Rozwiązania wybranych zadań z teorii względności

Zad.1. Rakieta porusza się z szybkością v = 0,8 c. Obserwator na Ziemi zmierzył czas trwania pewnego zjawiska na Ziemi i otrzymał wynik 800 s. Jak długo trwało to zjawisko wg pilota rakiety?

Dane: Szukane:

v = 0,8 c t = ?

t_o = 800 s

Obserwator na Ziemi zmierzył czas własny zjawiska, stąd oznaczenie t_o.

Wg pilota rakiety zjawisko trwało dłużej:

Stąd

Odp.: Wg pilota rakiety zjawisko trwało około 1333 s.

Zad.2. Rakieta porusza się z szybkością v = 0,8 c. Obserwator na Ziemi zmierzył czas trwania pewnego zjawiska w rakiecie otrzymał wynik 800 s. Jak długo trwało to zjawisko wg pilota rakiety?

Dane: Szukane:

v = 0,8 c t = ?

t = 800 s

Obserwator na Ziemi zmierzył czas relatywistyczny zjawiska, stąd oznaczenie t.

Wg pilota rakiety zjawisko trwało krócej, bo mierzy on czas własny trwania tego zjawiska:

Przekształcamy wzór i otrzymujemy

Stąd

Odp.: Wg pilota rakiety zjawisko będzie trwało 480 s.

Zad.3. Rakieta porusza się z szybkością v = 0,6 c. Pilot zmierzył długość swojej rakiety i uzyskał wynik 120 m. Oblicz, jaki wynik tego samego pomiaru otrzyma obserwator na Ziemi?

Dane: Szukane:

v = 0,6 c l = ?

l_o = 120

Pilot rakiety zmierzył długość własną l_o rakiety, zaś obserwator na Ziemi zmierzy długość relatywistyczną l rakiety.

Odp.: Obserwator na Ziemi stwierdzi, że rakieta ma długość 96 m.

Zad.4. Dwie rakiety poruszają się „na czołówkę”. Obserwator zmierzył ich szybkości i uzyskał wyniki v₁=0,6c oraz v₂=0,8c. Oblicz, z jaką szybkością zbliżają się te rakiety wg obserwatora z Ziemi a z jaką wg pilotów rakiet.

Dane: Szukane:

v₁ = 0,6 c v_z = ?

v₂ = 0,8 c v_p = ?

Załóżmy, że obie rakiety lecą tak, że widzimy je prostopadle i w pewnej chwili możemy przyjąć, że od nas się nie oddalają ani się do nas nie zbliżają.

Zmierzona przez nas ich szybkość względna wyniesie:

Uzyskana szybkość 1,4 c nie jest niczym dziwnym, przecież to nie jest szybkość mierzona względem nas.

Wg każdego z pilotów rakiet szybkość względną obliczymy ze wzoru:

Jak widać, piloci rakiet zmierzą swoją względną szybkość jako mniejszą od c!

Odp.: Według obserwatora z Ziemi rakiety zbliżają się z szybkością 1,4 c a wg pilotów z szybkością około 0,946 c.

Zad.5. Czas życia w laboratorium pewnych cząstek wynosi 5 ms. Jaki będzie ich czas życia po przyspieszeniu w akceleratorze do szybkości 0,99 c.

Dane: Szukane:

v = 0,99 c t = ?

t_o = 5 ms

W laboratorium zmierzono czas własny zjawiska, stąd oznaczenie t_o.

Po przyspieszeniu do szybkości relatywistycznych czas życia wzrośnie:

Stąd

Odp.: Po przyspieszeniu cząstek ich czas życia wzrośnie do około 35,5 ms.

Zad.6. Oblicz, jak długo świeciłaby żarówka o mocy 100 W, jeśli źródłem jej energii byłaby anihilacja 1 kg materii i 1 kg antymaterii?

Dane: Szukane:

P = 100 W t = ?

m = 1 kg + 1 kg = 2 kg

c = 3·10⁸ m/s

Obliczmy, ile energii uzyskamy z anihilacji 2 kg masy ze wzoru (sprawdź jednostkę):

E = m·c²

Energia ta zostanie zużyta na pracę prądu elektrycznego przepływającego przez żarówkę:

E = W = P·t

stąd

Jest to bardzo duża liczba. Np. rok ma około 32 miliony sekund (3,2·10⁷ s). Żarówka świeciłaby tą energią około 50 milionów lat.

Odp.: Żarówka świeciłaby tą energią około 50 milionów lat.

Zad.7. Znajdź zależność gęstości ciała od jego szybkości zgodną z teorią relatywistyczną. Dla ułatwienia przyjmij, że ciało ma kształt prostopadłościanu i porusza się w kierunku równoległym do jednej z jego krawędzi. Oblicz, o ile % zmieni się gęstość ciała, jeżeli nadano mu prędkość 0,8c.

Dane: Szukane:

v = 0,8 c

Gęstość spoczynkowa (własna) wyraża się wzorem:

Gęstość relatywistyczna

Masa relatywistyczna

Objętość relatywistyczna - przy założeniu, że ruch zachodzi wzdłuż boku c:

Ostatecznie gęstość relatywistyczna:

Przy szybkości v = 0,8 c gęstość ciała rośnie:

Zmiana gęstości wynosi:

Względna zmiana gęstości:

Odp.: Przy szybkości 0,8 c gęstość ciała wzrasta o około 178 %.

Zad.9. Z Ziemi wysłano impuls świetlny w kierunku Księżyca. W sekundę po tym zdarzeniu na powierzchni Księżyca zaobserwowano błysk światła. a) Czy może istnieć związek przyczynowy między tymi zdarzeniami? b) Czy istnieje taki układ inercjalny, w którym wysłanie impulsu świetlnego z Ziemi nastąpiłoby w tej samej chwili, co błysk światła na powierzchni Księżyca? Odległość Księżyca od Ziemi wynosi 3,84·10⁸ m.

Odp. a) NIE może istnieć związek przyczynowy między tymi zdarzeniami, bo impuls świetlny w czasie 1 sekundy nie doleciał do Księżyca (384 000 km > 300 000 km).

Odp. b) TAK, istnieje wiele takich układów odniesienia. Wystarczy, aby w sekundę od wysłania z Ziemi impulsu układ taki znalazł się w odległości x = (300 000 + 84 000/2) km = 342 000 km od Ziemi.

Zad.10. Przy jakiej szybkości elektron podwoi swoją masę spoczynkową? Jaka jest całkowita energia elektronu dla tej prędkości? Podobne rozważania przeprowadzić dla protonu.

Dane: Szukane:

m = 2 m_o v = ?

E_e = ?

E_p = ?

Ostatecznie

Energię całkowitą dowolnej masy obliczamy ze wzoru: E = m·c²

Dla elektronu:

Dla protonu:

Odp.: Elektron podwoi swoja masę przy szybkości około 87% szybkości światła. Energie całkowite wyniosą wtedy odpowiednio
oraz

---