3EKRAN_81

Lekcja 5-Zasada superpozycji, sprawność źródła i dopasowanie energetyczne

W niniejszej lekcji przedstawiono dalsze twierdzenia ułatwiające rozwiązanie coraz bardziej złożonych obwodów elektrycznych w tym zasadę superpozycji, ale także twierdzenie o dopasowaniu. Lekcja zawiera szereg przykładów, w których stosowane jest również wcześniej sformułowane twierdzenie Thevenina. Na początku lekcji podkreślono problem wykorzystania tego twierdzenia w przypadku obwodów z źródłami sterowanymi. W lekcji zadano jedno zagadnienie do samodzielnego rozwiązania.

3EKRAN_82

Przykład obliczenia rezystancji Thevenina (i napięcia) w obwodzie ze źródłem sterowanym.

Komentarz-EKRAN_82

W przypadku obwodu z źródłami sterowanymi dla obliczenia rezystancji Theveninowskiej możemy eliminować z obwodu tylko źródła niesterowane.

3EKRAN_83

Rezystancja Thevenina

Komentarz-EKRAN_83

Ostatecznie rezystancję R_T obliczamy jako stosunek napięcia stanu jałowego U do prądu zwarcia I.

3EKRAN_84

Napięcie Thevenina.

Komentarz-EKRAN_84

Napięcie E_T wyznaczamy podobnie jak dla obwodów bez źródeł sterowanych:

Po obliczeniu prądu I₀ z powyższego równania i podstawieniu do równania napięciowego otrzymamy:

Ostatecznie:

3EKRAN_85

Zasada superpozycji-liniowość obwodu

Twierdzenie

Obwód jest liniowy jeżeli spełnia zasadę superpozycji czyli jeżeli odpowiedź obwodu na kombinację liniową wymuszeń jest kombinacją liniową odpowiedzi

Wymuszenie Odpowiedź

Y₁(t) X₁(t)

Y₂(t) X₂(t)

Kombinacja liniowa Kombinacja liniowa

wymuszeń odpowiedzi

A₁ Y₁(t)+ A₂ Y₂(t) A₁ X₁(t)+ A₂ X₂(t)

Komentarz-EKRAN_85

W obwodzie liniowym, w którym działa więcej niż jedno źródło autonomiczne, prąd w każdej gałęzi można wyznaczyć jako algebraiczną sumę prądów, które płynełyby w tej gałęzi, gdyby każde źródło działało osobno, przy czym pozostałe autonomiczne źródła napięciowe były zwarte, a prądowe rozwarte.

Analogiczne sformułowanie można napisać dla napięć.

3EKRAN_86

UWAGI dotyczące zasady superpozycji:

1. Zwarcie czy rozwarcie źródeł rzeczywistych dotyczy tylko części źródłowej.

2. Źródła sterowane nie podlegają zwieraniu lub rozwieraniu.

3. Superpozycji nie podlegają moce pobierane przez elementy.

Komentarz-EKRAN_86

Stosując zasadę superpozycji niekoniecznie należy dzielić obwód główny na obwody z jednym źródłem. Można wybrać dowolną kombinację źródeł pod warunkiem, że żadne źródło nie występuje w obwodach więcej niż jeden raz.

3EKRAN_87

Przykład 3.6 Określ prądy i napięcie U3 stosując zasadę superpozycji

Komentarz-EKRAN_87

Stosując zasadę superpozycji powyższy obwód zastąpimy trzema, z wybranymi źródłami.

Pamiętajmy, że obowiązuje ta sama zasad eliminacji źródeł jak np. w twierdzeniu Thevenina tzn. SEM (E) zwieramy a SPM (I) rozwieramy.

3EKRAN_88

Komentarz-EKRAN_88

Warto oznaczać prądy i napięcia podobnie jak w obwodzie głównym, lecz dla rozróżnienia są one primowane (`).

3EKRAN_89

Komentarz-EKRAN_89

Prądy i napięcia nie muszą być tak samo strzałkowate jak w obwodzie głównym (I₃) z tym, że wówczas we wzorze końcowym będą zapisane ze znakiem -.

3EKRAN_90

Komentarz-EKRAN_90

Odpowiedź:

Ostateczne rozwiązanie polega na zsumowaniu algebraicznym (z uwzględnieniem znaku) poszczególnych prądów (napięć) obliczonych dla każdego obwodu.

