obwodu złożony z sześciu gałęzi

Węzeł obwodu - punkt, w którym łączą się co najmniej trzy gałęzie.

Obwód zamknięty - połączenie gałęzi tworzące kontur (drogę) zamkniętą.

Oczko obwodu - połączenie gałęzi tworzące kontur zamknięty, w środku którego nie ma

żadnej gałęzi.

Komentarz_EKRAN_14

Na rys. 3.9 przedstawiono graf obwodu, w którym można wyróżnić 4 węzły 3 oczka oraz 5 dróg tworzących obwód zamknięty.

Można wykazać, że obwód składający się z g - gałęzi i w- węzłów składa się z liczby oczek danej wzorem :

Gdzie : g- liczba gałęzi

w- liczba węzłów o = g-w+1 (3.6)

o- liczba oczek

3EKRAN_15

Prawa Kirchhoffa

Prąd jest wielkością skalarną definiowaną najczęściej jako zmiana w czasie, płynącego ładunku q przy czym prąd chwilowy określa wzór (3.7):

(3.7)

Z drugiej strony z prądem związana jest wielkość wektorowa zwana gęstością prądu, której moduł określany jest przez (3.8):

(3.8)

Jeżeli zatem gęstość prądu w przekroju poprzecznym przewodnika nie jest stała (np. przy przepływie prądu zmiennego) to prąd może być wyrażony jako strumień wektora gęstości prądu (3.9):

(3.9)

3EKRAN_16

I Prawo Kirchhoffa

Postać całkowa:

(3.10)

Rys.3.10 Fragment obwodu z prądem z zaznaczoną powierzchnią zamkniętą

Komentarz_EKRAN_16

W obwodzie ,w którym występuje przepływ prądu obowiązuje zasada: strumień gęstości prądu przez zamkniętą powierzchnię jest równy 0 albo inaczej: w tym samym czasie ładunek wpływający do danej objętości jest równy ładunkowi wypływającemu z niej. Zasada ta nazywana jest I prawem Kirchhoffa w postaci całkowej (3.10)

3EKRAN_17

Całkowity strumień przez powierzchnią zamkniętą (rys.3.10) przy założeniu stałej gęstości w danym przekroju przewodnika określa się następująco:

Ostatecznie I Prawo Kirchhoffa (dalej w skrócie IPK) w postaci algebraicznej ma postać:

Σi_k = 0 (3.11)

Komentarz_EKRAN_17

Prawo to można wyrazić następująco : algebraiczna suma prądów wpływających do węzła (prąd wpływający np. z plusem a wypływający z minusem ) jest równa zero.

3EKRAN_18

Prawo Kirchhofa musi być spełnione w każdej chwili czasowej bez względu na to czy prądy płynące w gałęziach są stałe czy zmienne.

Suma wartości chwilowych tych prądów w każdej chwili jest równa zero.

i₁(t)+ i₂(t)+ i₃(t)=i(t)=0

3EKRAN_19

Liczba węzłów niezależnych

Jeżeli obwód ma „w” węzłów to można napisać „w”- równań z I prawa Kirchhoffa:

Twierdzenie: Obwód zawierający „w” węzłów ma „w-1” węzłów niezależnych.

3EKRAN_20

II Prawo Kirchhoffa (IIPK)

W teorii pola napięcie między dwoma punktami w obszarze w którym występuje pole E wyraża się zależnością:

(3.12)

gdzie: V_A,V_B - potencjał elektryczny pola odpowiednio w punkcie A i B

Ze względu na to, że pole elektrostatyczne jest bezwirowe, stąd całka krzywoliniowa po drodze zamkniętej jest równa zero:

(3.13)

gdzie: znak U_k zależy od orientacji oczka.

Prawo określone wzorem (3.13) jest II Prawem Kirchhoffa (dalej IIPK) odpowiednio w postaci całkowej lub algebraicznej.

Komentarz_EKRAN_20

W teorii obwodów zastosowanie znajduje przede wszystkim IIPK w postaci algebraicznej które można wyrazić następująco:

Algebraiczna suma napięć (np. z plusem jeżeli napięcie jest zgodne z przyjętym obiegiem dla danej drogi, a z minusem jeżeli przeciwne) wzdłuż dowolnej drogi zamkniętej jest równa zero.