Należy podkreślić, iż nie jest spełniona zsada superpozycji mocy.

3EKRAN_91

Sprawność układu (źródła) rzeczywistego.

Sprawnością układu nazywamy stosunek mocy użytecznej do mocy wytworzonej.

Komentarz-EKRAN_91

Sprawność układu zasilającego w stosunku do złożonego odbiornika można sprowadzić stosując twierdzenie Thevenia do sprawności źródła rzeczywistego względem odbiornika

3EKRAN_92

Wyznaczenie sprawności źródła napięciowego

P_Z - moc źródła P_Z=EI:

I²R - moc odbiornika P_R= I²R

lub

ponieważ

stąd

Komentarz-EKRAN_92

Analogicznie jak dla źródła napięciowego można określić charakterystykę źródła prądowego.

Poniżej przedstawiono obie charakterystyki sprawności. Zwróć uwagę, że, dla R=R_w sprawność dla obu typów źródeł wynosi tylko 50%

3EKRAN_93

Dopasowanie energetyczne- R=R_w

Komentarz-EKRAN_93

Dopasowaniem energetycznym nazywamy sytuację w, której rezystancja obciążenia pobiera największą moc. Poniżej zostanie udowodnione, że powyższy warunek spełnia rezystancja równa rezystancji wewnętrznej źródła.

3EKRAN_94

Określmy funkcję mocy od argumentu R i znajdźmy jej maksimum

stąd R=R_W - warunek dopasowania

3EKRAN_95

Przebieg mocy w funkcji rezystancji obciążenia rzeczywistego źródła

Zauważmy że:

Komentarz-EKRAN_95

Ponieważ dla obciążenia równego R_W następuje największy pobór mocy przy jednocześnie niewielkiej sprawności powstaje pytanie. Co jest ważniejsze, dopasowanie czy sprawność? Odpowiedź zależy od konkretnych oczekiwań. Najczęściej tam gdzie jest duży pobór energii (np. w energetyce) ważniejsza jest sprawność, natomiast w elektronice najczęściej dopasowanie.

3EKRAN_96

Przykład 3.7: Dobrać tak rezystancje R aby P(R)=max.

Komentarz-EKRAN_96

Zgodnie z Tw. Thevenina wycinamy szukaną rezystancję R a pozostałą część obwodu przekształcamy w dwójnik pasywny (zwieramy SEM i rozwieramy SPM).

3EKRAN_97

Komentarz-EKRAN_97

Dla dwójnika rezystancyjnego obliczamy R_T z punktu widzenia zacisków do których była włączona rezystancja R. Ostatecznie cały obwód można zastąpić źródłem Thevenia, a stąd zgodnie z warunkiem dopasowania Szukana rezystancja R ma wartość R_T

Odp. R=1.25 

3EKRAN_98

Przykład 3.8

Dla danego obwodu wyznaczyć E₁ i E₂, wiedząc, że E­₁=8E₂ oraz znając prąd I=1A płynący przez rezystor R₇. Dane:, R₁=20Ω, R₂=20Ω, R₃=9,2Ω, R₄=2Ω, R₅=6Ω, R₆=2Ω, R₇=6Ω.

Komentarz-EKRAN_98

Aby wyznaczyć E₁ i E₂ zastosowano metodę zwijania obwodu. Korzystano przy tym z własności transformaty trójkąt-gwiazda, równoległego oraz szeregowego łączenia rezystorów. W powyższym układzie rezystory R₄, R₅ i R₆ zwinięto korzystając z transformaty trójkąt-gwiazda, a rezystory R₁ i R­₂ oraz źródła napięciowe E₁ i E₂ z Twierdzenia Thevenina.

3EKRAN_99

Obliczenia dla transformaty trójkąt-gwiazda:

Parametry źródła zastępującego układ równoległy:

3EKRAN_100

Po zastosowaniu transfiguracji trójkąt-gwiazda układ ma postać:

Komentarz-EKRAN_100

W uzyskanym obwodzie zwijamy szeregowo rezystory:

3EKRAN_101

Po połączeniach szeregowych otrzymano następujący układ:

3EKRAN_102

Mając dany prąd I obliczymy spadek napięcia U, a stąd prądy:

U=IR_z3=7.2V
I₁=I+I₂=1.692A

Zatem napięcie E_z=U+I₁R_z1=24.797V stąd

Zatem:

Odpowiedź:

Szukane wartości SEM E₁ i E₂ wynoszą odpowiednio: E₁=44.08 V i E₂=5.510 V.

3EKRAN_103

Przykład 3.8

Dobrać rezystancję R tak, aby moc wydzielona na niej była maksymalna. Obliczyć tę moc.

Dane: R₁=3Ω, R₂=6Ω, R₃=6Ω, R₄=4Ω, J=1,25A,E₁=4V,E₂=5V,E₃=10V.

Komentarz-EKRAN_103

1)Wyznaczenie rezystancji Thevenina.

Zwieramy źródła napięciowe, rozwieramy SPM, oraz wycinamy rezystor R. Przedstawiamy obwód widziany z punktu widzenia pary zacisków A i B.

3EKRAN_104

Uzyskujemy następujący układ:

Komentarz-EKRAN_104

W powyższym układzie zwijamy równolegle rezystory R₁ i R₂ oraz R₃ i R₄.

Obliczenia:

Otrzymujemy następujące układy:

Rezystancja Thevenina to połączenie szeregowe R
₁₂ i R₃₄.

3EKRAN_105

2)Wyznaczenie E_T.

W celu wyznaczenia napięcia Thevenina otrzymujemy następujący układ nie zawierajacy rezystancji R.

Komentarz-EKRAN_105

Źródło prądowe J można zamienić na równoważne źródło napięciowe

3EKRAN_106

Otrzymujemy następujący obwód:

Korzystając z II prawa Kirchhoffa można wyliczyć prądy I₁ (I₁= I) oraz I₃.

Obliczenia:

stąd

Oraz
stąd

3EKRAN_107

Mając prądy I₁ oraz I₃ można obliczyć E_T:

stąd:

3)Rysujemy obwód składający się z rezystancji Thevenina R_T, napięcia E_T i rezystancji R

3EKRAN_108

Aby moc wydzielona na rezystancji R była maksymalna to powinien być spełniony warunek R_T=R_, czyli

Szukaną moc maksymalną obliczymy następująco:

gdzie:

Odpowiedź: Wartość szukanej rezystancji wynosi
. Moc wydzieloną na tej rezystancji P=5.68W.

Komentarz-EKRAN_108

Należy pamiętać, że warunek dopasowania R=R_w można zastosować tylko wówczas, gdy szukamy wartości rezystancji, przy, której moc przez nią (nie przez inną rezystancję) pobierana będzie maksymalna. Przypadek poszukiwań elementu, przy którym ma wystąpić maksimum mocy, a niewykorzystującym warunku dopasowania przedstawiono na następnym ekranie.

3EKRAN_109

Przykład 3.9

Jaką wartość powinien mieć rezystor R_X, aby moc wydzielona na rezystorze R₁ była największa? Dane:

Komentarz-EKRAN_109

Aby moc na rezystorze R₁ była największa, spadek napięcia na tym elemencie musi być jak największy, co można wywnioskować ze wzoru na moc:
.

3EKRAN_110

Korzystając z metody Thevenina powyższy obwód można przedstawić następująco:

Napięcie U₁ będzie zależne od rezystancji R_X i równe:
, gdzie:

3EKRAN_111

Podstawiając poszczególne wartości otrzymamy następujące równanie:

Aby napięcie U₁ było największe, pochodna tego napięcia po zmiennej R_X musi być równa 0:

Komentarz-EKRAN_111

Z końcowego wyniku widać, że pochodna napięcia U₁(R_X) nigdy nie będzie równa 0. Czyli funkcja mocy w tym przypadku nie ma ekstremum lokalnego. W takim przypadku zgodnie z zasadą matematyki największej (bądź najmniejszej) wartości funkcji poszukujemy na krańcach przedziału. W na szym przypadku od zera do nieskończoności.

3EKRAN_112

Rozpatrując przypadek: gdy rezystor R_X ma nieskończoną rezystancję (przerwa),

Dla
obwód będzie wyglądał następująco:

Oba źródła napięciowe zredukują się nawzajem do zera, czyli w obwodzie nie popłynie żaden prąd. Wartość mocy na rezystorze R₁ będzie się równała zero.