3EKRAN_21

Przykład 3.1

Sformułuj równanie na podstawie II prawa Kirchhoffa dla drogi ABCDEFGA:

Linie przerywane oznaczają nieistotną dl formułowanego równania pozostałą część obwodu
.

Komentarz_EKRAN_21

Odpowiedź: Równanie przy prawoskrętnym obiegu ma postać:

-E₁-I₁R₁+E₂-I₃R₂-I₄R₃-I₅R₄+U_I-IR₅=0

3EKRAN_22

Dla g - gałęzi oraz „w” węzłów istnieje: o=g-w+1 niezależnych równań napięciowych z II Prawa Kirchhoffa.

Wniosek:

w-1 niezależnych równań z I Prawa Kirchhoffa

g-w+1 niezależnych równań z II Prawa Kirchhoffa

równań = liczbie niewiadomych prądów w gałęziach

W przypadku SPM liczba niewiadomych prądów zamienia się na niewiadome U_I źródeł SPM

Komentarz_EKRAN_22

Elektryczny obwód liniowy prądu stałego ma zawsze jednoznaczne rozwiazanie

3EKRAN_23

Zwarciem dwójnika nazywamy sytuację, w której oba jego zaciski połączone są idealnym przewodem.

Jaki prąd płynie przez ten dwójnik jeżeli jest on rezystorem o rezystancji R=10

Uzasadnij odpowiedź.

Odpowiedzi:

1. taki sam jak przez przewód b) dużo większy niż przez przewód c) zero

Odpowiedź_EKRAN_23

Odp. c)

Ponieważ zwierający drut ma rezystancję zero to napięcie na nim a stąd ( na mocy IIPK) i na rezystorze jest równe zero. Więc prąd, który jest równy ilorazowi tego napięcia przez R musi mież wartość zero. Uwaga ponieważ w rzeczewistości przewód ma rezystancję stąd tak naprawdę przez rezystor popłynie niewielki prąd .

3EKRAN_24

Podsumowanie

W lekcji 2 przedstawione zostały podstawowe prawa oraz idealne elementy pozwalające na modelowanie rzeczewistych obwodów prądu stałego. Należy przy tym pamiętać, że tak naprawdę nie istnieją idealne elementy takie jak bezrezystancyjny przewód, siła elektromotoryczna czy prądomotoryczna czy wreszcie idealny rezystor charakteryzujący się tylko idealna rezystancją (w dalszych lekcjach okaże się, że przy prądzie zmiennym ujawnić się może indukcyjność rezystora ). Natomiast rzeczewisty obiekt można z wystarczającą dokładnościa przedstawić przy pomocy kombinacji elementów idealnych. Np. rzeczewiste źródło napięciowe będzie stanowiło połaczenie idealnej SEM oraz rezystancji.

I

U

A

V

a)

b)

R_b

U=IR_b

I

U

a)

b)

I

U

I

U

U,I

U>0

I<0

t

U,I

U>0

I>0

t

U

I

R₅

I₅

I₄

I₃

I₂

I₁

U_I

E₂

E₁

R₄

R₃

R₂

R₁

I

I

G

F

E

D

C

B

A

i₁-i₂-i₃=0

-i₁+i₂+i₃=0

0=0 równania zależne

2

1

i₃

i₃

i₂

i₁

i₁

i₃

i₂

i₁

U[V]

I[A]

R

U

I

40

30

20

10

1 2 3 4

I

R

U=0

R

Idealne źródło napięciowe SEM-siła elektromotoryczna

Idealne źródło prądowe SPM -siła prądomotoryczna

źródło napięciowe sterowane

napięciem ŹNSN

źródło napięciowe sterowane

prądem ŹNSP

C

A

D

B

źródło prądowe sterowane

prądem ŹPSP

źródło prądowe sterowane

napięciem ŹPSN

dS

dS

J₁

dS

S₃

S₂

S₁

I₆

I₅

I₄

J₂

J₃

---