Komentarz-EKRAN_112

Moc przy
można było obliczyć określając napięcie, czyli przez podstawienie nieskończoności do funkcji

3EKRAN_113

Dla
obwód będzie miał postać:

Przez rezystor R₁ popłynie maksymalny prąd, który ma wartość:

Moc na rezystorze R₁ wynosi:

Komentarz-EKRAN_113

Podobnie jak wcześniej moc dla R_x=0 można było obliczyć określając napięcie na R₁ przez podstawienie zera w miejsce argumentu funkcji

Odp. Dla rezystancji R_x=0 moc pobierana przez R₁ będzie maksymalna i wynosi 20W.

3EKRAN_114

Zadanie

Znaleźć prądy w obwodzie jak w przykładzie 3.9 dla dowolnej różnej od zera rezystancji R_x stosując najpierw prawa Kirchhoffa a następnie metodę superpozycji. Sprawdź czy stosując zasadę superpozycji mocy otrzymasz na poszczególnych rezystancjach moce określone bezpośrednio na podstawie prądów obliczonych metodą praw Kirchhoffa.

Komentarz-EKRAN_114

Odpowiedź: Dla dowolnego rezystora np. R₁ moc obliczona na podstawie superpozycji mocy byłaby równa
a to nie jest równe mocy określonej na podstawie pełnego prądu jaki otrzymamy z praw Kirchhhoffa czyli
.

A zatem zasada superpozycji mocy w obwodzie nawet liniowym nie jest spełniona!

3EKRAN_115

Podsumowanie

W powyższej lekcji poznaliśmy nowe twierdzenie, które może uprościć rozwiązanie bardziej złożonego obwodu tj. zasadę superpozycji często nazywane twierdzeniem o liniowości. Zatem należy pamiętać, iż metodę tą można stosować tylko w wypadku obwodów liniowych. Również należy zapamiętać, że stosując zasadę superpozycji w praktyce np. poprzez usunięcie źródła napięciowego musimy sobie zadać pytanie czy rezystancja R_w jest pomijalna w stosunku do pozostałych rezystancji obwodu. Jeżeli nie, to zastosowanie zasady superpozycji przyniesie nieprawidłowe rezultaty.

Innym ważnym twierdzeniem jest tw. o dopasowaniu. Tutaj należy pamiętać, że wyprowadzony warunek dopasowania można zastosować tylko wówczas gdy szukamy wartości rezystancji rezystora pobierającego maksymalną moc.

1

R_T

E_T

0

I₀

U₂

U₁

B

A

I₀

E

I

I₀

R

R

R

U

I

I₀

_I₀

A

B

I₀

2R

R_T

B

B

A

A

I₀

I₀

I₀

E

2R

I

R

I₀

R

R

R

E

nie

E

E

tak

E

E₁

E₂

E₃

I

I₃

I₂

U₃

R₃

R₂

R₁

R

I₁

E₁

I₃^'

I₂^'

U₃^'

R₃

R₂

R₁

I₁^'

I₃^''

I₂^''

U₃^''

R₃

R₂

R₁

I₁^''

I

R

E₂

E₃

I₃^'''

I₂^'''

U₃^'''

R₃

R₂

R₁

R

I₁^'''

E_T

R_T

E

R_W

R

I

E

R_W

R

I

źródło

R_W

1

0,5

_u

R

_u

_I

R₂

R₃

R₄

R₅

R₆

R₇

E₁

I

R₁

E₂

R₅₆

R₄₆

R₁₂

R₃

R₄₅

R₇

E_Z

I

R

R_W

E

I

R

R_W

R_z1

R_z2

R_z3

E_Z

I

U

I₁

I₂

R

1

I

E

10V

16V

10A

2

1

4

2

4



1

2

1

5/4

ET=

5/4

I

E₂

E₁

R₁

R₂

E₃

R

R₃

R₄

J

B

A

R₁

R₂

R₃

R₄

R₄

R₃

R₂

R₁

B

A

B

A

R_T

B

A

R₃₄

R₁₂

R₄

J

E₃

E₂

E₁

E_T

B

A

R₁

R₂

R₃

I

I₁

I₃

I₂

E₄

E₃

E₂

E₁

E_T

B

A

R₁

R₂

R₃

R₄

I

R

R_T

E_T

R

R

I_X

U₁(R_X)

E

R₁

R_X

U_X

E

R_T(R_X)

R₁

E_T(R_X)

R

R

R₁

E

E

R

R

E

R₁

E

I₁

---